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\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}

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\begin{document}
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\todayf

\section{Notations allégées}
On allège les notations~:
\[\Phi\Rightarrow\phi,\ \hat\phi_2\Rightarrow\Phi,\ \Psi_2\Rightarrow\Psi,\ 
U_2\Rightarrow U,\ \Lambda_2\Rightarrow\Lambda,\ {\cal A}_2\Rightarrow A.\]

\section{Formules diverses}
Dérivée / $\nu=m^\frac23,\ m=M/M_\odot$~:
\begin{eqnarray*}
&&\dsdr{}=\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu}\dsdnu{}
\end{eqnarray*}
Expression de $\phi$~:
\begin{eqnarray*}
&&\phi=-\fracµ{80C_P}\left\{\left(12Z-48\right)\ln\left(64-48µ+12Zµ\right)
+\left(32-23Z\right)\ln\left(-16+32µ-32Zµ\right)\right.\\
&&\left.+5Z\ln\left(5Z\right)+\left(16+6Z\right)\ln\left(32+16µ+6Zµ\right)
\right\}
\end{eqnarray*}
Expression de $\ddx{\ln g}{\ln R}$~:
\begin{eqnarray*}
&&g(M,R)=\frac{GM}{R^2}\Rightarrow {\rm d}g=\dsdx gM {\rm d}M+
\dsdx gR{\rm d}R=g\left(\frac{4\pi R^2\rho}M-\frac2R\right){\rm d}R\Rightarrow\\
&&\ddx{\ln g}{\ln R}=\frac Rg\ddx gR=\frac{4\pi R^3\rho}M-2
\end{eqnarray*}
Expression de $\dsdnu{\ln\rho}$~:
\begin{eqnarray*}
&&\dsdr P=-\frac{GM\rho}{R^2}\Rightarrow \dsdnu P=-\frac{3GM_\odot^2}{8\pi
R_\odot^4}\frac{\nu^2}{r^4}\\
&&{\rm d}{\ln \rho}=\alpha{\rm d}{\ln P}-\delta{\rm d}{\ln T}
+\varphi{\rm d}{\lnµ}=\left(\alpha-\delta\nabla\right){\rm d}{\ln P}
+\varphi{\rm d}{\lnµ}\Rightarrow\\
&&\dsdnu{\ln\rho}=-\frac{3GM_\odot^2}{8\pi R_\odot^4}
\frac{\left(\alpha-\delta\nabla\right)\nu^2}{r^4P}+\varphi\dsdnu{\lnµ}
\end{eqnarray*}
Pour profiter de la réduction d'un ordre de dérivation (donc d'une variable
principale) résultant de l'intégration par parties,
comme il a été fait avec le groupe d'équations de Talon/Zahn, on divise
les équations (21) p.5 par $\nu$ et on remplace ${\cal A}_2$ par son
expression (22). 

\noi On note les variables principales par des Majuscules~:
\begin{enumerate}
\item $\Omega$ : vitesse angulaire,
\item $U$ : vitesse de circulation méridienne,
\item $\Psi$ : taux de fluctuation de température le long d'une isobare,
\item $\Lambda$ : taux de fluctuation du poids moléculaire moyen le long d'une
isobare,
\item $\Phi$ : taux de fluctuation du potentiel gravitationnel le long d'une
isobare.
\end{enumerate}
On note les facteurs par $F_n$.

\section{Equ.(22) et expressions dérivées de A}
\begin{eqnarray*}
&& A=H_T\dsdr\Psi-\left(1-\delta+\chi_{\rm T}\right)\Psi
-\left(\varphi+\chi_µ\right)\Lambda\\
&& A=\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}
\dsdx\Psi\nu-\left(1-\delta+\chi_{\rm T}\right)\Psi
-\left(\varphi+\chi_µ\right)\Lambda\\
&& \frac23\dsdnu A= \dsdx{}\nu\left(\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\Psi\nu\right)
-\dsdx{}\nu\left(\frac23\left(1-\delta+\chi_{\rm T}\right)\Psi\right)
-\dsdx{}\nu\left(\frac23\left(\varphi+\chi_µ\right)\Lambda\right)=\\
&& \dsdx{}\nu\left(F_{17}\dsdx\Psi\nu\right)+\dsdx{F_{18}\Psi}\nu+
\dsdx{F_{11}\Lambda}\nu, \\
&&\ F_{17}=\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu},\ F_{18}=-\frac23(1-\delta+\chi_{\rm T}),
\ F_{11}=-\frac23(\varphi+\chi_µ),\\
&& \frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}A=\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln l}{\ln m}\dsdx\Psi\nu
-\frac{1-\delta+\chi_{\rm T}}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Psi
-\frac{\varphi+\chi_µ}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Lambda\rightarrow\\
&& \frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}A=-F_{12}\dsdx\Psi\nu
-\frac{1-\delta+\chi_{\rm T}}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Psi
-\frac{\varphi+\chi_µ}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Lambda,\\
&&F_{12}=-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln l}{\ln m}.
\end{eqnarray*}

\section{Equ. B4 Expression de $U$}
\begin{eqnarray}
\label{eq:u1}
&& 0=\frac{Mg\rho c_{\rm P}T}{LP}\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U
\\ \label{eq:u2}
&&+2\left\{1-\frac1{6\pi G\rho R^2}\dsdr{R^3\Omega^2}
-\frac{\epsilon+\epsilon_g}{\epsilon_m}\right\}\left\{\frac{R^2\Omega^2}{3g^2}
\ddx gR-\frac{2R\Omega^2}{3g}-\ddx{}R\left(\frac\Phi{g}\right)\right\}
\\ \label{eq:u3}
&&-\frac{R\Omega}{3\pi G\rho}\dsdr\Omega
\\ \label{eq:u4}
&&-\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdr A
-\frac{2H_T}R\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\right\}
\\ \label{eq:u5}
&&-\frac{\epsilon+\epsilon_g}{\epsilon_m}
\left\{A+\left[f_\epsilon\left(\epsilon_T-\delta\right)+\delta\right]\Psi+
\left[f_\epsilon\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)-\varphi\right]\Lambda\right\}
\\ \label{eq:u6}
&&+\frac{Mc_{\rm P}T}L\left(\dsdt\Psi+\phi\dsdt{\lnµ}\Lambda\right)
\end{eqnarray}

\subsection{\Eq{eq:u1}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{Mg\rho c_{\rm P}T}{LP}\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U=
\nu\left\{\frac{M_\odot}{L_\odot} \frac{g\rho c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lP}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U\right\}\\
\end{eqnarray*}

\subsection{\Eq{eq:u2}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac2\nu\left\{1-\frac1{6\pi G\rho R^2}\dsdr{R^3\Omega^2}
-\frac{\epsilon+\epsilon_g}{\epsilon_m}\right\}=
\frac2\nu-\frac1{3\pi G\rho R^2\nu}\left(3R^2\Omega^2
+2R^3\Omega\dsdr\Omega\right)-\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}=\\
&&\frac2\nu\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)-\frac{\Omega^2}{\pi G\rho\nu}
-\frac{2R}{3\pi G\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\\
%%
&&\frac{R^2}{3g^2}\ddx gR\Omega^2
-\frac{2R\Omega^2}{3g}-\ddx{}R\left(\frac\Phi{g}\right)=
\left(\frac R{3g}\ddx{\ln g}{\ln R}-\frac{2R}{3g}\right)\Omega^2
+\frac1{Rg}\ddx{\ln g}{\ln R}\Phi-\frac1g\dsdr\Phi=\\
&& \frac R{3g}\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^2
+\frac1{gR}\ddx{\ln g}{\ln R}\Phi-\frac1g\dsdr\Phi\\
%%2{-}{-}
&&2\{-\}\{-\}=\nu\left(\frac2\nu\{-\}\{-\}\right)=\\
&&\nu\left\{\frac{2R}{3g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^2 
+\frac2{g\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Phi\right.\\
&&\left.-\frac2{g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\dsdr\Phi
-\frac R{3\pi Gg\rho\nu}\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^4
-\frac1{\pi Gg\rho\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}{\Omega^2}\Phi\right.\\
&&\left.+\frac1{\pi Gg\rho\nu}\Omega^2\dsdr\Phi
%%
-\frac{2R^2}{9\pi Gg\rho\nu}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^3\dsdr\Omega\right.\\
%%
&&\left.-\frac2{3\pi Gg\rho\nu}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega\Phi\dsdr\Omega
%%
+\frac{2R}{3\pi Gg\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\dsdr\Phi\right\}
\end{eqnarray*}

