%\section{Rotation}
R�f�rences~:
\begin{itemize}
\item {\bf MdZ} Maeder \& Zahn, 1998
\item {\bf MZ} Mathis \& Zahn, 2004
\item {\bf MPZ} Mathis, Palacios \& Zahn, 2004
\item {\bf C} Notice de {\sc cesam}
\item {\bf Sc} Schumaker L., 1981, Splines Functions: Basic Theory,
 John Whiley
\end{itemize}

\section{Les variables}
\begin{itemize}
\item $x_i,\ i=1,\ldots,n_c$~: abondances par mole
\item $y_1\equiv\Omega$~: vitesse angulaire s$^{-1}$,
$\Omega\sim 2\,10^{-6}$ s$^{-1}$
\item $y_2\equiv U$~: vitesse de circulation m�ridienne,
$U\sim 2\,10^{-5}$ cm s$^{-1}$
\item $y_3\equiv\theta=\frac{\tilde\rho}\rho$~: taux de fluctuation
de la densit� le long d'une isobare
\item $y_4\equiv\Lambda=\frac{\tilde\mu}\mu$~: taux de fluctuation
du poids mol�culaire moyen le long d'une isobare
\item $y_5\equiv\psi\equiv\frac{\tilde T}T=\frac{\varphi\Lambda-\theta}\delta$~:
taux de fluctuation de la temp�rature le long d'une isobare
\end{itemize}

\section{Changement de variable $M\rightarrow \nu =\left(\frac
M{M_\odot}\right)^\frac23$}
Les abondances, la vitesse angulaire �tant des variables lagrangiennes,
pour l'int�gration des �quations d'�volution de la composition chimique et
du moment cin�tique on utilise la variable d'espace $\nu$ (d'autres
arguments concernant ce choix sont d�velopp�s dans {\bf C}).

\begin{eqnarray*}		%\label{eq:rot1}
&& M=M_\odot m\ ;\ 
\nu=m^{\frac 23}\ ;\ m=\nu^\frac32\ ;\ M=M_\odot m\ ;\  
d\nu=\frac 23 m^{-\frac 13}dm\ ;\  
dm=\frac32\sqrt\nu d\nu\\
&& dM=M_\odot dm=M_\odot\frac32\sqrt\nu d\nu\ ;\ 
\dsdx{ }M=\frac2{3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{ }\nu\\
&& R=R_\odot r\ ;\ 
dM=\frac{3M_\odot}2\sqrt\nu d\nu=4\pi R^2\rho dR=
4\pi R_\odot^2 r^2\rho dR\\ 
&& dR=\frac{3M_\odot}{8\pi R_\odot^2}\frac{\sqrt\nu}{r^2\rho} d\nu\ ;\ 
\dsdx{ }R=\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}{3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{ }\nu
\end{eqnarray*}

\section{Quelques notations}
\begin{itemize}
\item $l=\frac L{L_\odot}$~: luminosit�
\item $\nu_i$~: masse atomique de l'�l�ment chimique $i$
\item $\bar{z_i}$~: charge moyenne de l'�l�ment chimique $i$ en tenant
compte de l'ionisation
\item $\dot{\cal M}$~: taux de perte de masse
\item $[\nu_{\rm p},\nu_{\rm ext}]$~: zone de perte de moment cin�tique
\item $\dot{\cal M}_\Omega$~: taux de perte de moment cin�tique par unit�
de masse
\end{itemize}
Dans les algorithmes, la plupart des variables comprenant dans leur nom
ou affect�es d'une extension {\tt rot, rota, w} sont relatives �
la rotation.

\section{Expressions de $H_{\rm P}$, $H_{\rm T}$, $\nabla_�$, $\chi$ etc...
et d�riv�es}
\begin{eqnarray*}
&& H_{\rm P}=-\dsdx R{\ln P}=\frac P{\rho g}=\frac{PR^2}{GM\rho}=
\frac{R_\odot^2r^2P}{GM_\odot\nu^\frac32\rho}\\
&& \nabla=\dsdx{\ln T}{\ln P}\\
&& H_{\rm T}=-\dsdx R{\ln T}=-\dsdx R{\ln P}\dsdx{\ln P}{\ln T}
=\frac{H_{\rm P}}\nabla\\
&& x_i=\frac{X_i}{\nu_i}\\
&& �^{-1}=\sum_i(1+\bar{z_i})x_i \\%,\ �\simeq \frac{16}{20X+12-3Z}\\
&& \dsdx�{x_i}=-�^2(1+\bar{z_i})\\
&& \dsdx{\ln�}\nu=\frac1\mu\sum_i\dsdx\mu{x_i}\dsdx{x_i}\nu=
-\mu\sum_i(1+\bar{z_i})\dsdx{x_i}\nu\\%\sim-\mu(1+\bar{z_H})\dsdx{x_H}\nu \\
&& \varepsilon_�=\dsdx{\ln\varepsilon}{\ln�}=\frac�\varepsilon
\sum_i\dsdx{\varepsilon}{x_i}
\dsdx{x_i}�=-\frac1{�\varepsilon}\sum_i\frac1{1+\bar{z_i}}
\dsdx{\varepsilon}{x_i}\\
&& \varepsilon_{\rm T}=\dsdx{\ln\varepsilon}{\ln T}=\frac T\varepsilon 
\dsdx\varepsilon T \\
&& \varphi=\dsdx{\ln\rho}{\ln�}=\frac�\rho\dsdx\rho�=
\frac�\rho\sum_i\dsdx\rho{X_i}\dsdx{X_i}�=-\frac1{�\rho}
\sum_i\frac{\nu_i}{1+\bar{z_i}}\dsdx\rho{X_i}\\%\sim
%-\frac{\nu_H}{�\rho(1+\bar{z_H})}\dsdx\rho{X_H}\\
%&&\varphi\dsdx{\ln\mu}\nu\sim\frac{\nu_H}\rho\dsdx\rho{X_H}\dsdx{x_H}\nu\\
&& \dsdx{\ln\rho}\nu=\alpha\dsdx{\ln P}\nu-\delta\dsdx{\ln T}\nu+
\varphi\dsdx{\ln\mu}\nu\Longrightarrow{\rm \quad si\ }
\dsdx{\ln\mu}\nu\neq0\\
&&\varphi=\left(\dsdx{\ln\rho}\nu-\alpha\dsdx{\ln P}\nu+\delta\dsdx{\ln T}\nu\right)
\left/\left(\dsdx{\ln\mu}\nu\right)\right.\\
&& \nabla_�=\dsdx{\ln�}{\ln P}=\dsdx{\ln�}R\dsdx R{\ln P}=
-\dsdx{\ln�}RH_{\rm P}=-\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}{3M_\odot\sqrt\nu}
H_{\rm P}\dsdx{\ln�}\nu=\\
&& \frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho�H_{\rm P}}{\sqrt\nu}
\sum_i(1+\bar{z_i})\dsdx{x_i}\nu \\
&& \nabla_{\rm rad}=\frac{3\kappa LP}{16\pi acGMT^4}=
\frac{3L_\odot}{16\pi acGM_\odot}\frac{\kappa lP}{\nu^\frac32T^4} \\
&& g=\frac{GM}{R^2}=\frac{GM_\odot}{R_\odot^2}\frac{\nu^\frac32}{r^2}
,\ \frac{\tilde g}g=\frac{4R^3}{3GM}\Omega^2=
\frac{4R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac32}\Omega^2\\
&& N^2_T=\frac{g\delta}{H_{\rm P}}(\nabla_{\rm ad}-\nabla),
\ N^2_�=\frac{g\varphi}{H_{\rm P}}\nabla_� \\
&& \chi=\frac{4acT^3}{3\kappa\rho}\\ 
&&\chi_{\rm T}=\dsdx{\ln\chi}{\ln T}=3-\dsdx{\ln\kappa}{\ln T}-
\dsdx{\ln\rho}{\ln T}=3-\frac T\kappa\dsdx\kappa T+\delta \\ 
&& \chi_�=\dsdx{\ln\chi}{\ln�}=-\dsdx{\ln\kappa}{\ln�}
-\dsdx{\ln\rho}{\ln�}=-\frac�\kappa\sum_i\dsdx\kappa{x_i}\dsdx{x_i}�-\varphi=
-\frac1{�\kappa}\sum_i\dsdx\kappa{X_i}\frac{\nu_i}{1+\bar{z_i}}-\varphi \\
%\simeq-\frac{\nu_H}{�\kappa(1+\bar{z_1})}\dsdx\kappa{X_H}-\varphi\\
&& K=\frac\chi{\rho c_{\rm P}}=\frac{4acT^3}{3\kappa\rho^2 c_{\rm P}} \\
&& \frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}=
\frac ML\dsdx LM=\dsdx{\ln L}{\ln M}=\dsdx{\ln l}{\ln m}\\
%,\ \lim_{\nu\rightarrow0}\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}
%{\varepsilon_{\rm m}}=1\\ 
&& f_\varepsilon=\frac{\bar\varepsilon}{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}=
\dsdx ML\varepsilon_{nuc}=\frac{M_\odot}{L_\odot}
\varepsilon_{nuc}\dsdx ml\\
%,\ \lim_{\nu\rightarrow0}f_\varepsilon=
%\frac{M_\odot}{L_\odot}\varepsilon_{nuc}\\
&& f_\varepsilon\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}=
\frac{\bar\varepsilon}{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}
\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}=
\frac{\bar\varepsilon}{\varepsilon_{\rm m}}=\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{nuc}}l\nu^\frac32\\
%\ \lim_{\nu\rightarrow0}f_\varepsilon
%\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}=
%\frac{M_\odot}{L_\odot}\varepsilon_{nuc}\\
&&\rho_m=\frac{3M}{4\pi R^3}=
\frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\nu^\frac32}{r^3}
\end{eqnarray*}

