Dans ce chapitre, on expose la physique implant�e dans \cesam2k conjointement
aux m�thodes num�riques utilis�es. Le but poursuivi est de donner le maximum
d'�l�ments, afin de faciliter la compr�hension tant de la physique implant�e que
des m�thodes num�riques utilis�es. Certaines parties sont d'un niveau
�l�mentaire, mais tout d�veloppement ult�rieur de \cesam2k est � ce prix.\\
Les �quations de l'�volution stellaire constituent un probl�me
int�gro-diff�rentiel non lin�aire aux d�riv�es partielles~: c'est un
probl�me aux limites de conditions initiales. Une seule dimension spatiale
est prise en compte dans \cesam2k.\\
La m�thode de r�solution retenue, la m�thode des "lignes"
\index{m�thode de r�solution}
est classique, voir \eg \citet{h62}. Elle consiste,
pour chaque pas temporel, � r�soudre it�rativement et de fa�on
d�coupl�e, le probl�me de conditions initiales (probl�me de Cauchy) puis
le probl�me aux limites (probl�me de Dirichlet) -- une r�solution coupl�e
n'est envisageable que si le nombre d'esp�ces chimiques dont on doit suivre
l'�volution temporelle est r�duit, ce qui n'est pas le cas en g�n�ral.\\
Le probl�me aux limites, non lin�aire, est r�solu par it�rations
Newton-Raphson qualifi�e de "m�thode d'Henyey" \citep{hll59}
en structure interne.\\
Le probl�me de valeurs initiales est un probl�me raide, car
les diverses �chelles de temps en pr�sence diff�rent entre elles
par plusieurs d�cades.\\
Une difficult� num�rique est due � l'hypoth�se physique suivant laquelle
les mouvements convectifs homog�n�isent les esp�ces chimiques et rigidifient
la rotation. De ce fait la continuit� de certaines
fonctions inconnues est d�truite aux limites \ZRZCs.

\section{Int�gration par splines-collocation}
On d�crit dans ce paragraphe la m�thode d'int�gration num�rique
utilis�e\index{int�gration num�rique}
dans \cesam2k pour r�soudre les probl�mes aux limites que constituent les
�quations de l'�quilibre quasi-statique et la restitution de l'atmosph�re.
Elle utilise des techniques et des algorithmes qui sont, pour la
plupart, peu usit�s en �volution
stellaire. Afin d'�tre accessible sans trop d'investissement en analyse
num�rique, mais avec le risque de plagier les manuels sp�cialis�s, on
donne un aper�u de la r�flexion qui a conduit aux algorithmes
retenus avant de d�crire ces derniers.

Cette m�thode consiste � d�velopper les fonctions inconnues
sur une base de polyn�mes par morceaux, les B-splines, et � �crire
que ces d�veloppements satisfont les conditions limites et
les �quations diff�rentielles en un nombre {\sl ad--hoc} de points.
Les fonctions de base ne satisfaisant pas les conditions limites, cette m�thode
est qualifi�e de "quasi-spectrale" dans les ouvrages sp�cialis�s.

\subsection{Les B-splines normalis�es}\index{B-splines}\label{sec:bspl}
Etant donn�e une partition de $[a, b]\subset$~:
$a=x_0\ <\ x_1\ <\ldots <\ x_n=b$, l'ensemble des polyn�mes par morceaux
d'ordre $m$ (degr� $+1$), qui se raccordent en $x_1,\ x_2,\ldots,\ x_{n-1}$
est un espace vectoriel de dimension finie $M$, dont une base est celle des
B-splines. Elle sera not�e par la suite~: $\{N_i^m\}_{i=1}^M$.
Pour $m=2$ et $n=5$ ce sont les
"fonctions chapeaux" de la \fig{fig:spline1} et
les courbes en cloche pour $m=4$.
\begin{figure}[ht]
%\epsfxsize =9.cm
%\epsfbox{b_spline.ps}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{b_splines.ps}
\caption{
B-splines normalis�es d'ordre $m$=2, 3 \& 4 pour $n$=5 points de grille
�quidistants.
}\label{fig:spline1}
\end{figure}
Les diverses d�finitions math�matiques de ces fonctions
sont abscondes~: i-�me diff�rence divis�e de la fonction puissance
translat�e, par exemple. On les trouve dans \citet[][p. 108]{db78},
\citet[][p. 118]{sk81}, \citet[][p. 341]{t80},
et dans de nombreux autres ouvrages.
Ces fonctions de base, malgr� leur alg�bre compliqu�e se pr�tent
tr�s bien au calcul num�rique car les calculs sont faciles, stables et
efficaces. En particulier~:
\begin{itemize}
 \item les B-splines sont des fonctions � support born�,
 \item en un point de leur support il existe au plus $m$ B-splines
  d'ordre $m$ non
  nulles, une cons�quence est la structure bande des syst�mes lin�aires
  apparaissant dans les calculs,
 \item une B-spline est toujours positive ou nulle,
 \item la d�riv�e d'une B-spline est une combinaison lin�aire de
  B-splines d'ordre imm�diatement inf�rieur,
 \item il existe des algorithmes num�riques efficaces et stables pour
  les calculs avec B-splines.
\end{itemize}