\section{\Eq{eq:u2} avec $\gamma$}
Avec l'approximation $\tilde g/g=\gamma$ on devrait obtenir des résultats
similaires à ceux obtenus avec le formalisme de Talon \& Zahn 1997~:
\begin{eqnarray*}
&&\frac{\tilde g}g=\left\{\frac{R^2\Omega^2}{3g^2}
\ddx gR-\frac{2R\Omega^2}{3g}-\ddx{}R\left(\frac\Phi{g}\right)\right\}
\sim\gamma=\frac{4R^3\Omega^2}{3GM}=\frac{4R_\odot^3}{3GM_\odot}
\frac{r^3\Omega^2}{\nu^\frac32}\\
%%2{-}{-}
&&2\{-\}\frac{\tilde g}g=\nu
\left\{\frac{2\gamma}\nu\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
-\frac{\gamma\Omega^2}{\pi G\rho\nu}
-\frac{2R\gamma}{3\pi G\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\right\}=\\
%&&\nu\left\{\frac{2\gamma}\nu\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
%-\frac{\gamma\Omega^2}{\pi G\rho\nu}
%-\frac{16R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3\gamma}{\nu^\frac32}
%\Omega\dsdnu\Omega\right\}\\
&&\nu\left\{\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Omega^2
-\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}\Omega^4
-\frac{64R_\odot^6}{27G^2M_\odot^2}\frac{r^6}{\nu^3}\Omega^3\dsdnu\Omega\right\}
\end{eqnarray*}

\subsection{\Eq{eq:u3}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{R\Omega}{3\pi G\rho}\dsdr\Omega=\nu\left\{
\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}
\Omega\dsdnu\Omega\right\}\\
\end{eqnarray*}

\subsection{\Eq{eq:u4}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdr A
-\frac{2H_T}R\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\right\}=\\
&&\frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\nu^{\frac32}}{r^3\rho}
\frac{R_\odot r}3
\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu}\dsdnu A
-\frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\nu^{\frac32}}{r^3\rho}
\frac{2H_T}{R_\odot r}\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi=\\
&&\nu\frac23\dsdnu A-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_T\nu^{\frac32}}{r^4\rho}\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi=\\
&&\nu\left\{\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right)+\dsdnu{F_{18}\Psi}+
\dsdnu{F_{11}\Lambda}
-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_T\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\right\}\\
\end{eqnarray*}

\subsection{\Eq{eq:u5}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{\epsilon+\epsilon_g}{\epsilon_m}\left\{A+\left[f_\epsilon
\left(\epsilon_T-\delta\right)+\delta\right]\Psi+\left[f_\epsilon
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)-\varphi\right]\Lambda\right\}=\\
&&\nu\left\{\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}A
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left[\left(f_\epsilon
\left(\epsilon_T-\delta\right)+\delta\right)\right]\Psi
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left[\left(f_\epsilon
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)-\varphi\right)\right]\Lambda\right\}=\\
&&\nu\left\{-F_{12}\dsdnu\Psi
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(f_\epsilon
\left(\epsilon_T-\delta\right)+2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)\Psi
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(f_\epsilon
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)-2\varphi-\chi_µ\right)\Lambda\right\}=\\
&&=\nu\left\{-F_{12}\dsdnu\Psi
+\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_T-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)\right)\Psi
\right.\\
&&\left.+\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_µ\right)\right)
\Lambda\right\}
\end{eqnarray*}

\subsection{\Eq{eq:u6}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{Mc_{\rm P}T}L\left(\dsdt\Psi+\phi\dsdt{\lnµ}\Lambda\right)=\\
&&\nu\left\{\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\Psi
+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\lnµ-\lnµ^t\right)\Lambda
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}\right\}
%\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{mc_{\rm P}T}{l\Delta t}\left(\Psi-\Psi^t
%+\phi\left(\lnµ-\lnµ^t\right)\Lambda\right)
\end{eqnarray*}

\subsection{Circulation méridienne}
\begin{eqnarray*}
%%1
&&0=\frac{M_\odot}{L_\odot} \frac{g\rho c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lP}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U\\
%%2
&&+\frac{2R}{3g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^2 
+\frac2{g\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Phi\\
&&-\frac2{g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\dsdr\Phi
-\frac R{3\pi Gg\rho\nu}\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^4
-\frac1{\pi Gg\rho\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega^2\Phi\\
&&+\frac1{\pi Gg\rho\nu}\Omega^2\dsdr\Phi
-\frac{2R^2}{9\pi Gg\rho\nu}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^3\dsdr\Omega\\
&&-\frac2{3\pi Gg\rho\nu}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega\Phi\dsdr\Omega
+\frac{2R}{3\pi Gg\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\dsdr\Phi
%%3
-\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\Omega\dsdnu\Omega\\
%%4
&&-\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right)-\dsdnu{F_{18}\Psi}-\dsdnu{F_{11}\Lambda}
+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_T\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\\
%%5
&&+F_{12}\dsdnu\Psi
-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_T-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)\right)\Psi\\
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_µ\right)\right)\Lambda\\
%%6
&&+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\Psi
+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\lnµ-\lnµ^t\right)\Lambda
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Regroupement}
\begin{eqnarray*}
%%Omega^4
&&0=-\frac R{3\pi Gg\rho\nu}\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^4
%%Omega^3 dOmega/dR
-\frac{2R^2}{9\pi Gg\rho\nu}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^3\dsdr\Omega\\
%%Omega^2
&&+\frac{2R}{3g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^2 
%%Omega dOmega/dnu
-\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\Omega\dsdnu\Omega
%%Omega^2 dPhi/dR
+\frac1{\pi Gg\rho\nu}\Omega^2\dsdr\Phi\\
%%Omega^2 Phi
&&-\frac1{\pi Gg\rho\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega^2\Phi
%%Omega dOmega/dR dPhi/dR
+\frac{2R}{3\pi Gg\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\dsdr\Phi
%%Omega Phi dOmega/dR
-\frac2{3\pi Gg\rho\nu}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega\Phi\dsdr\Omega\\
%%Phi
&&+\frac2{g\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Phi\\
%%d Phi /dR
&&-\frac2{g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\dsdr\Phi
%%\d a Psi
-\dsdnu{F_{18}\Psi}
%%\d a Lambda
-\dsdnu{F_{11}\Lambda}
%%\d2 Psi
-\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right)
%%\d Psi
+F_{12}\dsdnu\Psi\\
%% Psi
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_T-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\right.\\
&&\left.-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_T\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\right)\Psi\\
%%Lambda
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_µ\right)
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\lnµ-\lnµ^t\right)\right)\Lambda\\
%% cte
&&-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}
%%U
+\frac{M_\odot}{L_\odot} \frac{g\rho c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lP}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U
\end{eqnarray*}