\section{Expressions de $D_{\rm h}$, $D_{\rm v}$ et $D_{\rm eff}$}
Les coefficients de diffusivit� horizontale $D_{\rm h}$ et
verticale $D_{\rm v}$
sont donn�s par ({\bf MPZ, 7-10-19})~:
\begin{eqnarray*}
&& D_{\rm h}=R\sqrt{\beta\Omega R\left|2V-\alpha U\right|},
\ \beta=1.5\, 10^{-6},\ V=\frac1{6\rho R}\dsdx{R^2\rho U}R,
\ \alpha=\frac12\dsdx{\ln R^2\Omega}{\ln R} \\
&& D_{\rm h}^2=R^3\beta\Omega\left|\frac1{3R\rho}\dsdx{R^2\rho U}R
-\frac{RU}{2R^2\Omega}\dsdx{R^2\Omega}R\right| =
R^2\beta\Omega\left|\frac1{3\rho}\dsdx{R^2\rho U}R
-\frac U{2\Omega}\dsdx{R^2\Omega}R\right|= \\
&& R^2\beta\Omega\left|\frac{R^2\rho}{3\rho}\dsdx UR+\frac{2R\rho U}{3\rho}
+\frac{R^2U}{3\rho}\dsdx\rho R-\frac{2UR\Omega}{2\Omega}
-\frac{UR^2}{2\Omega}\dsdx{\Omega}R\right|= \\ 
&& R^2\beta\Omega\left|\frac{R^2}3\dsdx UR+\frac23UR
+\frac{R^2U}{3\rho}\dsdx\rho R-UR
-\frac{UR^2}{2\Omega}\dsdx{\Omega}R\right|= \\ 
&& R^4\beta\Omega\left|\frac13\dsdx UR-\frac U{3R}
+\frac U{3\rho}\dsdx\rho R
-\frac U{2\Omega}\dsdx{\Omega}R\right|\Rightarrow \\
&& D_{\rm h}^2=\frac{R_\odot^4\beta}3r^4\Omega\left|
\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu}
\left[\dsdx U\nu+U\left(\dsdx{\ln\rho}\nu
-\frac3{2\Omega}\dsdx{\Omega}\nu\right)\right]
-\frac U{R_\odot r}\right| \\
&& D_{\rm h}^2=C_1\Omega\dsdx U\nu+C_2\Omega U-C_3U\dsdx{\Omega}\nu
,\quad C_1=\frac{8\pi R_\odot^6\beta}{9M_\odot}\frac{r^6\rho}{\sqrt\nu} \\
&& C_2=C_1^*-C_2^*,\quad
C_1^*=\frac{8\pi R_\odot^6\beta}{9M_\odot}\frac{r^6\rho}{\sqrt\nu}
\dsdx{\ln\rho}\nu,\quad C_2^*=\frac{R_\odot^3\beta}3r^3
,\quad C_3=\frac{4\pi R_\odot^6\beta}{3M_\odot}\frac{r^6\rho}{\sqrt\nu}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&& D_{\rm v}=\frac{Ri_c(K+D_{\rm h})R^2}{N^2_T+N^2_�(1+K/D_{\rm h})}
\left(\dsdx\Omega R\right)^2,\ Ri_c=\frac16\\
&& D_{\rm v}=\frac{64\pi^2Ri_cR_\odot^6}{9M_\odot^2}\frac{r^6\rho^2}\nu
\frac{D_{\rm h}(1+\frac K{D_{\rm h}})}
{\left[N^2_T+N^2_�\left(1+\frac K{D_{\rm h}}\right)\right]}
\left(\dsdx\Omega\nu\right)^2\\
&&D_{\rm eff}=\frac{R_\odot^2r^2U^2}{30D_{\rm h}}+D_{\rm v}
\end{eqnarray*}