\begin{figure}%[ht]
%\epsfxsize =10.cm
%\epsfbox{splines.ps}
\includegraphics[width=0.90\textwidth]{splines.ps}
\caption{
B-splines normalis�es d'ordre $s$=2 (gauche) et $s$=3
(droite) calcul�es avec la base de C. de\,Boor pour $n$=3
points de grille �quidistants.
Les vecteurs nodaux sont sch�matis�s par des croix dispos�es
sous chaque graphe.
}\label{fig:splines}
\end{figure}

\subsection{R�solution d'un probl�me diff�rentiel}
\index{r�solution de probl�mes diff�rentiels}
Le principe de l'utilisation des B-splines pour r�soudre
un probl�me diff�rentiel est celui de toute m�thode spectrale~:
les fonctions inconnues sont d�velopp�es sur une base finie, en
l'occurrence celle des B-splines. Pour
calculer les coefficients, on �crit que ces d�veloppements satisfont
les �quations diff�rentielles et les conditions limites. Pour ce
faire il y a une alternative~:
\begin{itemize}
 \item On satisfait les �quations en un nombre {\sl ad--hoc} de points,
  c'est la {\em collocation} qui est utilis�e pour r�soudre l'�quilibre
  quasi-statique \cfparagr{sec:eqsi} et restituer l'atmosph�re
   \cfparagr{sec:rest} .
  \item On impose � la base d'�tre orthogonale � son
  image par l'op�rateur diff�rentiel (\ie au r�sidu), c'est la m�thode des
  �l�ments finis (Galerkin) qui est utilis�e pour r�soudre les
 �quations de diffusion des esp�ces chimiques,  \cfparagr{sec:eqd},
 et du moment cin�tique \cfparagr{sec:difcin}.
\end{itemize}
\noindent Ainsi, pour le probl�me diff�rentiel aux limites~:
\begin{displaymath}
 f^{\prime\prime}(x)=\Phi(x;f,f^\prime),\quad \phi_1(x_1;f,f^\prime)=\alpha,
 \quad \phi_2(x_n;f,f^\prime)=\beta,\quad{\rm sur}\ [x_1,x_n]\subset\Re
\end{displaymath}\noindent
o� $\phi_1$, $\phi_2$ sont des fonctions et $\alpha$, $\beta$ des r�els
donn�s.
En utilisant la base $\{N_i^m\}_{i=1}^M$ de B-splines d'ordre $m\geq 4$,
sur une partition de $[x_1,x_n]$ � pr�ciser, on aura~:
\begin{displaymath}
 f(x)\simeq\sum_{i=1}^Mf_iN_i^m(x),\quad f^{\prime}(x)\simeq
 \sum_{i=1}^Mf_i\ddx{N_i^m(x)}x,\quad f^{\prime\prime}(x)\simeq
 \sum_{i=1}^Mf_i\dddx{N_i^m(x)}x
\end{displaymath}
Avec la m�thode de collocation,
les $M$ coefficients $f_i$ sont obtenus en �crivant que le d�veloppement
de $f$ v�rifie les 2 conditions limites et les �quations~:
\begin{displaymath}
 \sum_{i=1}^Mf_i\dddx{N_i^m(z_c)}x=\Phi(z_c;f,f^\prime)
\end{displaymath}
en $M-2$ points $z_c\in]x_1,x_n[$.\index{m�thode de collocation}\\
La solution obtenue est en O($\vert\vert\Delta x\vert\vert^m$).
Si on adopte un choix judicieux pour les points de collocation la
solution est en O($\vert\vert\Delta x\vert\vert^{2(m-1)}$)~: c'est la
superconvergence  \citep[][chap. XV]{db78}.\\
Avec la m�thode de Galerkin les coefficients $f_i$ seraient, par exemple,
obtenus en �crivant que le d�veloppement
de $f$ v�rifie les $M$ �quations~:\index{m�thode de Galerkin}
\begin{displaymath}
 \sum_{i=1}^Mf_i<\dddx{N_i^m}x .N_l^m>=<\Phi(x_l;f,f^\prime).N_l^m>,\quad 1<l<M
\end{displaymath}
o� $<g.h>$ repr�sente un produit scalaire � d�finir.
Les conditions limites sont introduites par une int�gration par parties,
\cf  \citet{t80},  \citet{mk85}.\\
Avec les deux m�thodes, si $\Phi$ est lin�aire, on obtient les
coefficients $f_i$ par r�solution d'un syst�me lin�aire. Dans la cas de
l'�volution stellaire, il
est n�cessaire d'utiliser une m�thode it�rative \eg\ point fixe ou m�thode
de Newton-Raphson les �quations �tant non lin�aires.