\section{Equ. (21) Circulation méridienne}
\begin{eqnarray*}
&& F_1\Omega^4+F_2\Omega^3\dsdnu\Omega+F_3\Omega^2 +F_4\Omega\dsdnu\Omega
+F_5\Omega^2\dsdnu\Phi+F_6\Omega^2\Phi+F_7\Omega\dsdnu\Omega\dsdnu\Phi\\
&&+F_8\Omega\Phi\dsdnu\Omega+F_9\Phi
+F_{10}\dsdnu\Phi-\dsdx{F_{18}\Psi}\nu-\dsdx{F_{11}\Lambda}\nu
-\dsdx{}\nu\left(F_{17}\dsdx\Psi\nu\right)+F_{12}\dsdx\Psi\nu\\
&& +F_{13}\Psi+F_{14}\Lambda+F_{15}+F_{16}U=0\Longrightarrow \\
&& (F_1\Omega^2+F_3)\Omega^2+(F_2\Omega^2+F_8\Phi+F_4)\Omega\dsdnu\Omega
+(F_6\Omega^2+F_9)\Phi+F_7\Omega\dsdnu\Omega\dsdnu\Phi\\
&& +\left(F_5\Omega^2+F_{10}\right)\dsdnu\Phi+F_{12}\dsdx\Psi\nu
+F_{13}\Psi+F_{14}\Lambda+F_{15}+F_{16}U=\\
&& \dsdx{}\nu\left(F_{17}\dsdx\Psi\nu\right)+\dsdx{F_{11}\Lambda}\nu
+\dsdx{F_{18}\Psi}\nu
\end{eqnarray*}
Les solutions faibles sont données par~:
\begin{eqnarray}  \label{eq:uinit2}
&& <\left\{ (F_1\Omega^2+F_3)\Omega^2+F_{16}U+F_{13}\Psi
+F_{14}\Lambda+(F_6\Omega^2+F_9)\Phi+F_{15}\right. \\ \nonumber
&& \left.+\left(F_2\Omega^2+F_8\Phi+F_4\right)\Omega\dsdnu\Omega
+F_7\Omega\dsdnu\Omega\dsdnu\Phi
+\left(F_5\Omega^2+F_{10}\right)\dsdnu\Phi+F_{12}\dsdx\Psi\nu
\right\}\bullet S_j^{m_c}>\\ \nonumber
&&+<\left(F_{17}\dsdx\Psi\nu+F_{11}\Lambda+F_{18}\Psi\right)\bullet
\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>
-\left|\left(F_{17}\dsdx\Psi\nu+F_{11}\Lambda+F_{18}\Psi\right) S_j^{m_c}
\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0
\end{eqnarray}

\subsection{Coefficients}
\begin{eqnarray*}
%%Omega^4
&&F_1\Omega^4,
\ F_1=-\frac{R_\odot}{3\pi G}\frac r{\rho\nu g}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\\
%%Omega^3 dOmega/dR
&&F_2\Omega^3\dsdnu\Omega,
\ F_2=-\frac{16R_\odot^4}{27M_\odot G}\frac {r^4}{g\nu^{\frac32}}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\\
%%Omega^2
&&F_3\Omega^2, F_3=\frac{2R_\odot}3\frac r{g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}
\right)\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\\
%%Omega dOmega/dnu
&&F_4\Omega\dsdnu\Omega,
\ F_4=-\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\\
%%Omega^2 dPhi/dnu
&&F_5\Omega^2\dsdnu\Phi,
\ F_5=\frac{8R_\odot^2}{3M_\odot G}\frac{r^2}{g\nu^{\frac32}}\\
%%0mega^2 Phi
&&F_6\Omega^2\Phi,
F_6=-\frac1{\pi GR_\odot}\frac1{g\rho\nu r}\ddx{\ln g}{\ln R}\\
%%Omega dOmega/dnu dPhi/dnu
&&F_7\Omega\dsdnu\Omega\dsdnu\Phi,
\ F_7=\frac{128\pi R_\odot^5}{27M_\odot^2G}\frac{r^5\rho}{g\nu^2}\\
%%Omega Phi dOmega/dnu
&&F_8\Omega\Phi\dsdnu\Omega,
\ F_8=-\frac{16R_\odot^2}{9M_\odot G}\frac{r^2}{g\nu^{\frac32}}
\ddx{\ln g}{\ln R}\\
%%Phi
&&F_9\Phi,
\ F_9=\frac2{R_\odot}\frac1{g\nu r}\ddx{\ln g}{\ln R}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\\
%%dPhi/dnu
&&F_{10}\dsdnu\Phi,
F_{10}=-\frac{16\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho}{g\nu^{\frac32}}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\\
%%d.Phi/dnu
&&\dsdnu{F_{11}\Lambda},
F_{11}=-\frac23(\varphi+\chi_µ)\\
%%dPsi/dnu
&&F_{12}\dsdnu{\Psi},
\ F_{12}=-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln l}{\ln m}\\
%%Psi
&&F_{13}\Psi,
\ F_{13}=-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_T-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\right.\\
&&\left.-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_T\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\right)\\
%%Lambda
&&F_{14}\Lambda,
\ F_{14}=-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_µ\right)
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\lnµ-\lnµ^t\right)\right)\\
%%coeff
&&F_{15},
\ F_{15}=-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}\\
%%U
&&F_{16}U,
\ F_{16}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{g\rho c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lP}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)\\
%%d/dnu(.dPsi/dnu)
&&\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right),
\ F_{17}=\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\\
%%%%d.Psi/dnu
&&\dsdnu{F_{18}\Psi},
\ F_{18}=-\frac23(1-\delta+\chi_{\rm T})
\end{eqnarray*}

\section{Coefficients déduits des relations de Andy}
\begin{eqnarray*}
&& F_1=\frac{8R_\odot ^4}{9GM_\odot}\frac{r^4}{g\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln g}\nu-
\frac{2R_\odot}{3\pi G}\frac r{\rho g\nu},
\ F_2=\frac{128\pi R_\odot^7}{81GM_\odot^2}\frac{r^7\rho}{g\nu^2}
\dsdx{\ln g}\nu -\frac{32R_\odot^4}{27GM_\odot}\frac{r^4}{g\nu^{\frac32}} \\
&& F_3=\left(\frac{4R_\odot}3\frac r{g\nu}-\frac{16\pi R_\odot^4}{9M_\odot}
\frac{r^4\rho}{g\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln g}\nu\right)
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right),
\ F_4=-\frac{8R_\odot^3}{9GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\\
&& F_5=-\frac{8R_\odot^2}{3GM_\odot}\frac{r^2}{g\nu^{\frac32}},
\ F_6=\frac{8R_\odot^2}{3GM_\odot}\frac{r^2}{g\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln g}\nu,
\ F_7=-\frac{128\pi R_\odot^5}{27GM_\odot^2}\frac{r^5\rho}{g\nu^2}, \\
&& F_8=\frac{128\pi R_\odot^5}{27GM_\odot^2}\frac{r^5\rho}{g\nu^2}
\dsdx{\ln g}\nu,\ F_9=-\frac{16\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho}{g\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln g}\nu\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right),
\\ && F_{10}=\frac{16\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho}{g\nu^{\frac32}}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right), \\
&& F_{13}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\epsilon_{\rm nuc}\left(\epsilon_{\rm T}
-\delta\right)\sqrt\nu}l+\frac\delta\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}
-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{\sqrt\nu H_{\rm T}}{\rho r^4}
\left(1+\frac{D_{\rm h}}K\right)-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu
C_{\rm P}T}{l\Delta t}\\
&& -\frac{1-\delta+\chi_{\rm T}}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}, \\
&& F_{14}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\epsilon_{\rm nuc}\left(\epsilon_µ+
\varphi\right)\sqrt\nu}l-\frac\varphi\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{C_{\rm P}T\sqrt\nu\phi}l
\frac{\lnµ-\lnµ^t}{\Delta t}
-\frac{\varphi+\chi_µ}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m},\\
&& F_{15}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{C_pT\Psi^t\sqrt\nu}{l\Delta t},
\ F_{16}=-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{g\rho C_{\rm P}T\left(\nabla_{\rm ad}
-\nabla\right)\sqrt\nu}{lP}.
\end{eqnarray*}