\section{Transport du moment cin�tique par unit� de masse 
$R^2\Omega=R^2y_1$}
Le moment cin�tique v�rifie ({\bf MZ B1})~:
\begin{eqnarray*}
&& \rho\dsdt{R^2\Omega}=\frac1{R^2}\dsdx{}R\left[R^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+D_{\rm v}\dsdx\Omega R\right)\right]
+\dot{\cal M}_\Omega\Rightarrow\\
&& 2R_\odot^2r\Omega\dsdt r+R_\odot^2r^2\dsdt\Omega=
\frac{8\pi R_\odot^6r^2\rho}{3M_\odot R_\odot^2r^2\rho\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left[r^4\rho\left(\frac{\Omega U}5+
\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho D_{\rm v}}{3M_\odot\sqrt\nu}
\dsdx\Omega\nu\right)\right]+\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{\rho}\Rightarrow\\
&& 2r\Omega\dsdt r+r^2\dsdt\Omega=
\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{}\nu\left[r^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}{3M_\odot\sqrt\nu}
D_{\rm v}\dsdx\Omega\nu\right)\right]+\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2\rho}
\Rightarrow\\
&& 2r\sqrt\nu\Omega\dsdt r+r^2\sqrt\nu\dsdt\Omega=
 \frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}\dsdx{}\nu(r^4\rho\Omega U)
+\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}\dsdx{}\nu
\left(\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}\dsdx\Omega\nu\right)
+\frac{\dot{\cal M}_\Omega\sqrt\nu}{R_\odot^2\rho}
\end{eqnarray*}

L'int�gration par �l�ments finis prend la forme~:
\begin{eqnarray*}
&& <r\sqrt\nu\left(2\Omega\frac{r-r^{(t)}}{\Delta t}
+r\frac{\Omega-\Omega^{(t)}}{\Delta t}
-\frac{\dot{\cal M}_\Omega\sqrt\nu}{R_\odot^2\rho}
\right)\bullet S_j^{m_c}>\\
&& +<\left(\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho\Omega U
+\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}
\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\dsdx\Omega\nu\right)\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\
&& -\left|\left(\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho\Omega U
+\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}
\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\dsdx\Omega\nu\right)S_j^{m_c}\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0
\end{eqnarray*}

Avec les notations des algorithmes, en tenant compte des
conditions aux limites $U(\nu_0,t)=0$ et $U(\nu_{\rm s},t)=0$,
les �quations s'�crivent~:
\begin{eqnarray*}
&&  <\left(C_1\Omega-C_2\right)\bullet S_j^{m_c}>
+<\left(C_3\Omega U +C_4\dsdx\Omega\nu\right)
\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>=0 \\
&& C_1=\frac{r\sqrt\nu}{\Delta t}(3r-2r^{(t)})
,\ C_2=(C^*_{11}+C^*_{12})\sqrt\nu,\ C^*_{11}=\frac{r^2\Omega^{(t)}}{\Delta t}
,\ C^*_{12}=\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2\rho} \\
&& C_3=\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho,\ 
C_4=\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\end{eqnarray*}

\section{Expressions initiales de $\breve E_\Omega$ et $\breve E_�$}
 Au paragraphe suivant, des termes dans les expressions initiales de
 ({\bf MdZ}) pour $E_\Omega$ et $E_�$ on �t�
 regroup�s. Pour r�f�rence, on reproduit les �quations originales not�es 
$\breve E_\Omega$ pour $\tilde E_\Omega$ et $\breve E_�$ pour $\tilde E_�$;
$\tilde E_\Omega$ et $\tilde E_�$ sont d�finis plus avant.

\begin{eqnarray*}
\breve E_\Omega=&&-\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdx{}R
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac\theta\delta\right)
+\left(1-\frac{\chi_{\rm T}+1}\delta\right)\theta\right]
-\frac{2H_{\rm T}}R\left(1+\frac{D_{\rm h}}K\right)\frac\theta\delta
+\frac23\theta\right\} \\
&&-\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac\theta\delta\right)
+f_\varepsilon\left(\varepsilon_T-1\right)+\left(2-\frac{\chi_{\rm T}+1}\delta
\right)\theta\right]
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\breve E_�=&&\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdx{}R
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac\varphi\delta\Lambda\right)
-\left(\chi_\mu+\frac{\chi_{\rm T}+1}\delta\varphi\right)\Lambda
\right]-\frac{2H_{\rm T}}R\frac\varphi\delta\Lambda
\right\} \\
&&+\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac\varphi\delta\Lambda\right)+
\left(f_\varepsilon\varepsilon_�+f_\varepsilon\varepsilon_T\frac\varphi\delta
-\chi_�-\frac{\chi_{\rm T}+1}\delta\varphi\right)\Lambda\right]
\end{eqnarray*}

\section{Expression v�rifi�e par $E_\Omega$}
Les quantit�s concern�es\footnote{La quantit� $\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}$ a �t� introduite par S.Mathis
\& JP. Zahn pour �liminer une singularit� sur $U$ au centre quand
le c\oe ur est radiatif.} de $\breve E_\Omega$ et $\breve E_�$ ont �t�
regroup�es dans $E_\Omega$.
\begin{eqnarray*}
E_\Omega=&&2\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}\right)
\frac{\tilde g}g+\tilde{E_\Omega}\\
=&&\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}
+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\frac{r^3\Omega^2}{\nu^\frac32}+\tilde{E_\Omega} \\
\tilde{E_\Omega}=&&\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdx{}R\left[
H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac{\varphi\Lambda-\theta}\delta\right)\right.\right. \\
&& \left.\left.-\left(1+\chi_{\rm T}\right)\frac{\varphi\Lambda-\theta}\delta
-\theta-\chi_�\Lambda\right]\right.  \\
&& \left.-2\frac{H_{\rm T}}R\left(\frac{\varphi\Lambda-\theta}\delta
+\frac{R\theta}{3H_{\rm T}}-\frac{D_{\rm h}}K\frac\theta\delta\right)\right\}\\
\tilde{E_\Omega}= && \frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}
\frac{\nu^\frac32}{r^3\rho}
\left\{\frac{8\pi R_\odot^3}{9M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left[\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx{}\nu\psi\right.\right. \\
&&\left.\left.-\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi
-\theta-\chi_�\Lambda\right]\right.\\
&& \left.-2\frac{H_{\rm T}}{R_\odot r}\left(\psi+\frac{R_\odot}3\frac{r\theta}{H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}K\frac\theta\delta\right)\right\}\\
\tilde{E_\Omega}=&&\nu\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}\dsdx{}\nu\left(
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\psi\nu\right)\\
&&+\frac23\nu\dsdx{}\nu\left\{-\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi
-\theta-\chi_�\Lambda\right\}\\
&&-\nu\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left[\psi+\left(\frac{R_\odot r}{3H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}{K\delta}\right)\theta\right] \\
\end{eqnarray*}

