\subsection{Estimation des d\'eriv\'ees \`a $(\rho,\ T,\ X)$ fix\'es}
Pour le calcul des oscillations non adiabatiques, la constitution du
fichier {\sf mon\_modele.osc} n\'ecessite des
d\'eriv\'ees partielles de variables thermodynamiques \`a
$(\rho,\ T,\ X)$ fix\'es alors que les \'equations d'\'etat disponibles dans
CESAM les donnent \`a
$(P,\ T,\ X)$ fix\'es. On utilise les formules suivantes pour effectuer la
transformation.
\subsubsection{D\'eriv\'ees premi\`eres}
Pour les d\'eriv\'ees premi\`eres par rapport \`a $(\rho,\ T,\ X)$
d'une fonction $f(P,\ T,\ X)$ les
formules de transformation s'\'ecrivent:
\[d\rho=\left(\dsdx\rho P\right)_{\!\!T,X}\nega dP+
\left(\dsdx\rho T\right)_{\!\!P,X}\nega dT+
\left(\dsdx\rho X\right)_{\!\!P,T}\nega dX,\]
\[df=\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}\nega d\rho+
\left(\dsdx fT\right)_{\!\!\rho,X}\nega dT+
\left(\dsdx fX\right)_{\!\!\rho,T}\nega dX,\]
\[df=\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}\left[\left(\dsdx \rho P\right)_{\!\!T,X}
\nega dP+
\left(\dsdx \rho T\right)_{\!\!P,X}\nega dT+
\left(\dsdx \rho X\right)_{\!\!P,T}\nega dX\right]
+\left(\dsdx fT\right)_{\!\!\rho,X}\nega dT+
\left(\dsdx fX\right)_{\!\!\rho,T}\nega dX.\]

Pour la d\'eriv\'ee par rapport \`a la densit\'e:
\[\left(\dsdx fP\right)_{\!\!T,X}\nega=\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}
\left(\dsdx \rho P\right)_{\!\!T,X}\nega=\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}
\frac\rho P \left(\dsdx{\ln\rho}{\ln P}\right)_{\!\!T,X}\nega=
\left(\dsdx f\rho\right)_{T,X}\frac{\!\!\rho\alpha}P,\]
d'o\`u l'op\'erateur:
\begin{equation}\label{eq:dfdro}
\left(\dsdx{ }\rho\right)_{\!\!T,X}\nega=\frac P{\rho\alpha}
\left(\dsdx{ }P\right)_{\!\!T,X}\nega.
\end{equation}
%En particulier, pour la pression $P$:
%\[\left(\dsdx P\rho\right)_{\!\!T,X}\nega=\frac P{\rho\alpha}.\]

Pour la d\'eriv\'ee par rapport \`a la temp\'erature:
\[\left(\dsdx fT\right)_{\!\!P,X}\nega=\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}
\left(\dsdx\rho T\right)_{\!\!P,X}\nega+\left(\dsdx fT\right)_{\!\!\rho,X}
\nega\Longrightarrow\]
\[\left(\dsdx fT\right)_{\!\!\rho,X}\nega=\left(\dsdx fT\right)_{\!\!P,X}\nega-
\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}
\left(\dsdx\rho T\right)_{\!\!P,X}\nega=\left(\dsdx fT\right)_{\!\!P,X}\nega
-\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}
\frac\rho T\left(\dsdx{\ln\rho}{\ln T}\right)_{\!\!P,X}\nega,\]
d'o\`u l'op\'erateur:
\begin{equation}\label{eq:dfdt}
\left(\dsdx{ }T\right)_{\!\!\rho,X}\nega=\left(\dsdx{ }T\right)_{\!\!P,X}\nega
+\left(\dsdx{ }\rho\right)_{\!\!T,X}\frac{\rho\delta}T=
\left(\dsdx{ }T\right)_{\!\!P,X}\nega+\frac{P\delta}{\!\!T\alpha}
\left(\dsdx{ }P\right)_{\!\!T,X}\nega.
\end{equation}
%En particulier, pour la pression $P$:
%\[\left(\dsdx PT\right)_{\!\!\rho,X}=\frac{P\delta}{\!\!T\alpha}.\]