\subsection{Circulation méridienne avec $\gamma$}
\begin{eqnarray*}
%%1
&&0=\frac{M_\odot}{L_\odot} \frac{g\rho c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lP}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U\\
%%2
&&+\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Omega^2
-\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}\Omega^4
-\frac{64R_\odot^6}{27G^2M_\odot^2}\frac{r^6}{\nu^3}\Omega^3\dsdnu\Omega\\
%%3
&&-\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\Omega\dsdnu\Omega\\
%%4
&&-\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right)-\dsdnu{F_{18}\Psi}-\dsdnu{F_{11}\Lambda}
+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_T\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\\
%%5
&&F_{12}\dsdnu\Psi
-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_T-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)\right)\Psi\\
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_µ\right)\right)\Lambda\\
%%6
&&+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\Psi
+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\lnµ-\lnµ^t\right)\Lambda
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}
\end{eqnarray*}

\subsection{Regroupement avec $\gamma$}
\begin{eqnarray*}
%%Omega^2
&&+\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Omega^2
%%Omega^4
-\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}\Omega^4\\
%%Omega^3 dOmega/dnu
&&-\frac{64R_\odot^6}{27G^2M_\odot^2}\frac{r^6}{\nu^3}\Omega^3\dsdnu\Omega
%%Omega dOmega/dnu
-\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\Omega\dsdnu\Omega\\
%%\d a Psi
&&-\dsdnu{F_{18}\Psi}
%%\d a Lambda
-\dsdnu{F_{11}\Lambda}
%%\d2 Psi
-\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right)
%%\d Psi
+F_{12}\dsdnu\Psi\\
%% Psi
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_T-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\right.\\
&&\left.-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_T\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\right)\Psi\\
%%Lambda
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_µ\right)
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\lnµ-\lnµ^t\right)\right)\Lambda\\
%% cte
&&-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}
%%U
+\frac{M_\odot}{L_\odot} \frac{g\rho c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lP}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U
\end{eqnarray*}

\subsection{Equ. (21) Circulation méridienne avec $\gamma$}
\begin{eqnarray*}
&&0=F_{36}\Omega^2+F_{37}\Omega^4+F_{38}\Omega^3\dsdnu\Omega
+F_4\Omega\dsdnu\Omega
+F_{13}\Psi+F_{14}\Lambda+F_{15}+F_{16}U+F_{12}\dsdx\Psi\nu\\
&&-\dsdnu{}\left(F_{18}\Psi+F_{17}\dsdnu\Psi+F_{11}\Lambda\right)
\end{eqnarray*}
Les solutions faibles sont données par~:
\begin{eqnarray*}
&& <\left(\left[F_{36}+F_{37}\Omega^2\right]\Omega^2
+\left[F_4+F_{38}\Omega^2\right]\Omega\dsdnu\Omega
+F_{16}U+F_{13}\Psi+F_{12}\dsdnu\Psi
+F_{14}\Lambda+F_{15}\right)\bullet S_j^{m_c}>\\
&&+<\left(F_{18}\Psi+F_{17}\dsdnu\Psi+F_{11}\Lambda\right)\bullet
\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>-\left|\left(F_{18}\Psi+F_{17}\dsdnu\Psi+F_{11}\Lambda
\right) S_j^{m_c}\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0\\
&&F_{36}=\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right),
\ F_{37}=-\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52},
\ F_{38}=-\frac{64R_\odot^6}{27G^2M_\odot^2}\frac{r^6}{\nu^3}
\end{eqnarray*}

\section{Equ.(24) Relation barocline}
\begin{eqnarray}\label{eq:psi}\nonumber
&&\Theta=\frac{R^2}{3g}\dsdx{\Omega^2}R=\frac{2R^2}{3g}\Omega\dsdx{\Omega}R
=\varphi\Lambda-\delta\Psi \Longrightarrow \\
&& \frac{16\pi R_\odot^4}{9M_\odot}\frac{r^4\rho}{g\sqrt\nu}
\Omega\dsdnu\Omega-\varphi\Lambda+\delta\Psi=0 \Longrightarrow \\ \nonumber
&& <\left(F_{19}\Omega\dsdnu\Omega+F_{20}\Lambda+F_{21}\Psi\right)
\bullet S_j^{m_c}>=0 \\ \nonumber
&& F_{19}=\frac{16\pi R_\odot^4}{9M_\odot}\frac{r^4\rho}{g\sqrt\nu},
\ F_{20}=-\varphi,\ F_{21}=\delta
\end{eqnarray}

\section{Equ. (26) Fluctuations du poids moléculaire}
\begin{eqnarray}\label{eq:lambda2}
&& \dsdt\Lambda+\left(\frac{6D_{\rm h}}{R^2}-\dsdt{\lnµ}\right)\Lambda
-\frac{U\nabla_µ}{H_{\rm P}}=0 \Longrightarrow \\ \nonumber
&& <\left(F_{22}U+F_{23}\Lambda+F_{24}\right)\bullet S_j^{m_c}>=0 \\
&& F_{22}=-\frac{\nabla_µ}{H_{\rm P}},\ F_{23}=\left(
\frac6{R_\odot^2}\frac{D_{\rm h}}{r^2}-\frac{\lnµ-\lnµ^t-1}{\Delta t}\right),
\ F_{24}=-\frac{\Lambda^t}{\Delta t}
\end{eqnarray}