\section{Expression v�rifi�e par $E_�$}
Les quantit�s concern�es de $\breve E_\Omega$ et $\breve E_�$ ont �t�
regroup�es dans $E_�$.
\begin{eqnarray*}
E_�=&&\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac{\varphi\Lambda-\theta}\delta
\right)\right.\\
&& \left.+\left(f_\varepsilon\varepsilon_T-\chi_{\rm T}-1\right)
\frac{\varphi\Lambda-\theta}\delta-\left(2-f_\varepsilon\right)\theta+
\left(f_\varepsilon\varepsilon_�-\chi_�\right)\Lambda\right]= \\ 
&&\nu\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\psi\nu+
\nu\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{nuc}}l\sqrt\nu
\left(\varepsilon_T\psi+\theta+\varepsilon_�\Lambda\right)\\
&& -\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac1\nu\left[\left(\chi_{\rm T}+1\right)\psi+2\theta+
\chi_�\Lambda\right] \\
\end{eqnarray*}

\section{Expression v�rifi�e par la vitesse de circulation m�ridienne
$U=y_2$}
Dans les zones radiatives~:
\begin{eqnarray*}
&& \frac ML\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi
G\rho_m}\right)\left[\frac{Uc_pT}{H_p}\left(\nabla_{ad}-\nabla
+\frac\varphi\delta\nabla_�\right)-\frac{c_pT}\delta\dsdt\theta\right]\\
&& -2\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}-
\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}\right)
\frac{\tilde g}g=\tilde{E_\Omega}+E_�\Rightarrow \\
&&\frac1{L_\odot l}\left(M_\odot\nu^\frac32-\frac{2R_\odot^3}{3G}r^3\Omega^2\right) 
\left[\frac{c_pT}{H_p}\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�
\right)U-\frac{c_pT}\delta\frac{\theta-\theta^{(t)}}{\Delta t}
\right]\\
&&-\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}
+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\frac{r^3\Omega^2}{\nu^\frac32}=\\
&&\nu\left\{\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}\dsdx{}\nu\left(
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\psi\nu\right)
-\frac23\dsdx{}\nu\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi
+\theta+\chi_�\Lambda\right]\right.\\
&&\left.+\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\psi\nu
-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left[\psi+\left(\frac{R_\odot r}{3H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}{K\delta}\right)\theta\right]\right.\\
&&\left.+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{nuc}}l\sqrt\nu
\left(\varepsilon_T\psi+\theta+\varepsilon_�\Lambda\right)
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac1\nu\left[\left(\chi_{\rm T}+1\right)
\psi+2\theta+\chi_�\Lambda\right]\right\}
\end{eqnarray*}

Les solutions faibles sont donn�es par~:
\begin{eqnarray*}
&& <\left\{\frac1{L_\odot l\nu}
\left(M_\odot\nu^\frac32-\frac{2R_\odot^3}{3G}r^3\Omega^2\right)
\left[\frac{c_pT}{H_p}\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�
\right)U-\frac{c_pT}\delta\frac{\theta-\theta^{(t)}}{\Delta t}
\right]\right.\\
&&\left.-\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}
\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
\frac{r^3\Omega^2}{\nu^\frac52}\right.\\
&&\left.-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\psi\nu
+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left[\psi+\left(\frac{R_\odot r}{3H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}{K\delta}\right)\theta\right]\right.\\
&&\left.-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{nuc}}l\sqrt\nu
\left(\varepsilon_T\psi+\theta+\varepsilon_�\Lambda\right)
+\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac1\nu\left[\left(\chi_{\rm T}+1\right)
\psi+2\theta+\chi_�\Lambda\right]\right\}\bullet\ S_j^{m_c}>\\
&&+<\left\{\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi+\theta
+\chi_�\Lambda\right]\right\}\bullet\ \dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\
&& -\left|\left\{\frac{16\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi+\theta
+\chi_�\Lambda\right]\right\}S_j^{m_c}\right|_{\nu_{\rm c}}^{\nu_{\rm s}}=0\\
&&\Longrightarrow \\
&&<\left\{\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{lH_p}
\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right)U
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta}
\frac{\theta-\theta^{(t)}}{\Delta t}\right. \\
&&\left.-\frac{2R_\odot^3}{3GL_\odot}\frac{r^3c_pT}{lH_p\nu}
\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right)U\Omega^2
+\frac{2R_\odot^3}{3G L_\odot}\frac{r^3c_pT}{l\nu\delta}
\frac{\theta-\theta^{(t)}}{\Delta t}\Omega^2\right. \\
&&\left.-\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\Omega^2+\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}\Omega^4
-\frac{4R_\odot^3\Omega^2_0}{3\pi G^2M_\odot\rho_0}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\Omega^2+\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^3}{\nu^\frac52}\Omega^2 \right.\\
&&\left.+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}\psi 
-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\psi\nu
+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}\left(\frac{R_\odot}3\frac r{H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}{K\delta}\right)\theta\right. \\
&&\left.-\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_{\rm T}\sqrt\nu}l\psi-
\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l\theta-
\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_�\sqrt\nu}l
\Lambda+\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_{\rm T}+1}\nu\psi\right. \\
&&\left.+\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\theta
+\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_�}\nu\Lambda
\right\}\bullet\ S_j^{m_c}>\\
&&+<\left\{\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi+\theta
+\chi_�\Lambda\right]\right\}\bullet\ \dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\
&& -\left|\left\{\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi+\theta
+\chi_�\Lambda\right]\right\}S_j^{m_c}\right|_{\nu_{\rm c}}^{\nu_{\rm s}}=0\\
&&\Longrightarrow \\
&&<\left\{
\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}
\Omega^4-\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}
\frac{r^3}{\nu^\frac52}\left(1+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Omega^2
-\frac{2R_\odot^3}{3G L_\odot}
\frac{r^3c_pT\theta^{(t)}}{l\nu\delta\Delta t}\Omega^2 \right. \\
&&\left.-\frac{2R_\odot^3}{3GL_\odot}\frac{r^3c_pT}{lH_p\nu}
\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right)U\Omega^2
+\frac{2R_\odot^3}{3G L_\odot}
\frac{r^3c_pT}{l\nu\delta\Delta t}\theta\Omega^2 \right. \\
&&\left.+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{lH_p}
\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right)U
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta\Delta t}\theta
+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu\theta^{(t)}}{l\delta\Delta t}\right. \\
&&\left.+\left(\frac{M_\odot}{2\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho}
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
+\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho K\delta}D_{\rm h}\right)\theta\right. \\
&&\left.+\left(\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_�}\nu
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_�\sqrt\nu}l
\right)\Lambda+\left(\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}-\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_{\rm T}\sqrt\nu}l
+\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_{\rm T}+1}\nu\right)\psi\right. \\
&&\left.-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\psi\nu
\right\}\bullet\ S_j^{m_c}>\\
&&+<\left\{\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi+\theta
+\chi_�\Lambda\right]\right\}\bullet\ \dsdx{S_j^{m_c}}\nu> \\
&& -\left|\left\{\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\psi+\theta
+\chi_�\Lambda\right]\right\}S_j^{m_c}\right|_{\nu_{\rm c}}^{\nu_{\rm s}}=0\\
\end{eqnarray*}