\subsection{L'architecture de \cesam2k}
L'alg�bre des B-splines �tant assez complexe, l'architecture de \cesam2k repose
sur une s�paration bien distincte entre l'espace physique
et celui des fonctions de base.
Les �quations � r�soudre sont �crites sous une forme proche de leur formulation
dans l'espace physique. Dans l'espace des B-splines ces
�quations sont r�solues pour les coefficients des fonctions de base.
Des routines servent d'interfaces entre les deux espaces.
Par exemple, les coefficients des �quations de l'�quilibre quasi-statique sont
calcul�s dans l'espace physique par la routine {\tt static\_m}. Les �quations
sont r�solues dans l'espace des splines par la routine {\tt coll\_qs},
la routine {\tt resout} servant d'interface entre les deux espaces, voir
\lfig{fig:org}.

Les programmes d'exploitation des r�sultats op�rent le plus souvent dans
l'espace physique.

\subsection{Collocation pour un syst�me non lin�aire}\label{sec:ppp}
On explicite la m�thode spline/collocation pour le syst�me
de $n_e$ �quations diff�rentielles ordinaires,
non lin�aires, du premier ordre, avec des conditions
limites aux extr�mit�s
de l'intervalle de d�finition \eg les �quations de la structure interne.
Ces syst�mes s'�crivent formellement~:
\begin{displaymath}
 {\cal F}_j(x;{\bf f,f^\prime})=0,\qquad x\in [x_1,x_n],\qquad
 {\bf f}=\,^T(f_1,f_2,\ldots ,f_{n_e})\qquad 1\leq j\leq n_e
\end{displaymath}
avec les conditions limites~:
\begin{displaymath}
 \alpha_q\left({\bf f}(x_1)\right)=0,\ \forall q\in Q,\ Q\subseteq
 J=\{1,2,\ldots ,n_e\},\quad\beta_r\left({\bf f}(x_n)\right)=0,
 \ \forall r\in{\bf\cal C}_JQ
\end{displaymath}
la no\-ta\-tion ${\bf\cal C}_JQ$ si\-gni\-fiant le com\-pl�\-men\-tai\-re
de $Q$ dans l'ensemble d'indices $J$.
En rem\-pla\-�ant chaque composante $f_j$ de $\bf f$, $1\leq j\leq n_e$,
par son d�\-ve\-lop\-pe\-ment sur la ba\-se des B-spli\-nes~:
\begin{equation}\label{eq:45}
 f_j(x)=\sum_{i=1}^Mf_{i,j}N_i^m(x),\qquad f_j^\prime (x)=
 \sum_{i=1}^Mf_{i,j}\ddx{N_i^m(x)}x
\end{equation}
les inconnues sont d�sormais les r�els $f_{i,j}$. Ils v�rifient~:
\begin{displaymath}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  {\cal F}_j\Bigl(x;\sum_{i=1}^Mf_{i,1}N_i^m(x),\ldots ,
  \sum_{i=1}^Mf_{i,n_e}N_i^m(x),
  \sum_{i=1}^Mf_{i,1}\ddx{N_i^m(x)}x,\ldots ,\\
  \sum_{i=1}^Mf_{i,n_e}\ddx{N_i^m(x)}x\Bigr)=0,\\
  \forall x\in ]x_1,x_n[ ,\ \forall j\in J\\
  \alpha_q\Bigl(\sum_{i=1}^Mf_{i,1}N_i^m(x_1), \ldots
  \sum_{i=1}^Mf_{i,n_e}N_i^m(x_1)\Bigr)=0,
  \ \forall q\in Q\\
  \beta_r\Bigl(\sum_{i=1}^Mf_{i,1}N_i^m(x_n), \ldots
  \sum_{i=1}^Mf_{i,n_e}N_i^m(x_n)\Bigr)=0,
  \ \forall r\in{\cal C}_J Q \\
  \end{array}
 \right.
 \end{displaymath}
Pour un syst�me diff�rentiel lin�aire, les $f_{i,j}$ se rassemblent.
Ils sont �valu�s en �crivant (\ref{eq:45}) en $M-1$ points
de collocation $z_c\in ]x_1,x_n[$ et en r�solvant le syst�me lin�aire
obtenu. Les �quations de la structure interne ne sont pas lin�aires. On
utilise la m�thode it�rative de Newton-Raphson