\section{Equ.(33) Poisson}
\begin{eqnarray*}
&&0=\frac1R\dsdxx{R\Phi}R-\left(\frac6{R^2}+\frac{4\pi G}g\dsdr\rho\right)\Phi
+\frac{8\pi G}3\frac{\rho R}g\Omega^2-\frac{4\pi G}{3g}\dsdr{}
\left(\rho R^2\Omega^2\right)\\
&&\frac1R\dsdxx{R\Phi}R=\frac1R\dsdr{}\left(\Phi+R\dsdr\Phi\right)\\
&&\frac{8\pi G}3\frac{\rho R}g\Omega^2-\frac{4\pi G}{3g}
\dsdr{}\left(\rho R^2\Omega^2\right)=\\
&&\frac{4\pi G}{3g}2R\rho\Omega^2-
\frac{4\pi G}{3g}\left(2R\rho+R^2\dsdr\rho\right)\Omega^2-
\frac{8\pi G}{3g}\rho R^2\Omega\dsdr\Omega=\\
&&-\frac{4\pi G}3\frac{R^2\rho}g\dsdr{\ln\rho}\Omega^2-
\frac{8\pi G}3\frac{\rho R^2}g\Omega\dsdr\Omega
\Longrightarrow\\
&&0=\frac{8\pi R_\odot}{3M_\odot}\frac{r\rho}{\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left(\Phi+\frac{8\pi R_\odot^3}{3M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}
\dsdnu\Phi\right)
-\left(\frac6{R_\odot^2r^2}+\frac{32\pi^2 R_\odot^2G}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho^2}{g\sqrt\nu}\dsdx{\ln\rho}\nu\right)\Phi\\
&&-\frac{32\pi^2 R_\odot^4G}{9M_\odot}\frac{r^4\rho^2}{g\sqrt\nu}
\dsdnu{\ln\rho}\Omega^2-\frac{64\pi^2 R_\odot^4 G}{9M_\odot}
\frac{r^4\rho^2}{g\sqrt\nu}\Omega\dsdnu\Omega
\end{eqnarray*}
en multipliant par~:
\[\frac{3M_\odot}{8\pi R_\odot}\frac{\sqrt\nu}{r\rho}\]
\begin{eqnarray*}
&&\dsdx{}\nu\left(\Phi+\frac{8\pi R_\odot^3}{3M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}
\dsdnu\Phi\right)
-\left(\frac{9M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho}
+4\pi R_\odot G\frac{r\rho}g\dsdx{\ln\rho}\nu\right)\Phi \\
%%
&&-\frac{4\pi R_\odot^3G}3\frac{r^3\rho}g\dsdnu{\ln\rho}\Omega^2
-\frac{8\pi R_\odot^3 G}3\frac{r^3\rho}g\Omega\dsdnu\Omega=0
\end{eqnarray*}

L'équation de Poisson se ramène à~:
\begin{eqnarray}\label{eq:poiss}
&& F_{29}\Omega^2+F_{28}\Omega\dsdnu\Omega+F_{27}\Phi=
\dsdx{}\nu\left(\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi\right) \Longrightarrow \\
\nonumber
&& <\left(F_{29}\Omega^2+F_{28}\Omega\dsdnu\Omega+F_{27}\Phi
\right)\bullet S_j^{m_c}>+<\left(\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi\right)
\bullet
\dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\ \nonumber
&&-\left|\left(\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi\right) S_j^{m_c}
\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0\\ \nonumber
&& F_{25}=\frac{8\pi R_\odot^3}{3M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu},
\ F_{27}=\frac{9M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho}
+4\pi G R_\odot\frac{r\rho}g\dsdx{\ln\rho}\nu,
\ F_{28}=\frac{8\pi GR_\odot^3}3\frac{r^3\rho}g,\\ \nonumber
&& F_{29}=\frac{4\pi R_\odot^3G}3\frac{r^3\rho}g\dsdnu{\ln\rho}
\end{eqnarray}

\subsection{Transport du moment cinétique}
Dans une \ZR, le  moment cinétique par unité de masse~:
\begin{eqnarray}\label{eq:tmc2}
&& \rho\dsdt{R^2\Omega}=\frac1{R^2}\dsdx{}R\left[R^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+D_{\rm v}\dsdx\Omega R\right)\right]
-\rho\dot{\cal M}_\Omega\Rightarrow\\ \nonumber
&&R_\odot^2\dsdt{r^2\Omega}=
\frac{8\pi R_\odot^6r^2\rho}{3M_\odot R_\odot^2r^2\rho\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left[r^4\rho\left(\frac{\Omega U}5+
\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho D_{\rm v}}{3M_\odot\sqrt\nu}
\dsdnu\Omega\right)\right]-\dot{\cal M}_\Omega\Rightarrow\\ \nonumber
&& \dsdt{r^2\Omega}=
\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{}\nu\left[r^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}{3M_\odot\sqrt\nu}
D_{\rm v}\dsdnu\Omega\right)\right]-\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2}
\Rightarrow\\ \nonumber
&& \sqrt\nu\dsdt{r^2\Omega}=
 \frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}\dsdx{}\nu(r^4\rho\Omega U)
+\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}\dsdx{}\nu
\left(\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}\dsdnu\Omega\right)
-\frac{\dot{\cal M}_\Omega\sqrt\nu}{R_\odot^2}
\end{eqnarray}

L'intégration par éléments finis prend la forme~:
\begin{eqnarray*}
&& <\sqrt\nu\left(\frac{r^2\Omega}{\Delta t}-\frac{r^2(t)\Omega(t)}{\Delta t}
+\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2}\right)\bullet S_j^{m_c}>\\
&& +<\left(\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho\Omega U
+\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}
\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\dsdnu\Omega\right)\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\
&& -\left|\left(\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho\Omega U
+\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}
\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\dsdnu\Omega\right)S_j^{m_c}\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0
\end{eqnarray*}

Avec les notations des algorithmes,
%en tenant compte des conditions aux limites $\dsdx{\Omega(\nu_0,t)}\nu=0$
%et $\dsdx{\Omega(\nu_{\rm s},t)}\nu=0$,
les équations s'écrivent~:
\begin{eqnarray}\nonumber
&&  <\left(F_{26}\Omega-F_{30}\right)\bullet S_j^{m_c}>
+<\left(F_{31}\Omega U +F_{32}\dsdnu\Omega\right)
\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\ \label{eq:tomega2}
&&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
-\left|\left(F_{31} U\Omega+F_{32}\dsdnu\Omega\right) S_j^{m_c}
\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0 \\ \nonumber
&& F_{26}=\frac{r^2\sqrt\nu}{\Delta t}
,\ F_{30}=(F^*_1+F^*_2)\sqrt\nu,\ F^*_1=\frac{r^2(t)\Omega(t)}{\Delta t}
,\ F^*_2=-\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2} \\ \nonumber
&& F_{31}=\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho,\ 
F_{32}=\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\end{eqnarray}

\subsection{Les conditions physiques dans les zones mélangées}
\label{sec:condphys}
Les zones mélangées, \ie\ \ZCs\ éventuellement overshootées,
apparaissent, disparaissent au cours de l'évolution. On admet que dans ces zones
le mélange uniformise la vitesse angulaire, c'est la rotation solide. 
La notion de circulation méridienne n'y ayant pas de sens physique, est posée
nulle. Le taux de fluctuation du potentiel gravitationnel $\Phi$ y satisfait
l'équation de Poisson, \eq{eq:poiss}. On suppose
que les fluctuation de température et de poids moléculaire moyen sont
nulles le long d'une isobare, ainsi~: 
\begin{equation}\label{eq:ltheta2}
\dsdx\Omega R=0,\ U=0,\ \Psi=0,\ \Lambda=0.
\end{equation}
Aux limites \ZRZC, la vitesse angulaire $\Omega$ et le taux de fluctuation du
potentiel gravitationnel $\Phi$ sont des fonctions continues; la vitesse
de circulation
méridienne, les taux de fluctuation de la température $\Psi$ et du poids
moléculaire moyen $\Lambda$ sont des fonctions discontinues. D'où
la nécessité d'introduire des limites internes mobiles et en nombre
variable, ce qui complique l'intégration numérique.
Grâce à un choix {\em ad hoc} des bases de B-splines utilisées pour la
diffusion du moment cinétique, les discontinuités
sont implicitement prises en compte par \cesam2k,
\cfparagr{sec:discon}. Une alternative se présente~:
\begin{itemize}
\item {\embf Le modèle est totalement convectif}, à l'image de ce qui est fait
pour la
diffusion des espèces chimiques, on contourne l'aspect intégral en uniformisant
la vitesse angulaire par une diffusion permettant de conserver globalement le
moment cinétique. Pour ce faire, on impose des
coefficients de diffusion dont l'ordre de grandeur, grand devant l'unité,
correspond au temps de retournement des éléments convectifs. Cette modélisation
simule un mélange turbulent efficace. Les équations
à résoudre sont alors les suivantes~:
\begin{eqnarray*}
&&  <\left(F_{26}\Omega-F_{30}\right)\bullet S_j^{m_c}>
+<F_{32}\dsdnu\Omega\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>-
\left|F_{32}\dsdnu\Omega S_j^{m_c}\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0 \\
&&<U\bullet S_j^{m_c}>=0,\ <\Psi\bullet S_j^{m_c}>=0,
\ <\Lambda\bullet S_j^{m_c}>=0,\\
&& <\left(F_{29}\Omega^2+F_{27}\Phi+F_{28}\Omega\dsdnu\Omega
\right)\bullet S_j^{m_c}>+<\left(\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi\right)
\bullet
\dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\ \nonumber
&&-\left|\left(\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi\right) S_j^{m_c}
\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0.
\end{eqnarray*}
Les deux conditions limites, au centre et à la surface, pour les équations de
transport du moment cinétique, et de Poisson s'introduisent
naturellement dans les parties intégrées.
C'est la situation la plus simple, aucune discontinuité ne devant être
introduite dans le vecteur nodal.