Pour la d\'eriv\'ee par rapport \`a $X$:
\[\left(\dsdx fX\right)_{\!\!P,T}\nega=\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}
\left(\dsdx\rho X\right)_{\!\!P,T}\nega+\left(\dsdx fX\right)_{\!\!\rho,T}
\nega\Longrightarrow\]
\[\left(\dsdx fX\right)_{\!\!\rho,T}\nega=\left(\dsdx fX\right)_{\!\!P,T}\nega-
\left(\dsdx f\rho\right)_{\!\!T,X}\left(\dsdx\rho X\right)_{\!\!P,T}\nega.\]
d'o\`u l'op\'erateur:
\begin{equation}\label{eq:dfdx}
\left(\dsdx{ }X\right)_{\!\!\rho,T}\nega=\left(\dsdx{ }X\right)_{\!\!P,T}\nega
-\frac P{\rho\alpha}\left(\dsdx\rho X\right)_{\!\!P,T}
\left(\dsdx{ }P\right)_{\!\!T,X}\nega.
\end{equation}
%En particulier, pour la pression $P$:
%\[\left(\dsdx PX\right)_{\!\!\rho,T}=-\frac P{\rho\alpha}
%\left(\dsdx\rho X\right)_{\!\!P,T}.\]

\subsubsection{D\'eriv\'ees secondes}
CESAM estime num\'eriquement les d\'eriv\'ees secondes inaccessibles
avec certaines \'equations d'\'etat. On introduit les notations:
\[f_{\rho(P)}\equiv\left(\dsdx{f(P)}\rho\right)_{\!\!T,X}\nega,
\ f_{T(P)}\equiv\left(\dsdx{f(P)}T\right)_{\!\!\rho,X}\nega,
\ f_{\rho(T)}\equiv\left(\dsdx{f(T)}\rho\right)_{\!\!T,X}\nega,
\ f_{T(T)}\equiv\left(\dsdx{f(T)}T\right)_{\!\!\rho,X}\nega.\]
Les d\'eriv\'ees $f_{\rho;P}$, $f_{\rho;T}$, $f_{T;P}$ et $f_{T;T}$
par rapport \`a $P$ et $T$ de ces quantit\'es sont estim\'ees
num\'eriquement:
\[f_{\rho;P}=\left(\dsdx{f_\rho}P\right)_{\!\!T,X}\nega\sim\frac{f_{\rho(P+\Delta P)}
-f_{\rho(P)}}{\Delta P},\quad
f_{\rho;T}=\left(\dsdx{f_\rho}T\right)_{\!\!P,X}\nega\sim\frac{f_{\rho(T+\Delta T)}
-f_{\rho(T)}}{\Delta T},\]
\[f_{T;P}=\left(\dsdx{f_T}P\right)_{\!\!T,X}\nega\sim\frac{f_{T(P+\Delta P)}
-f_{T(P)}}{\Delta P},\quad
f_{T;T}=\left(\dsdx{f_T}T\right)_{\!\!P,X}\nega\sim\frac{f_{T(T+\Delta T)}
-f_{T(T)}}{\Delta T}.\]
Par application des op\'erateurs \ref{eq:dfdro} et \ref{eq:dfdt}
on obtient des estimations des d\'eriv\'ees secondes:
\[\left(\dsdxx f\rho\right)_{\!\!T,X}\nega=\frac P{\rho\alpha}f_{\rho;P},
\ \left(\dsdxy f\rho T\right)_{\!\!T,X}\nega=\frac P{\rho\alpha}f_{T;P}=
f_{\rho;T}+\frac{P\delta}{T\alpha}f_{\rho;P},
\ \left(\dsdxx fT\right)_{\rho,X}\nega=f_{T;T}
+\frac{P\delta}{T\alpha}f_{T;P}.\]