pour r�soudre le syst�me (\ref{eq:43}).\label{sec:pro}
Ce qui n�cessite une solution initiale
${\bf f}^0$. En notant ${\bf f}^p$ la solution obtenue
� l'it�ration $p\geq 0$, les �quations lin�aris�es sont~:
\begin{equation}\label{eq:46}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  {\cal F}_j\Bigl(z_c;\sum_{i=1}^Mf^p_{i,1}N_i^m(z_c),\ldots ,
  \sum_{i=1}^Mf^p_{i,n_e}N_i^m(z_c),
  \sum_{i=1}^Mf^p_{i,1}\ddx{N_i^m(z_c)}x,\ldots ,\\
  \sum_{i=1}^Mf^p_{i,n_e}\ddx{N_i^m(z_c)}x\Bigr)=\\
  =\sum_{k=1}^{n_e}\sum_{i=1}^M\Bigl(\dsdx{{\cal F}_j}{f_k}
  N_i^m(z_c)+ \dsdx{{\cal F}_j}{f_k^\prime}\ddx{N_i^m(z_c)}x\Bigr)
  df_{i,k}^p,\ \forall j\in J,\ 1\leq c<M\\
  \alpha_q\Bigl(\sum_{i=1}^Mf^p_{i,1}N_i^m(x_1),\ldots\sum_{i=1}^Mf^p_{i,n_e}
  N_i^m(x_1)\Bigr)= \\
  \sum_{k=1}^{n_e}\dsdx{\alpha_q}{f_k}\sum_{i=1}^M N_i^m(x_1)
  df_{i,k}^p,\ \forall q\in Q,\\
  \beta_r\Bigl(\sum_{i=1}^Mf^p_{i,1}N_i^m(x_n),\ldots\sum_{i=1}^Mf^p_{i,n_e}
  N_i^m(x_n)\Bigr)= \\
  \sum_{k=1}^{n_e}\dsdx{\beta_r}{f_k}\sum_{i=1}^M N_i^m(x_n)
  df_{i,k}^p,\ \forall r\in{\cal C}_J Q\\
 \end{array}
 \right.
\end{equation}
Les sommes sur $i$ ne portent, en fait, que sur $m$ indices
puisqu'en un point $x$ il y a, au plus, $m$ B-splines non nulles.
Le syst�me (\ref{eq:46}) est lin�aire pour les corrections $df_{i,k}^p$.
On aura~:
\begin{displaymath}
 f_{i,k}^{p+1}=f_{i,k}^p-df_{i,k}^p,\qquad 1\leq i\leq M,\quad 1\leq k\leq n_e
\end{displaymath}
Sans diffusion, � cause du m�lange convectif, aux limites \ZRZCs\ la
composition chimique
pr�sente une discontinuit�, en r�sulte une discontinuit� de la densit�. Avec
diffusion, les discontinut�s n'affectent que les d�riv�es premi�res.
Ces discontinuit�s ont conduit au choix de la pression
comme variable d�pendante au lieu de la densit�.
De plus, l'utilisation de cette derni�re n�cessiterait l'�valuation
des d�riv�es partielles $(\partial P/\partial\rho )_{T,X}$,
$(\partial P/\partial T )_{\rho ,X}$ et $(\partial P/\partial X)_{T,\rho}$
dans les deux premi�res �quations du
syst�me~(\ref{eq:41}), et non seulement les d�riv�es secondes
"thermodynamiques"~:
\begin{displaymath}
 \left(\dsdxx PT\right)_{\rho,X},\qquad\left(\dsdxx P\rho\right)_{T,X},
 \qquad\left(\dsdxy P\rho T\right)_X,\qquad\left(\dsdxy P\rho X\right)_{\rm T},
 \qquad\left(\dsdxy PTX\right)_\rho
\end{displaymath}
Les �quations de l'�quilibre quasi-statique sont int�gr�es avec un sch�ma
supposant la continuit� de chaque variable d�pendante avec, �ventuellement, une
discontinuit� de la d�riv�e premi�re, \cfparagr{sec:coll}.
Sans diffusion, en raison de sa nature discontinue, au voisinage des limites
\ZRZCs, le profil de $\gamma$ pr�sentera des oscillations, toutefois sans
importance car, sans diffusion, $\gamma$ n'est pas coupl� aux autres variables.
Il n'en est pas de m�me avec diffusion, mais alors  $\gamma$ est continue, non
d�rivable aux limites \ZRZCs, situation prise en compte par le sch�ma
d'int�gration.\index{discontinuit� de la densit�}