\item {\embf Au moins une zone radiative est présente}, comme précédemment,
dans la ou les \ZCs, l'uniformisation de la vitesse angulaire est effectuée par
une diffusion. 
Contrairement au cas totalement convectif, le moment cinétique
n'est pas globalement conservé en tant que tel. Sa variation
temporelle dans chaque \ZC\ est supposée advectée dans
la circulation méridienne des zones radiatives adjacentes.\\
A la limite $R$ d'une zone mélangée localisée dans un intervalle $[R_1,R]$,
la vitesse de circulation méridienne vérifie (Mathis \& Zahn \cite{mtz04})~:
\begin{equation}\label{eq:ulim} 
\int_{R_1}^{R} \left(\dsdt{}R^4\rho\Omega+R^2\rho\dot{\cal M}_\Omega\right)dR
=\left|\frac15 R^4\rho\Omega U\right|_{R_1}^R,
\end{equation}
différence entre les quantités d'énergie entrant et sortant de la zone mélangée
par unité de temps.
On a donc~:
\begin{eqnarray}\label{eq:ufic}
&& \dsdt{}R^4\rho\Omega+R^2\rho\dot{\cal M}_\Omega=\frac15\dsdx{}RR^4
\rho\Omega U
\end{eqnarray}
La résolution de cette équation conduit à la connaissance de la valeur de la
vitesse de circulation méridienne coté radiatif des limites \ZRZC.
Comme le montre
\lleq{eq:ulim}, $U$ doit être affecté du signe $+$ à la "sortie" d'une \ZC\ et
du signe $-$ à son "entrée" (Mathis \& Zahn \cite{mtz04}).\\
Du point de vue algorithmique, la vitesse de circulation méridienne
n'intervenant pas dans le processus de mélange par diffusion,
pour résoudre \lleq{eq:ufic},
\cesam2k n'introduit pas de variable supplémentaire mais uti\-li\-se
celle attachée à $U$. Pour la suite, cette variable, dénuée de sens physique,
sera notée $U_{\rm f}$ pour la distinguer de la vitesse de circulation
méridienne $U$, nulle dans une \ZC.   

Les équations sont discrétisées comme suit~:
\begin{eqnarray*}
&&\dsdt{}R^4\rho\Omega+R^2\rho\dot{\cal M}_\Omega=\frac15\dsdx{}RR^4
\rho\Omega U \Rightarrow
R_\odot^4\dsdt{}r^4\rho\Omega+R_\odot^2r^2\rho\dot{\cal M}_\Omega=
\frac{8\pi R_\odot^6}{15M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu} \Rightarrow \\
&&\sqrt\nu\dsdt{}r^2\Omega+\frac{\sqrt\nu\Omega}\rho\dsdt{}r^2\rho
+\sqrt\nu\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2}=
\frac{8\pi R_\odot^6}{15M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu} \Rightarrow  \\
&&\sqrt\nu\left(\frac{r^2\Omega}{\Delta t}-\frac{r^2(t)\Omega(t)}{\Delta t}
+\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2}\right)+\frac{\sqrt\nu\Omega}\rho
\left(\rho\dsdt{}r^2+r^2\dsdt{}\rho\right)=
\frac{8\pi R_\odot^6}{15M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu}
\end{eqnarray*}
En tenant compte du fait que le gradient de composition chimique est nul
dans une zone convective~:
\begin{eqnarray*}
&&\dsdt{\ln\rho}=\alpha\dsdt{\ln P}-\delta\dsdt{\ln T}+\varphi\dsdt{\ln µ}=
(\alpha-\delta\nabla)\dsdt{\ln P} \Rightarrow \\
&&\frac{\sqrt\nu}{\Delta t}\left[r^2\left\{2+\left(\alpha-\delta\nabla\right)
\left(\ln P-\ln P(t)\right)\right\}-r^2(t)\right]\Omega \\
&& -\sqrt\nu\left(\frac{r^2(t)\Omega(t)}{\Delta t}
-\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2}\right)=
\frac{8\pi R_\odot^6}{15M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu}
\end{eqnarray*}

Les \eqs{eq:psi} et \mref{eq:lambda2} montrent que les discontinuités de
$\dsdnu\Omega$ et $U$, aux limites \ZRZC, entraînent celles de $\Psi$ et
de~$\Lambda$.\\
La densité $\rho$ apparait
dans l'expresion du coefficient de la dérivée seconde de $\Phi$ dans
\lleq{eq:poiss}, vérifiée par la fluctuation du potentiel gravitationnel.
La discontinuité de $\rho$ aux limites \ZRZCs, implique que
$\Phi$ soit une fonction continue non dérivable en ces points.  

\noi En résumé, aux limites \ZRZC~:
\begin{itemize}
 \item $\Omega$ est une fonction continue non dérivable,
 \item $U$, prolongeant $U_{\rm f}$, devient une fonction continue,
 \item $\Psi$, $\Lambda$ sont des fonctions discontinues,
 \item $\Phi$ est une fonction continue non dérivable.
\end{itemize}
Pour la diffusion du moment
cinétique \cesam2k utilise un vecteur nodal discontinu à chaque limite \ZRZC;
la continuité de $\Omega$,  $U$ et $\Phi$ étant réalisée en assurant,
pour les B-splines concernées,
l'égalité de leurs coefficients de part et d'autre
de chaque discontinuité, \cfparagr{sec:discon}.