En tenant compte des conditions limites, 
avec les notations des algorithmes, les �quations � r�soudre se
r�duisent �~:
\begin{eqnarray*}
&&<\left\{\left(C_5\Omega^2-C_7-C_8U+C_9\theta\right)\Omega^2+C_{10}+C_6U
+C_{11}\theta+C_{15}\Lambda+C_{12}\psi
-C_{13}\dsdx\psi\nu\right\}\bullet\ S_j^{m_c}>\\
&&+<\left(C_{17}\theta+C_{18}\Lambda+C_{16}\psi+C_{14}\dsdx\psi\nu
\right)\bullet\ \dsdx{S_j^{m_c}}\nu>
-\left|C_{14}\dsdx\psi\nu S_j^{m_c}\right|_{\nu_{\rm c}}^{\nu_{\rm s}}=0 \\
&& C_5=\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}
,\quad C_6=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{lH_p}
\left|\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right|,\quad
C_7=C^*_{14}+C^*_{15}\\
&& C^*_{14}=\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\left(1+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right),\quad 
C^*_{15}=\frac{2R_\odot^3}{3GL_\odot}\frac{r^3c_pT\theta^{(t)}}
{l\nu\delta\Delta t} \\
&& C_8=\frac{2R_\odot^3}{3GL_\odot}\frac{r^3c_pT}{lH_p\nu}
\left|\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right|
,\quad C_9=\frac{2R_\odot^3}{3G L_\odot}
\frac{r^3c_pT}{l\nu\delta\Delta t}
,\quad C_{10}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta\Delta t}
\theta^{(t)} \\
&& C_{11}=C^*_2-C^*_3+C^*_4-C^*_5-C^*_{16}
,\quad C^*_2=\frac{M_\odot}{2\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho}
,\quad C^*_3=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l\\
&& C^*_4=\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}
,\quad C^*_5=\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu D_{\rm h}}{r^4\rho K\delta}
,\quad C^*_{16}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta\Delta t} \\
&& C_{12}=C^*_6-C^*_7+C^*_8
,\quad C^*_6=\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
,\quad C^*_7=\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_{\rm T}\sqrt\nu}l\\
&& C^*_8=\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_{\rm T}+1}\nu
,\quad C_{13}=\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}
,\quad C_{14}=\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu} \\
&& C_{15}=C^*_9-C^*_{10}
,\quad C^*_9=\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_�}\nu
,\quad C^*_{10}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}
\varepsilon_�\sqrt\nu}l \\
&& C_{16}=-\frac23\left(1+\chi_{\rm T}\right)
,\quad C_{17}=-\frac23,\quad C_{18}=-\frac23\chi_�
\end{eqnarray*}

\section{Expression v�rifi�e par $\theta=y_3$}
\begin{eqnarray*}
&& \theta=\frac{\tilde\rho}{\bar\rho}=\frac{R^2}{3g}\dsdx{\Omega^2}R=
\frac{R_\odot^2r^2R_\odot^2r^28\pi R_\odot^2r^2\rho2\Omega}
{3GM_\odot\nu^\frac32 3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{\Omega}\nu
=\frac{16\pi R_\odot^6}{9GM_\odot^2}\frac{r^6\rho\Omega}{\nu^2}
\dsdx{\Omega}\nu  \Rightarrow \\
&& <\left(\theta-\frac{16\pi R_\odot^6}{9GM_\odot^2}\frac{r^6\rho}{\nu^2}\Omega
\dsdx\Omega\nu\right)\bullet S_j^{m_c}>=0
\end{eqnarray*}
Avec les notations des algorithmes, en tenant compte des conditions
limites, $\dsdx\Omega\nu=0$, au centre ($\nu=\nu_{\rm c}$) et � la surface
($\nu=\nu_{\rm s}$) les solutions faibles v�rifient~:
\begin{eqnarray*}
&& <\left(\theta-C_{19}\Omega\dsdx\Omega\nu\right)\bullet S_j^{m_c}>=0
,\quad C_{19}=\frac{16\pi R_\odot^6}{9GM_\odot^2}\frac{r^6\rho}{\nu^2}
\end{eqnarray*}
Dans une zone de m�lange l'�quation se r�duit �~:
\begin{eqnarray*}
&& <\theta\bullet\ S_j^{m_c}>=0
\end{eqnarray*}

\section{Expression v�rifi�e par $\Lambda=y_4$}
L'expression v�rifi�e par $\Lambda$ est un probl�me de valeur
initiale~:
\begin{eqnarray*}
&& \dsdt\Lambda%-\dsdt{\ln�}\Lambda
=\frac{U\nabla_�}{H_{\rm P}}-\frac{6D_{\rm h}\Lambda}{R^2}
\end{eqnarray*}
Les solutions faibles sont donn�es par~:
\begin{eqnarray*}
&& <\left(\frac{\Lambda-\Lambda^{(t)}}{\Delta t}
-\frac{\nabla_� U}{H_{\rm P}}
+\frac{6D_{\rm h}\Lambda}{R_\odot^2r^2}\right)\bullet S_j^{m_c}>=0
\end{eqnarray*}

Avec les notations des algorithmes, en tenant compte des conditions
limites, $\dsdx\Omega\nu=0$, au centre ($\nu=\nu_{\rm c}$) et � la surface
($\nu=\nu_{\rm s}$)~:
\begin{eqnarray*}
&&<(C_{20}\Lambda-C_{22}-C_{21}U)\bullet S_j^{m_c}>=0 \\
&& C_{20}=C^*_1+C^*_{13},\quad C^*_1=\frac1{\Delta t}
,\quad C^*_{13}=\frac{6D_{\rm h}}{R_\odot^2r^2}
,\quad C_{21}=\frac{\nabla_� U}{H_{\rm P}}
,\quad C_{22}=\frac{\Lambda^{(t)}}{\Delta t}
\end{eqnarray*}

\section{Expression v�rifi�e par $\psi=y_5=\psi$}
\begin{eqnarray*}
&& \psi=\frac{\varphi\Lambda-\theta}\delta
\end{eqnarray*}
Les solutions faibles sont donn�es par~:
\begin{eqnarray*}
&& <\left(\psi-C_{24}\Lambda+C_{23}\theta\right)\bullet S_j^{m_c}>=0 \\
&& C_{24}=\frac\varphi\delta,\quad C_{23}=\frac1\delta
\end{eqnarray*}
 
\section{Transport des abondances par mole $x_i$}
Pour les $n_c$ �l�ments chimiques d'abondance par mole \ie\ de
concentration
$x_i,\ i=1,\ldots,c$, l'�quation de transport s'�crit ({\bf MZ B2 + C})~:
\begin{eqnarray*}
&& \rho\left(\dsdt{x_i}-\Upsilon_i\right)=\frac1{R^2}\dsdx{}R
\left[R^2\rho\left(D_i\bullet\nabla\!_R{\cal X}-x_iv_i\right)\right],
\ \nabla\!_R{\cal X}\equiv\left( \dsdx{x_1}R,\ldots,
\dsdx{x_{n_c}}R\right)^{\rm T}\\
%\right]\right\},\ D_{\rm eff}\equiv \frac{R_\odot^2r^2U^2}{30D_{\rm h}}
&& D_i\equiv\left(-x_ib_{i1},\ldots,-x_ib_{ii}+D_{\rm M}%+D_{\rm T}
+D_{\rm eff},\ldots,-x_ib_{in_c}\right)^{\rm T}
\end{eqnarray*}
les $b_{ij}$ et $v_i$ sont obtenus en r�solvant l'�quation de Burgers
pour la diffusion microscopique.
Les coefficients de diffusion turbulente
$D_{\rm eff}$ et de m�lange $D_{\rm M}$ affectent le terme diagonal
$b_{ii}$. 
$\Upsilon_i=\left(\dsdt{x_i}\right)_{\rm nucl}$ est le taux de  variation
temporelle de l'�l�ment chimique $i$ d� aux r�actions thermonucl�aires.