\subsection{Choix de la base de la collocation}\label{sec:coll}
Ainsi qu'ils sont d�finis dans \citet[][p. 280]{db78},
un choix particulier de la base\index{base} et des points de collocation
permet d'obtenir un ordre de pr�cision sup�rieur � celui des fonctions
d'interpolation c'est la {\em superconvergence}.\index{superconvergence}
On se donne l'ordre des B-splines $m$ et la grille des
points de raccord. Les morceaux de polyn�mes se raccordent en ces points
en assurant la continuit� de la B-spline
et de ses d�riv�es jusqu'� un ordre inf�rieur d'une
unit� � celui du syst�me diff�rentiel. Dans \cesam2k
on utilise la grille �quidistante $\{1,2,\ldots n\}$,
l'ordre des �quations diff�rentielles est $r=1$ et
l'ordre des B-splines est fix� par le type de pr�cision indiqu� dans le
fichier de donn�es \cfparagr{sec:fdon},
ou, �ventuellement dans un fichier {\tt reglages} \cfparagr{sec:reg}.\\
Entre deux points de la grille, les variables d�pendantes\index{variables}
sont interpol�es par des morceaux de polyn�mes
d'ordre $m+r=2$ \ie\ droites, ou 3 \ie\ paraboles. Les morceaux de polyn�mes
se raccordent sur les points de grille par continuit�, leurs d�riv�es premi�res
pouvant �tre, au besoin, diff�rentes. Cette particularit� est exploit�e pour
d�crire correctement le profil de la densit� aux limites \ZRZCs,
\cfparagr{sec:disro}.\\
La figure 3 repr�sente cette base pour $n=3$.
Aux $n$ points de la grille, la solution est d'ordre $2m=2$ ou 4; cette
superconvergence est
due � cette disposition particuli�re des points de collocation.
Entre les points de raccord la solution est d'ordre $m+r=2$ ou 3~;
la superconvergence ne peut donc �tre exploit�e directement en tout point.
S'il est n�cessaire de conna�tre la solution en
des points autres que ceux d�finis par la grille,
pour exploiter la superconvergence, il faut faire une
interpolation d'ordre $2m$\footnote{L'exp�rience des calculs a
montr� que l'exploitation de la superconvergence �tait d�licate � cause des
discontinuit�s dues aux d�placements des limites \ZRZC.}.\\
Dans ces conditions, la dimension de la base de B-splines est $M=(n-1)m+r$.
C'est le nombre des coefficients $f_{i,j}$ � calculer pour chaque
inconnue (indice $j$). Il faut rassembler un nombre �gal
d'�quations de conditions et il y a autant de conditions limites que
d'inconnues.
Il faut donc $(n-1)m$ points de collocation c'est � dire $m$ points de
collocation entre deux points de raccord. Ces points
sont dispos�s aux abscisses des z�ros du polyn�me de Legendre de degr�
$m$, d�fini sur chaque intervalle ramen� � $[-1,1]$; soit
$\pm 0.57735$ et 0 pour $m=2$. La superconvergence r�sulte de cette disposition.
Ces points fix�s, on �pargne du temps calcul en y d�terminant, une
fois pour toutes, les valeurs des B-splines et de leurs d�riv�es premi�res.\\
\cesam2k utilise l'algorithme de \citet{db78}, selon la version de
\citet[][chap. 5]{sk81}, pour calculer la valeur de toutes les
B-splines non identiquement nulles en un point quelconque. Cet algorithme est
bas� sur un
calcul de diff�rences divis�es pour une interpolation de Hermite, c'est
