%********************************************************************

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}

\textheight=24.cm
%\footheight=1.cm
\textwidth=15.cm
\topmargin=-0.5cm
\headsep=0.5cm
\oddsidemargin=1.cm
\evensidemargin=0.cm
\pagenumbering{arabic}
\sloppy
\input def_standard.tex
%\pagestyle{empty}		%pour éviter la numérotation des pages

\begin{document}
\normalsize
\todayf

\section{Hypothèses}
Dans une \ZC, on suppose que la vitesse angulaire $\Omega$ est uniformisée par
une diffusion de coefficient $D_c >> 1$. Cette uniformisation est
réalisée en résolvant l'équation de diffusion~:
\begin{equation}\label{eq:eqd}
\rho\dsdt{R^2\Omega}=\frac1{R^2}\dsdx{}R\left(R^4\rho D_{\rm c}\dsdx\Omega R
\right)
\end{equation}
Dans une \ZC, la vitesse de circulation méridienne $U$ n'a pas de sens physique,
on convient que $U\equiv0$. Sur une limite \ZRZC, $U$ est discontinue,
la densité $\rho$ est aussi discontinue si on ignore la diffusion
microscopique, continue, non dérivable si elle est prise en compte.

Dans une \ZR, l'équation de transport du moment cinétique comporte un terme
d'advection $R^4\rho\Omega U$~:
\begin{equation}\label{eq:tmc}
\rho\dsdt{R^2\Omega}=\frac1{R^2}\dsdx{}R\left[R^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+D_{\rm v}\dsdx\Omega R\right)\right]
\end{equation}
Les équations de diffusion de part et d'autre d'une limite \ZRZC,
impliquent que la vitesse angulaire est continue sur la limite, avec 
une dérivée première discontinue, à cause de la discontinuité du coefficient de
diffusion ($D_{\rm c}\leftrightarrow D_{\rm v}$).
La discontinuité de $U$ sur les limites \ZRZCs, a pour conséquence la nécessité
de définir une condition limite coté radiatif pour $U$.
Depuis 1992, la relation de JPaul (Eq.103 de Mathis, Zahn 2005)~:
\begin{equation}\label{eq:jp}
\dsdt{}\left[\int_0^{R_c} r^4\rho\Omega dr\right]=\left|\frac15r^4\rho
U\right|_0^{R_c}=\frac15R_c^4\rho U
\end{equation}
constitue le paradigme pour la limite \ZRZC\ d'un noyau convectif de rayon
$R_c$. Des signes différents et des termes
supplémentaires apparaissent dans les autres situations de \ZC.
Cette condition signifie que la variation temporelle de moment cinétique dans la
\ZC, est advectée dans la zone radiative par l'intermédiaire de la vitesse de
circulation méridienne. Dans la tachocline, $U$ est
en quelque sorte générée par une advection de moment cinétique en provenance
de la \ZC.
% Ce modèle justifie le signe $-$ affectant 
%$\frac15r^4\rho U$ à limite de la \ZC\ externe.

\section{Nouvelle condition limite (notes de MJo)}
Le modèle précédent est discutable, en particulier, il est
inapplicable, tel quel, aux limites d'une \ZC\ interne.
Avec le formalisme développé dans les notes de MJo,
l'équation de diffusion est intégrée sur le {\em noyau convectif}~:
\begin{equation}\label{eq:mj}
\int_0^{R_c}r^2\rho\dsdt{r^2\Omega}=R_c^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+D_{\rm v}\dsdx\Omega R\right).
\end{equation}
Dans une \ZC, $U\equiv0$, la présence du terme contenant $U$, n'est pas
justifiée; la démarche proposée doit être aménagée pour mener à une
valeur limite pour $U$, coté radiatif

\section{Continuité du flux de moment cinétique}
La conservation du moment cinétique implique la continuité du flux de moment
cinétique~: ${\cal F}_{ZC}={\cal F}_{ZR}$, à travers chaque limite \ZRZC.
A un facteur $4\pi R_c^2$ près, le flux de moment cinétique, par unité de temps,
de la \ZC\ vers la \ZR\ adjacente, à travers la limite $R_c$ se déduit de 
Eq.(\ref{eq:eqd})~:
\begin{equation}\label{eq:eqd1}
{\cal F}_{ZC}=
\left(R^4\rho D_{\rm c}\dsdx\Omega R\right)_{ZC}-\frac15(R^4\rho\Omega)_{ZC}
\dsdx{R_c}t,
\end{equation}
le second terme représente la quantité de moment cinétique balayée par le
déplacement de la limite $R_c$ pendant le temps $dt$. Le facteur $\frac15$ est
géométrique. Le signe $-$ provient du fait que la \ZC\ gagne du moment
cinétique sur la \ZR\ ce qui correspond à un flux entrant.

De façon analogue, le flux de moment cinétique, par unité de temps,
reçu par la zone radiative adjacente se déduit de Eq.(\ref{eq:tmc})~:
\begin{equation}\label{eq:tmc1}
{\cal F}_{ZR}=\left(R_c^4\rho\frac{\Omega U}5+R_c^4\rho D_{\rm v}
\dsdx\Omega R\right)_{ZR}
\end{equation}
La continuité du flux de moment cinétique implique~: 
\begin{equation}\label{eq:flux2}
\left(D_{\rm c}\rho\dsdx\Omega R-\frac{\rho\Omega}5\dsdx{R_c}t\right)_{ZC}
=\left(\frac{\Omega\rho U}5+D_{\rm v}\rho\dsdx\Omega R\right)_{ZR}.
\end{equation}
Avec diffusion micoscopique, pour une limite \ZCZR\ avec flux sortant,
\ie\ limite d'un c\oe ur convectif~:
\begin{equation}\label{eq:flux}
D_{\rm c}\left(\dsdx\Omega R\right)_{ZC}
=\frac\Omega5\left(U+\dsdx{R_c}t\right)+D_{\rm v}\left(\dsdx\Omega R\right)_{ZR}.
\end{equation}
Pour une limite \ZRZC\ avec flux entrant, \ie\ limite interne d'une
\ZC\ externe~:
\begin{equation}\label{eq:flux1}
-D_{\rm c}\left(\dsdx\Omega R\right)_{ZC}
=\frac\Omega5\left(U-\dsdx{R_c}t\right)+D_{\rm v}\left(\dsdx\Omega R\right)_{ZR}
\end{equation}
Sans diffusion microscopique, il y a lieu de conserver les valeurs de la
densité de part et d'autre de la discontinuité.
Les Eq.(\ref{eq:flux}) et Eq.(\ref{eq:flux1}) définissent des conditions 
limites pour $U$, cotés radiatifs, d'une \ZC\ interne.\\
Une difficulté pratique est le calcul de $\dsdx{R_c}t$, en particulier lors de
l'apparition/disparition des \ZC.

\end{document}