Avec les notations des algorithmes dans une zone mélangée d'un modèle non
totalement convectif, les équations s'écrivent~:
\begin{eqnarray*}\nonumber
&& <\left(F_{26}\Omega-F_{30}\right)\bullet S_j^{m_c}>+<F_{32}\dsdnu\Omega
\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>-\left|F_{32}\dsdnu\Omega S_j^{m_c}
\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0 \\
&&<\left(F_{35}\Omega-F_{30}\right)\bullet S_j^{m_c}>
+<F_{31}\Omega U_{\rm f}\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>
-\left|F_{31}\Omega U_{\rm f}S_j^{m_c}\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0 \\
&&<\Psi\bullet S_j^{m_c}>=0, <\Lambda\bullet S_j^{m_c}>=0 \\
&& <\left(F_{29}\Omega^2+F_{27}\Phi+F_{28}\Omega\dsdnu\Omega
\right)\bullet S_j^{m_c}>+<\left(\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi\right)
\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\ \nonumber
&&-\left|\left(\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi\right) S_j^{m_c}
\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0\\ \nonumber
&& F_{35}=\frac{\sqrt\nu}{\Delta t}\left(r^2\left(2+(\alpha-\delta\nabla\right)
\left(\ln P-\ln P(t)\right)-r^2(t)\right).
\end{eqnarray*}
Les bornes des parties intégrées correspondent aux limites de la \ZC,
\cfparagr{sec:discon}.\\
En négligeant les variations temporelles de rayon et de densité pour une même
abscisse lagrangienne, l'équation vérifiée par $U_{\rm f}$ devient~:
\begin{eqnarray*}
&&  <\left(F_{26}\Omega-F_{30}\right)\bullet S_j^{m_c}>
+<F_{31}\Omega U_{\rm f}\bullet\dsdnu{S_j^{m_c}}>
-\left|F_{31}\Omega U_{\rm f}S_j^{m_c}\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0
\end{eqnarray*}

La continuité de la vitesse angulaire $\Omega$ et du taux de fluctuation du
potentiel gravitationnel $\Phi$ aux limites \ZRZCs, rejette les conditions
limites pour ces deux équations aux extrèmités
de l'intervalle d'intégration, \ie au centre et à la surface
\end{itemize}

\section{Continuité du flux de moment cinétique}
La conservation du moment cinétique implique la continuité du flux de moment
cinétique~: ${\cal F}_{ZC}={\cal F}_{ZR}$, à travers chaque limite \ZRZC.
A un facteur $4\pi R_c^2$ près, le flux de moment cinétique, par unité de temps,
de la \ZC\ vers la \ZR\ adjacente, à travers la limite $R_c$ se déduit de 
Eq.(\ref{eq:eqd})~:
\begin{equation}\label{eq:eqd1}
{\cal F}_{ZC}=
\left(R^4\rho D_{\rm c}\dsdx\Omega R\right)_{ZC}-\frac15(R^4\rho\Omega)_{ZC}
\dsdx{R_c}t,
\end{equation}
le second terme représente la quantité de moment cinétique balayée par le
déplacement de la limite $R_c$ pendant le temps $dt$. Le facteur $\frac15$ est
géométrique. Le signe $-$ provient du fait que la \ZC\ gagne du moment
cinétique sur la \ZR\ ce qui correspond à un flux entrant.

De façon analogue, le flux de moment cinétique, par unité de temps,
reçu par la zone radiative adjacente se déduit de Eq.(\ref{eq:tmc})~:
\begin{equation}\label{eq:tmc1}
{\cal F}_{ZR}=\left(R_c^4\rho\frac{\Omega U}5+R_c^4\rho D_{\rm v}
\dsdx\Omega R\right)_{ZR}
\end{equation}
La continuité du flux de moment cinétique implique~: 
\begin{equation}\label{eq:flux2}
\left(D_{\rm c}\rho\dsdx\Omega R-\frac{\rho\Omega}5\dsdx{R_c}t\right)_{ZC}
=\left(\frac{\Omega\rho U}5+D_{\rm v}\rho\dsdx\Omega R\right)_{ZR}.
\end{equation}
Avec diffusion micoscopique, pour une limite \ZCZR\ avec flux sortant,
\ie\ limite d'un c\oe ur convectif~:
\begin{equation}\label{eq:flux}
D_{\rm c}\left(\dsdx\Omega R\right)_{ZC}
=\frac\Omega5\left(U+\dsdx{R_c}t\right)+D_{\rm v}\left(\dsdx\Omega R\right)_{ZR}.
\end{equation}
Pour une limite \ZRZC\ avec flux entrant, \ie\ limite interne d'une
\ZC\ externe~:
\begin{equation}\label{eq:flux1}
-D_{\rm c}\left(\dsdx\Omega R\right)_{ZC}
=\frac\Omega5\left(U-\dsdx{R_c}t\right)+D_{\rm v}\left(\dsdr\Omega\right)_{ZR}
\end{equation}
Sans diffusion microscopique, il y a lieu de conserver les valeurs de la
densité de part et d'autre de la discontinuité.
Les Eq.(\ref{eq:flux}) et Eq.(\ref{eq:flux1}) définissent des conditions 
limites pour $U$, cotés radiatifs, d'une \ZC\ interne.\\
Une difficulté pratique est l'estimation de $\dsdx{R_c}t$, en particulier
lors de l'apparition/disparition des \ZCs.
En lagrangien les advection de moment cinétique balayées par le déplacement des
limites \ZRZCs\ étant implicitement prises en compte, de façon générale la
condition s'écrit~:
\begin{eqnarray*}
&&\pm\left(F_{33}\dsdnu\Omega\right)_{ZC}
+\left(F_{34}U\Omega+F_{33}\dsdnu\Omega\right)_{ZR}=0,
\ F_{33}=\frac{40\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu},
\ F_{34}=\frac\rho5
\end{eqnarray*}
le signe $-$ affecte les limites avec flux sortant, \ie celle d'un
noyau convectif.

\subsection{Les conditions physiques aux limites}
En taitant la nature intégrale du mélange convectif comme une diffusion,
dans son ensemble, le transport du moment cinétique est ramené à un 
problème différentiel aux limites de conditions initiales.
Des conditions initiales et des conditions limites doivent être
précisées à chaque limite entre \ZR\ et \ZC.\\ 
La diffusion du moment cinétique, \cfequ{eq:tmc2}, est un problème aux
limites du second ordre. La connaissance du profil
initial de la vitesse angulaire et deux conditions limites spatiales sont
nécessaires.\\ 
La vitesse de circulation méridienne, \cfequ{eq:uinit2}, vérifie un problème aux
limites du quatrième ordre. La connaissance du profil
initial de la vitesse de circulation méridienne et quatre conditions limites
spatiales sont requises.\\ 
Le taux de fluctuation du poids moléculaire moyen le long d'une isobare,
$\Lambda$, vérifie un problème de condition initiale, \cfequ{eq:lambda2}.
Seule la dépendance spatiale initiale de $\Lambda$ doit être connue.\\ 
Les conditions initiales et aux limites de la variable intermédiaire
$\Psi$, se déduisent de celles de $\Omega$, $U$ et $\Lambda$,
\cfequ{eq:psi}.\\
La fluctuation du potentiel gravitationnel $\Phi$ vérifie l'équation du
second ordre, \mref{eq:poiss}.
Comme il a été exposé plus avant, les deux conditions aux limites sont rejetées
aux extrèmités de l'intervalle d'intégration. Mathis \& Zahn \cite{mtz04},
imposent la régularité au centre et la continuité avec un champ de potentiel à
la surface. \\
Les conditions initiales et aux limites du système différentiel modélisant le
transport des éléments chimiques ont été décrites au \paragr{sec:eqd}.

\medskip
\noi{\embf Le centre~:} ($\nu=\nu_0=0$), suivant l'état d'évolution le centre
peut être situé dans une \ZR\ ou dans une \ZC. Par raison de symétrie, la
dérivée spatiale de la vitesse angulaire est nulle, ainsi que la vitesse de
circulation méridienne~:
\[\dsdx{\Omega(\nu_0,t)}\nu=0,\ U(\nu_0,t)=0,\]
ces conditions entraînent, \cfequ{eq:psi}~:
\[\Psi(\nu_0,t)=0.\]
Le rayon nul et l'échelle de hauteur de la pression infinie au centre
entraînent, \cfequ{eq:lambda2}~:
\[\Lambda(\nu_0,t)=0.\]
La régularité du taux de fluctuation du potentiel gravitationnel
entraîne~:
\[\Phi(0,t)=0,\quad \dsdx{\Phi(0,t)}\nu=0.\]
Avec ces conditions limites, les contributions des parties
intégrées des \eqs{eq:uinit2}, \mref{eq:poiss} et  \mref{eq:tomega2} sont nulles
en $\nu_0$.