l'objet des routines {\tt bval0, bval1, bvald}, \cfparagr{sec:ssps}.
\index{vecteur nodal}Sa disposition
pratique repose sur la construction d'une table d'abscisses o� certaines
sont r�p�t�es plusieurs fois. Elle constitue le {\embf vecteur nodal}
construit dans la routine {\tt coll}, \cfparagr{sec:rcoll}.\\
En chaque point de collocation, l'ordre d'interpolation �tant $m+r=3$ ou
$m+r=2$,
il y a 3 ou 2 B-splines non nulles. Chacune des Eq.~(\ref{eq:43})
fait intervenir 3 ou 2 coefficients non identiquement nuls par inconnue et,
selon qu'on utilise $m=1$ ou $m=2$ on dispose 1 ou 2 points de
collocation entre deux points de raccord,
la structure du jacobien de la m�thode de Newton-Raphson est
la suivante puisque les fonctions de base ont un support born�~:
\begin{displaymath}
 m=1~:\ \left(
 \begin{array}{lllllll}
  \times&\times\\
  \circ &\circ\\
  &\times&\times\\
  &&\cdot\\
  &&&\cdot\\
  &&&&\cdot\\
  &&&&\times&\times\\
  &&&&&\times&\times\\
  &&&&&\circ&\circ\\
 \end{array}
 \right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
 m=2~:\ \left(
 \begin{array}{lllllllllll}
  \times&\times&\times\\
  \times&\times&\times\\
  \circ &\circ &\circ\\
  &&\times&\times&\times\\
  &&\times&\times&\times\\
  &&&&\cdot\\
  &&&&&\cdot\\
  &&&&&&\cdot\\
  &&&&&&\times&\times&\times\\
  &&&&&&\times&\times&\times\\
  &&&&&&&&\times&\times&\times\\
  &&&&&&&&\times&\times&\times\\
  &&&&&&&&\circ&\circ&\circ\\
 \end{array}
 \right)
\end{displaymath}
� chaque point de collocation correspond une ligne de $\times$.
Chacun d'eux\footnote{Si on ne tient pas compte de\index{point de collocation}
la pression turbulente.} repr�sente une matrice carr�e dont l'ordre est le
nombre d'inconnues $n_e=7$, $n_e=8$ avec pression turbulente.
Par exemple, avec $m=2$, �
chaque intervalle entre deux points de raccord, correspond un bloc de $m=2$
lignes de $(m+r)\ \times=(2+1)\ \times=3\ \times$. Deux blocs cons�cutifs se
raccordant par $r=1$ colonne de blocs.
Les lignes correspondant aux conditions limites sont repr�sent�es par des
$\circ$. Ce sont des matrices de format $3\times n_e$,
puisqu'il y a trois
conditions limites � chaque extr�mit� de l'intervalle $[1,n]$ d'int�gration. \\
Pour la structure interne, le syst�me lin�aire est form�
et r�solu dans le sous-programme {\tt coll\_qs} \cfparagr{sec:collqs} � partir
des coefficients calcul�s dans {\tt static\_m},
\cfparagr{sec:staticm}, ou {\tt static\_r}, \cfparagr{sec:staticr}.
Pour la restitution de l'atmosph�re, il s'agit respectivement
des routines {\tt coll\_atm}, \cfparagr{sec:collatm} et
{\tt eqatm}, \cfparagr{sec:eqatm}.\\
On peut remarquer qu'il suffit de garder en m�moire des lignes
de longueur $(m+r)n_e=(2+1)6=18$ pour r�soudre le syt�me.
Il comporte $n_e((n-1)m+r)=6((150-1)2+1)=1794$ lignes pour $n=150$.
Cette remarque est exploit�e dans la routine {\tt gausdp\_g} servant �
r�soudre le syst�me par �limination de Gauss avec pivot partiel,
\cfparagr{sec:sspn}.\\
S'il n'est pas tenu compte de la pression turbulente une
�quation est omise. \index{pression turbulente}