Avec la variable lagrangienne $\nu$~:
\begin{eqnarray*}
&& \dsdt{x_i}-{\Upsilon_i}=\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}
{3M_\odot R_\odot^2r^2\rho\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left[\frac{8\pi R_\odot^4r^4\rho^2}{3M_\odot\sqrt\nu}
D_i\bullet\nabla\!_\nu{\cal X}-R_\odot^2r^2\rho x_iv_i\right]
\Rightarrow\\
&& \frac32\sqrt\nu\left(\dsdt{x_i}-\Upsilon_i\right)=
\frac{32\pi^2 R_\odot^4}{3M_\odot^2}
\dsdx{}\nu\left(\frac{r^4\rho^2}{\sqrt\nu}
D_i\bullet\nabla\!_\nu{\cal X}\right)-
\frac{4\pi R_\odot^2}{M_\odot}\dsdx{}\nu\left(r^2\rho x_iv_i\right)
\end{eqnarray*}

L'int�gration par �l�ments finis prend la forme~:
\begin{eqnarray*}
&& <\frac32\sqrt\nu\left(x_i-x_i^{(t)}-\Upsilon_i\Delta t\right)
\bullet S_j^{m_c}>+\\
&& <\left[\frac{32\pi^2 R_\odot^4}{3M_\odot^2}\frac{r^4\rho^2\Delta t}
{\sqrt\nu}\left(D_i\bullet\nabla\!_\nu{\cal X}\right)-
\frac{4\pi R_\odot^2}{M_\odot}r^2\rho\Delta t x_iv_i
\right]\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu> - \\
&& \left|\left(\frac{32\pi^2 R_\odot^4}{3M_\odot^2}\frac{r^4\rho^2\Delta t}
{\sqrt\nu}\left(D_i\bullet\nabla\!_\nu{\cal X}\right)-
\frac{4\pi R_\odot^2}{M_\odot}r^2\rho\Delta t x_iv_i\right)
S_j^{m_c}\right|^{\nu_{\rm s}}_{\nu_{\rm c}}=0
\end{eqnarray*}

Avec les notations des algorithmes, en tenant compte des conditions
limites, $\dsdx{x_i}\nu=0$, $v_i=0$ au centre ($\nu=\nu_0$) et dans le
milieu convectif � la surface ($\nu=\nu_{\rm s}$)~:
\begin{eqnarray*}
&& <C_1\left(x_i-x_i^{(t)}-\Upsilon_i\Delta t\right)\bullet S_j^{m_c}>+\\
&& <\left[C_2\left(D_i\bullet\nabla\!_\nu{\cal X}\right)-C_3x_iv_i
\right]\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>=0 \\
&& C_1=\frac32\sqrt\nu,
\ C_2=\frac{32\pi^2 R_\odot^4}{3M_\odot^2}\frac{r^4\rho^2\Delta t}{\sqrt\nu},
C_3=\frac{4\pi R_\odot^2}{M_\odot}r^2\rho\Delta t 
\end{eqnarray*}

\section{Les conditions physiques dans les zones m�lang�es}
Les zones m�lang�es, \ie \ zones convectives �ventuellement overshoot�es,
apparaissent, disparaissent au cours de l'�volution. La partie la plus
externe de l'enveloppe, zone d'ionisation de l'hydrog�ne, est toujours
m�lang�e. La zone convective externe s'�tend dans l'atmosph�re jusqu'au
milieu transparent ($\tau\sim\frac23$).
On admet que le m�lange uniformise la vitesse angulaire (rotation solide),
la composition chimique, 
les fluctuations de densit�, de composition chimique et de temp�rature,
ainsi~:
\[\dsdx\Omega R=0,\quad \dsdx\theta R=0,\quad \dsdx\Lambda R=0,\quad \dsdx\psi R=0
,\quad \dsdx{x_i}R=0.\]
Ces conditions entrainent des discontinuit�s des d�riv�es premi�res des
fonctions inconnues aux limites entre zones radiatives et zones m�lang�es.
D'o� la n�cessit�
d'introduire des limites internes mobiles et en nombre variable. Ce qui
complique l'int�gration num�rique.

Les �quations de transport du moment
cin�tique et des �l�ments chimiques sont du type advection-diffusion on
obtient l'uniformisation de la vitesse angulaire et de
la composition chimique en imposant des coefficients de diffusion dont
l'ordre de grandeur, grand devant l'unit�, correspond au temps
de retournement des �l�ments convectifs.

Une �quations advection-diffusion admet une solution m�me si le 
coefficients de diffusion pr�sente des discontinuit�s, dans ce cas
les solutions sont de classe ${\cal C}^1$ (continues, non d�rivables)
aux points de discontinuit�. Pour l'int�gration on
approchera les fonctions inconnues par des polyn�mes par morceaux de classe
${\cal C}^1$ aux limites entre zones m�lang�es et zones radiatives.

La variation temporelle du moment cin�tique dans une couche d'�paisseur
$dR$ a pour expression~:
\[4\pi R^2\rho dR\dsdt{R^2\Omega}\]
La variation temporelle du moment cin�tique dans l'intervalle $[R_1,R_2]$
a pour expression~:

\begin{eqnarray*} 
&& \int_{R_1}^{R_2}4\pi R^2\rho dR\dsdt{R^2\Omega}=4\pi
\int_{R_1}^{R_2}\left\{\dsdx{}R\left[R^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+D_{\rm v}\dsdx\Omega R\right)\right]
+\dot{\cal M}_\Omega\right\}dR=\\
&&4\pi\left|R^4\rho\left(\frac{\Omega U}5+D_{\rm v}\dsdx\Omega R\right)
+\dot{\cal M}_\Omega\right|_{R_1}^{R_2}
\end{eqnarray*}
Dans une zone m�lang�e la vitesse angulaire est uniforme,
$D_{\rm v}\sim\infty \Rightarrow\dsdx\Omega R=0$
si bien que la variation temporelle du moment cin�tique, dans une zone
m�lang�e est 
la diff�rence entre flux entrant et sortant dans la zone concern�e. 
En attribuant une existence {\em fictive} � la vitesse de circulation
m�ridienne dans les zones m�lang�es
l'�quation d'advection-diffusion du moment cin�tique permet
de v�rifier les conditions limites internes aux limites des zones m�lang�es
sans, pour autant les introduire explicitement.
Il est simple d'imposer une variation lin�aire~:
$$\dddx UR=0$$
� la vitesse de circulation m�ridienne fictive celle-ci ne servant
qu'� transporter
des valeurs limites � travers les zones m�lang�es.