\medskip
\noi{\embf La surface~:}  La partie externe de l'enveloppe, zone d'ionisation
de l'hydrogène, est toujours une \ZC. L'instabilité convective
s'étend dans l'atmosphère
jusqu'à la limite du milieu transparent ($\tau\sim\frac23$). Il est raisonable
d'admettre que la
composition chimique et la vitesse angulaire dans l'atmosphère sont celles
de la \ZC\ externe, \cfparagr{sec:rest}. La borne supérieure $\nu_{\rm s}$
de l'intégration spatiale du transport du moment cinétique correspondant
à celle de l'enveloppe est donc toujours située dans une \ZC. \\
A la surface les conditions limites retenues pour $\Omega$,$U$, $\Psi$ et
$\Lambda$ sont~:
\[\dsdx{\Omega(\nu_{\rm s},t)}\nu=0,\ U(\nu_{\rm s},t)=0,
\ \Psi(\nu_{\rm s},t)=0,\ \Lambda(\nu_{\rm s},t)=0.\]
Avec ces conditions limites, les contributions des parties
intégrées des \eqs{eq:uinit2} et \mref{eq:tomega2} sont nulles
en $\nu_{\rm s}$, sauf celle qui concerne $U_{\rm f}$ car rien
n'impose que $U_{\rm f}(\nu_{\rm s},t)=0.$\\
Selon Mathis \& Zahn (2004),
la continuité à la surface du taux de fluctuation 
du potentiel gravitationnel $\Phi$ s'écrit ($l=2,\ l+1=3$)~:
\[0=\left(3\frac\Phi R+\dsdr\Phi\right)_{R=R_{\rm ext}}
\Rightarrow \Phi=-\frac R3\dsdr\Phi\]
A la surface, la partie intégrée de \lleq{eq:poiss} devient alors~:
\[\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi=\left(-\frac{8\pi R_\odot^3}{9M_\odot}
\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}+\frac{8\pi R_\odot^3}{3M_\odot}
\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}\right)\dsdnu\Phi=
\frac{16\pi R_\odot^3}{9M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}\dsdnu\Phi
=\frac23F_{25}\dsdnu\Phi\]

\medskip
\noi{\embf Les limites \ZRZC\ internes~:} les discontinuités
étant explicitement introduites, des conditions limites doivent être
prises en compte aux limites \ZRZCs.\\
Deux des conditions limites requises par l'équation de transport du moment
cinétique, sont satisfaites en écrivant la continuité de la vitesse angulaire à
travers les limites \ZRZCs. Pour ce faire, \cesam2k remplace la relation
résultant du produit scalaire avec la B-spline localisée sur la face
convective de chaque limite, par la relation formée par l'égalisation
des projections sur chaque B-spline située  immédiatement de part et
d'autre de la limite, \cfparagr{sec:discon}. Pour chaque \ZR\
interne deux conditions sont ainsi obtenues. Quand la zone radiative contient le
centre, c'est la condition limite sur $\Omega$ qui est relevante. \\
De façon similaire deux autres conditions limites sont obtenues en prolongeant
$U_{\rm f}$ par $\pm U$ sur chaque limite, \cfparagr{sec:condphys}.\\
Les contributions des parties intégrées de \lleq{eq:uinit2}, complètent la
quantité de conditions limites requises pour $U$.

\medskip
\noi De façon similaire, les deux conditions limites requises pour l'équation de
Poisson, sont satisfaites en assurant la continuité de $\Phi$ aux limites \ZRZC.

\subsection{Les conditions initiales}\index{W\_FORM}
Des conditions initiales doivent être définies pour les variables
principales qui apparaissent avec une dépendance temporelle dans les équations,
à savoir~: la vitesse angulaire $\Omega(0,R)$, le taux de fluctuation
du poids moléculaire moyen~$\Lambda(0,R)$ et les abondances des éléments
chimiques $x_i(0,R)$. Pour les autres variables principales $U$, $\Psi$, et
$\Phi$, en raison de la forme implicite de la discrétisation des équations
différentielles, des solutions provisoires sont nécessaires.
Les conditions initiales sont établies
par la routine PRIVATE {\tt initialise\_rota} du module {\tt MOD\_CESAM}.\\ 
{\embf Vitesse angulaire initiale~:} on ne dispose pas de données
observationnelles permettant d'inférer la répartition spatiale de la vitesse
angulaire d'un modèle initial de \PMS\ ou de \ZAMS. Faute de mieux, \cesam2k
suppose la rotation solide. La vitesse angulaire initiale est déduite
de la variable {\tt W\_ROT} du fichier de données {\tt mon\_modele.don},
\cfparagr{sec:fichdon}.\\
Il est toutefois possible d'utiliser un profil de rotation grossièrement
similaire à celui que l'on peut inférer des observations de sismologie solaire~:
\begin{eqnarray*}
 \Omega_0(r,0)=\Omega_0\left\{1+q\left[1+
 \cos\left(\pi\frac r{R_\star}\right)\right]\right\}
\end{eqnarray*}
$\Omega(0,R)$ est la vitesse angulaire initiale, éventuellement
déduite de la période de rotation et du rayon total initial,
\cfparagr{sec:fichdon}. $q \geq -1$ est un paramètre
permettant de fixer le rapport entre la vitesse angulaire
au centre et à la surface, $q=0$ correspond à une rotation rigide.
$q$ est la variable {\tt w\_form} du module {\tt MOD\_DONNEES} elle est fixée à
0. Pour utiliser une valeur différente, il convient de la
redéfinir à l'aide d'un fichier de "réglages", \cfparagr{sec:reg}.
Avec $q \neq 0$, le profil de $\Omega(0,R)$ n'est pas iniformisé dans les
\ZC. $\Omega(0,R)$ est initialisé dans la routine {\tt w\_initial} du module
{\tt MOD\_CESAM}.\\
{\embf Vitesse de circulation méridienne initiale~:} cette quantité n'est pas
accessible à l'observation. De façon euristique, dans la routine
{\tt u\_initial} du module {\tt MOD\_CESAM}, $U_(0,R)$ est obtenu par
la relation empirique~:
\[U(0,R)=\frac{|w_{\rm rot}|u_i}{2-(R/R_\star)^2}\]
où $u_i$ est un paramètre fixé à $10^{-4}$ et $w_{\rm rot}$
la valeur de la variable {\tt W\_ROT} du fichier de données
{\tt mon\_modele.don}.\\
{\embf Taux de fluctuation du poids moléculaire moyen~:} la composition chimique
du modèle initial étant supposé homogène, le taux de fluctuation du poids
moléculaire moyen est nul à l'instant initial~: $\Lambda(0,R)=0$.\\
{\embf Des conditions initiales pour $\Psi$~:} sont nécessaires
pour la résolution numérique, la formulation des équations étant implicite.
\cesam2k les calcule à partir de la relation de
définition, \equ{eq:psi}, en utilisant les
valeurs initiales retenues pour $\Omega(0,R)$ et $\Lambda(0,R)$.\\
{\embf Taux de fluctuation du potentiel gravitationnel~:} une approximation, 
pour à l'instant initial, est donnée par (Zahn 1992, Eq. 3.15)~:
\[\Phi(0,R)=\frac{{\cal R} T}\mu-\frac13R^2\Omega^2\]
où on a utilisé l'approximation gaz parfait.




\end{document}