\section{Equations de la structure interne}\label{sec:eqsi}
\cesam2k r�sout les �quations de la structure interne sous une forme
assez �loign�e de leur expression classique. Dans ce paragraphe, on �tablit
les relations utilis�es, puis on donne le changement de variable permettant
d'adapter automatiquement le r�seau � l'�volution des variations des
inconnues, enfin on d�crit la m�thode utilis�e pour fixer un point de la
grille de discr�tisation � chaque limite entre une zone radiative et une
zone convective.\index{equations de la structure interne}\\
Avec, comme variable ind�pendante lagrangienne,\index{variable ind�pendante}
la masse $M$ contenue � l'int�rieur d'une sph�re de rayon $R$, les
�quations de l'�volution stellaire sont\index{variable lagrangienne}
\eg \citet[][par. 9.1]{kw91}~:\index{equations d'�volution}
\index{conditions limites}
\begin{equation}\label{eq:41}
\left\{
\begin{array}{l}
\vspace{0.1 in}
\dsdx PM = -\frac {GM}{4\pi R^4} + \frac{\Omega^2}{6\pi R} \\ \vspace{0.05 in}
\dsdx T M =  \dsdx PM \frac TP \nabla \\ \vspace{0.05 in}
\dsdx R M =  \frac 1{4\pi R^2\rho} \\ \vspace{.1in}
\dsdx L M =  \epsilon-\epsilon_{\rm G}=\epsilon - \dsdx U t +
\frac P{\rho^2}\dsdx\rho t \\ \vspace{.1in}
P=\Pgaz+\Ptur \\ \vspace{.1in}
\dsdx {X_{\rm i}}t = -\dsdx {F_i}M + \Psi_i({\Pgaz},T;{\cal X}) \\ \vspace{0.05 in}
1\leq i\leq n_{\rm elem}.\\
\end{array}
\right.
\quad\left\{
\begin{array}{l}
{\rm conditions\ limites~:} \\
R(0,t)=0,\ L(0,t)=0, \\
P(M_{\rm b},t)=P_{\rm b} (L,R), \\
\Pgaz(M_{\rm b},t)={\Pgaz}_{\rm\ b} (L,R), \\
T(M_{\rm b},t)=T_{\rm b}(L,R), \\
{\rm conditions \ initiales~:} \\
X_i(M,0)=X_{i,0}, \\
i=1,\ldots,n_{\rm elem}, \\
P (M,0)=P_0(M), \\
\Pgaz (M,0)={\Pgaz}_{\ 0}(M), \\
T(M,0)=T_0(M), \\
R(M,0)=R_0(M), \\
L(M,0)=L_0(M), \\
0\leq M\leq M_{\rm b}.\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
\noindent les notations classiques ont �t� utilis�es;
$R$~: rayon (distance au centre de l'�toile),
$P\equiv\Ptot$~: pression totale,
$\Pgaz$~: pression gazeuse, $\Ptur$~: pression turbulente,
 $\rho$~: densit�, $\Omega$~: vitesse angulaire,
$G$~: constante de la gravitation,\index{notations}
$T$~: temp�rature, $\nabla\equiv\left(\dsdx{\ln T}{\ln P}\right)_t$~:
gradient,
$L$~: luminosit�,
$\epsilon=\epsilon_{\nu}-\dsdx{\epsilon_\Omega}t-\epsilon_{\rm G}$~:
d�bit d'�nergie r�sultant des r�actions nucl�aires,
de la dissipation locale
du moment cin�tique \cfparagr{sec:mntcin}, et des pertes par neutrinos,
$\epsilon_{\rm G}$ est l'�nergie gravifique, \eq{eq:egr},
$M$~: masse incluse dans la sph�re de rayon $R$, $t$~: temps,
$X_i$~: abondance de l'�l�ment chimique $i$,
$F_i$~: flux diffusif pour l'�l�ment chimique $i$,
${\cal X}=\{X_i\}$~: vecteur de composition chimique,
$\Psi_i$~: taux de variation de l'abondance de l'�l�ment chimique
$i$ par les r�actions thermonucl�aires,
$n_{\rm elem}$~: nombre d'esp�ces chimiques consid�r�es.
$M_{\rm b}(R,L)$, $P_{\rm b}(L,R)$, ${\Pgaz}_{\rm b}(L,R)$ et
$T_{\rm b}(L,R)$ sont quatre fonctions d�crivant respectivement
les variations de la masse, de la pression totale, de la pression gazeuse
et de la temp�rature, en
fonction du rayon et de la luminosit� � la limite ext�rieure de
l'enveloppe qui co�ncide avec la base de l'atmosph�re.
Les 5 fonctions~: $P_0(M)$, ${\Pgaz}_{\rm\ 0}(M)$,
$T_{\rm 0}(M)$, $R_{\rm 0}(M)$ et $L_{\rm 0}(M)$ d�crivent, en
fonction de la masse,
respectivement la pression totale, la pression gazeuse, la temp�rature,
le rayon et la luminosit� du mod�le d'�ge z�ro.