En utilisant ainsi, dans les zones m�lang�es, l'�quation
d'advection-diffusion du moment cin�tique avec une discontinuit� du
coefficient de diffusion $D_{\rm v}$ et une vitesse de circulation
m�ridienne fictive variant lin�airement, on assure implicitement
la continuit�
de la vitesse angulaire aux limites entre zones m�lang�es et zones
radiatives ainsi que les conditions limites.


Pour le transport des �l�ments chimiques, dans les zones de m�lange on
utilise ({\bf C})~:
\[D_{i,i}\gg 1,\ D_{i,j}=0\ i\neq j,\ v_i=0.\]


Dans les zones de m�lange la formulation en �l�ments finis pour les
variables $\theta$, $\Lambda$ et $\psi$ se r�duisent �~:
\begin{eqnarray*}
&& <\theta\bullet\ S_j^{m_c}>=0\\
&& <\Lambda\bullet\ S_j^{m_c}>=0\\
&& <\psi\bullet\ S_j^{m_c}>=0
\end{eqnarray*}

\section{Les conditions physiques aux limites}
L'int�gration num�rique des �quations n�cessite la connaissance des
conditions physiques aux extr�mit�s de l'intervalle spatial d'int�gration
$[\nu_0,\nu_{\rm s}]$.

Au centre ($\nu=\nu_0=0$), par raison de sym�trie la
d�riv�e spatiale de la vitesse angulaire est nulle~:
\[\dsdx{\Omega(\nu_0,t)}\nu=0,\]
cette condition entraine~:
\[\theta(\nu_0,t)=0.\]
Le rayon nul et l'�chelle de hauteur de la pression infinie entra�nent~:
\[\Lambda(\nu_0,t)=0.\]
Des conditions pr�c�dentes r�sulte~:
\[\psi(\nu_0,t)=0.\]
La vitesse de circulation m�ridienne est nulle~:
 \[U(\nu_0,t)=0.\]
 
\begin{bf} 
Au centre, lorsque le c\oe ur est radiatif, il semble qu'il y ait une
incoh�rence avec cette valeur limite ce qui provoque une instabilit�
num�rique. Il faudrait d�terminer si on a bien~:
\[\lim_{R\rightarrow 0} U=0??????????.\] 
\end{bf}
 
La d�riv�e spatiale de la composition chimique est nulle ainsi que la
vitesse d'advection des �l�ments chimiques~:
\[\dsdx{x_i(\nu_0,t)}\nu=0,\ v_i(\nu_0,t).\]

La borne sup�rieure $\nu_{\rm s}$ de l'int�gration spatiale correspond
� celle de l'enveloppe. Elle est toujours situ�e dans le {\bf milieu
convectif} o� la rotation est uniforme et le m�lange uniformise
les taux de fluctuations~:
\[\dsdx{\Omega(\nu_{\rm s},t)}\nu=0,
\ \theta(\nu_{\rm s},t)=0,\ \Lambda(\nu_{\rm s},t)=0,\ \psi(\nu_{\rm s},t)=0.\]
La vitesse de circulation m�ridienne est nulle~:
 \[U(\nu_{\rm s},t)=0.\]
De fa�on similaire~:
\[\dsdx{x_i(\nu_0,t)}\nu=0,\ v_i(\nu_0,t).\]

\section{Les conditions initiales}
On se donne un profil de rotation v�rifiant les conditions limites;
similaire, par exemple, � celui que l'on peut
inf�rer des observations de sismologie solaire~:
\begin{eqnarray*}
 \Omega(r,0)=\Omega_0\left\{1+q\left[1+
 \cos\left(\pi\frac r{R_\star}\right)\right]\right\}
\end{eqnarray*}
$\Omega_0$ �tant la vitesse angulaire de surface, d�duite de la p�riode de
rotation et du rayon total initial, $q \geq -1$ est un param�tre
permettant de fixer le rapport entre la vitesse angulaire
au centre et � la surface, $q=0$ correspond � une rotation rigide.

\noi Comme condition initiale sur $\Lambda$ on utilise
un profil plat : $\Lambda(\nu,0)=0$.

\noi Les conditions initiales pour les autres variables
$U(\nu,0),\ \theta(\nu,0),\ \psi(\nu,0)$
sont d�finies � partir de celles retenues pour $\Omega$ et $\Lambda$ et de
leurs d�riv�es spatiales.

 Pour la r�solution num�rique, la formulation des �quations �tant implicite
des valeurs approximatives des variables
doivent �tre d�duites des conditions initiales pour initialiser le
processus it�ratif de r�solution.
Ainsi, $\theta(\nu,t)$ et $U(\nu,t)$ sont d�duits de
$\Omega(\nu,t)$ et de ses d�riv�es.

\section{Pertes / gains de moment cin�tique}
\cesam2k offre la possibilit� de
diff�rentes formes de pertes/gains de moment cin�tique
par l'interm�diaire d'une routine de nom g�n�rique {\sf pertw}.
Chacune d'elles d�pend d'un param�tre libre 
$a,\ \gamma, \Omega_{\rm p}$ transmis par la varible {\tt p\_pertw}
du fichier de donn�es. Une valeur n�gative/positive de ce param�tre
correspond � une perte/gain de moment cin�tique.

\noi Cette perte/gain de moment cin�tique est suppos� s'�tendre sur
une partie
externe repr�sentant $0<{\tt pw\_extend} < 1$ de la masse totale.

\begin{enumerate}
\item {\sf pertw\_sch}~: Variation de moment cin�tique proportionnel �
$\Omega^3$ (Schumanish). La variation temporelle
de moment cin�tique  par unit� de masse est mod�lis�e par~:
\[\dot{\cal M}_\Omega=aR^2\Omega_{\rm s}^3,\quad |a|\sim 1.10^{-9}{\rm s}. \]
\item {\sf pertw\_loc}~: Perte / gain de moment cin�tique proportionnel
� l'�nergie cin�tique de rotation locale. La variation temporelle
de moment cin�tique par unit� de masse est mod�lis�e par~:
\[\dot{\cal M}_\Omega=\gamma R^2\Omega^2,\quad |\gamma|\sim 1.10^{-13}
1.\sim10^{-14}. \]
\item {\sf pertw\_ptm}~: Perte / gain de moment cin�tique cons�quence
d'une perte / gain de masse $\dot{\cal M}$. Dans le cas d'une perte de
masse, on suppose qu'une couche externe se d�tache et emporte avec
elle son moment cin�tique. Dans le cas d'un gain de masse
on suppose que l'apport de masse est anim� d'une vitesse angulaire
$\Omega_{\rm p}\sim 10^{-6}\ {\rm s^{-1}}$.
L'apport de moment cin�tique se r�partit dans une couche
d'�paisseur $m_{\rm rot} M_\star$, $0 < m_{\rm rot} \leq 1$.
Localement pour $m > M_\star(1-m_{\rm rot})$
l'apport de moment cin�tique par unit� de masse est approch� par~:
\[\dot{\cal M}_\Omega=\frac{\dot{\cal M}}{m_{\rm rot}}R^2\Omega_{\rm p}.\]
\item {\sf pertw\_0}~: On ignore les perte / gain de moment cin�tique.
La variation temporelle
de moment cin�tique est mod�lis�e par~:\[\dot{\cal M}_\Omega=0.\]
\end{enumerate}
Les param�tres libres li�s aux pertes/gains de moment cin�tique 
$a,\ \gamma,\ \Omega_{\rm p}$ sont transmis �
l'aide du param�tre {\tt p\_pertw} de la NAMELIST {\tt NL\_ROT}
du fichier de donn�es.

\section{Conduite du calcul}
Au centre les valeurs limites des variables ont des expressions complexes,
pour �viter des divisions par 0 on se d�cale l�g�rement de fa�on �
exploiter les limites num�riques.
\noi En raison des instabilit�s, on interpole les coefficients des
�quations � l'aide d'une fonction de lissage qui assure leur d�rivabilit�
au moins jusqu'� l'ordre 4, ordre du syst�me diff�rentiel.

\section{Equations}

Dans les zones radiatives et m�lang�es~:
\begin{eqnarray*}
&&  <\left(C_1\Omega-C_2\right)\bullet S_j^{m_c}>
+<\left(C_3\Omega U +C_4\dsdx\Omega\nu\right)
\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>=0 \\
&& C_1=\frac{r\sqrt\nu}{\Delta t}(3r-2r^{(t)})
,\ C_2=(C^*_{11}+C^*_{12})\sqrt\nu,\ C^*_{11}=\frac{r^2\Omega^{(t)}}{\Delta t}
,\ C^*_{12}=\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2\rho} \\
&& C_3=\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho,\ 
C_4=\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\end{eqnarray*}


Dans les zones radiatives~: 
\begin{eqnarray*}
&&<\left\{\left(C_5\Omega^2-C_7-C_8U+C_9\theta\right)\Omega^2+C_{10}+C_6U
+C_{11}\theta+C_{15}\Lambda+C_{12}\psi
-C_{13}\dsdx\psi\nu\right\}\bullet\ S_j^{m_c}>\\
&&+<\left(C_{17}\theta-C_{18}\Lambda-C_{16}\psi+C_{14}\dsdx\psi\nu
\right)\bullet\ \dsdx{S_j^{m_c}}\nu>
-\left|C_{14}\dsdx\psi\nu S_j^{m_c}\right|_{\nu_{\rm c}}^{\nu_{\rm s}}=0 \\
&& C_5=\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}
,\quad C_6=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{lH_p}
\left|\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right|,\quad
C_7=C^*_{14}+C^*_{15}\\
&& C^*_{14}=\frac{8\pi R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right),\quad 
C^*_{15}=\frac{2R_\odot^3}{3GL_\odot}\frac{r^3c_pT\theta^{(t)}}
{l\nu\delta\Delta t} \\
&& C_8=\frac{2R_\odot^3}{3GL_\odot}\frac{r^3c_pT}{lH_p\nu}
\left|\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right|
,\quad C_9=\frac{2R_\odot^3}{3G L_\odot}
\frac{r^3c_pT}{l\nu\delta\Delta t}
,\quad C_{10}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta\Delta t}
\theta^{(t)} \\
&& C_{11}=C^*_2-C^*_3+C^*_4-C^*_5-C^*_{16}
,\quad C^*_2=\frac{M_\odot}{2\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho}
,\quad C^*_3=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l\\
&& C^*_4=\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}
,\quad C^*_5=\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu D_{\rm h}}{r^4\rho K\delta}
,\quad C^*_{16}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta\Delta t} \\
&& C_{12}=C^*_6-C^*_7+C^*_8
,\quad C^*_6=\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
,\quad C^*_7=\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_{\rm T}\sqrt\nu}l\\
&& C^*_8=\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_{\rm T}+1}\nu
,\quad C_{13}=\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}
,\quad C_{14}=\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu} \\
&& C_{15}=C^*_9-C^*_{10}
,\quad C^*_9=\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_�}\nu
,\quad C^*_{10}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}
\varepsilon_�\sqrt\nu}l \\
&& C_{16}=-\frac23\left(1+\chi_{\rm T}\right)
,\quad C_{17}=-\frac23,\quad C_{18}=-\frac23\chi_�
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&& <\left(\theta-C_{19}\Omega\dsdx\Omega\nu\right)\bullet S_j^{m_c}>=0
,\quad C_{19}=\frac{16\pi R_\odot^6}{9GM_\odot^2}\frac{r^6\rho}{\nu^2}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&&<(C_{20}\Lambda-C_{22}-C_{21}U)\bullet S_j^{m_c}>=0 \\
&& C_{20}=C^*_1+C^*_{13},\quad C^*_1=\frac1{\Delta t}
,\quad C^*_{13}=\frac{6D_{\rm h}}{R_\odot^2r^2}
,\quad C_{21}=\frac{\nabla_� U}{H_{\rm P}}
,\quad C_{22}=\frac{\Lambda^{(t)}}{\Delta t}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&& <\left(\psi-C_{24}\Lambda+C_{23}\theta\right)\bullet S_j^{m_c}>=0 \\
&& C_{24}=\frac\varphi\delta,\quad C_{23}=\frac1\delta
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&& <C_1\left(x_i-x_i^{(t)}-\Upsilon_i\Delta t\right)\bullet S_j^{m_c}>+\\
&& <\left[C_2\left(D_i\bullet\nabla\!_\nu{\cal X}\right)-C_3x_iv_i
\right]\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu>=0 \\
&& C_1=\frac32\sqrt\nu,
\ C_2=\frac{32\pi^2 R_\odot^4}{3M_\odot^2}\frac{r^4\rho^2\Delta t}{\sqrt\nu},
C_3=\frac{4\pi R_\odot^2}{M_\odot}r^2\rho\Delta t 
\end{eqnarray*}

Dans les zones m�lang�es~:

\begin{eqnarray*}
&& <\dsdx U\nu\bullet\ \dsdx{S_j^{m_c}}\nu>=0\\
&& <\theta\bullet\ S_j^{m_c}>=0 \\
&& <\Lambda\bullet\ S_j^{m_c}>=0 \\
&& <\psi\bullet\ S_j^{m_c}>=0
\end{eqnarray*}