Cette formulation suppose la sym�trie sph�rique et ne tient pas compte du
champ magn�tique.
Les �quations d�crivant la diffusion des �l�ments chimiques et du moment
cin�tique seront respectivement d�crites au
\paragr{sec:eqd} et \paragr{sec:difcin}.

\subsection{Discontinuit�s de la densit�}\label{sec:disro}
L'�chelle de temps de retournement des �l�ments convectifs �tant petite devant
l'�chelle de temps nucl�aire il est suppos� que la convection homog�n�ise les
\ZCs, \cfparagr{sec:condphys}. La composition chimique, et donc la densit�, sont
{\embf discontinues} aux limites \ZRZCs\footnote{Quand la diffusion des
�l�ments chimiques est prise en compte, la composition chimique et
la densit� sont {\embf continues non d�rivables} en ces limites.}.
\cesam2k utilise des vecteurs nodaux pour les diverses int�grations (structure,
composition chimiques, moment cin�tique) construits de fa�on telle que
les points o� sont form�es les �quations ne co�ncident pas
avec les points de discontinuit�, ainsi ces derni�res sont
implicitement prises en compte.

\subsection{Variables d'int�gration}\label{sec:varint}
Les variables\index{variables d'int�gration} naturelles
par rapport auxquelles sont �crites les
�quations~(\ref{eq:41}) ne sont pas bien adapt�es au calcul num�rique.
En particulier, les d�riv�es de la pression et du rayon ont
des singularit�s en $M\equiv 0$, \ie\ au centre.

Ces singularit�s disparaissent en utilisant le rayon $R$ comme variable
in\-d�\-pen\-dan\-te. La condition limite externe devient alors
une condition de limite libre, puisque le rayon total n'est pas fixe.
Bien que cette limite libre ne
soit pas une difficult� pour la m�thode num�rique utilis�e dans \cesam2k,
le rayon n'est pas, pour autant, le meilleur choix pour la variable
ind�pendante; on peut en effet montrer
\citep{m97} que les singularit�s sont lev�es et qu'une
utilisation optimale de l'approximation num�rique est obtenue lorsqu'on
utilise respectivement pour la masse, le rayon et la luminosit� les
variables suivantes~: $M^{2/3}$, $R^2$ et $L^{2/3}$.
Il est apparu pratique d'utiliser des variables normalis�es
aux valeurs solaires~:

\begin{displaymath}
\xi=\ln P,\ \xi_g=\ln\Pgaz,\ \eta =\ln T,
\ �=\left(\frac M{M_\odot}\right)^{\frac 23},
\ \zeta =\left(\frac R{R_\odot}\right)^2,
\ \lambda =\left(\frac L{L_\odot}\right)^{\frac 23},
\gamma=\ln\rho
\end{displaymath}

\noindent
Avec ces nouvelles variables, le syst�me~(\ref{eq:41}) devient~:
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\vspace{0.05 in}
\dsdmu\xi =\left[-\frac {3G}{8\pi}\left(\frac {M_\odot}{R^2_\odot}\right)^2
\left(\frac�\zeta\right)^2+\frac{M_\odot}{4\pi R_\odot}
\sqrt{\frac�\zeta}\Omega^2\right]\exp(-\xi) \\
\vspace{0.05 in}
\dsdmu\eta=\dsdx{\xi_t}� \nabla \\
\vspace{0.05 in}
\dsdmu\zeta=\frac 3{4\pi}\frac {M_\odot} {R^3_\odot}
\frac 1\rho \left(\frac�\zeta\right)^{\frac 12}\\
\vspace{0.05 in}
\exp(\xi)=\exp(\xi_g)+\Ptur\\ \vspace{0.05 in}
\gamma=\ln\rho(\exp(\xi_g),\exp(\eta),X_i)\\ \vspace{0.05 in}
\dsdmu\lambda =\frac{M_\odot}{L_\odot}\left(\frac�\lambda
\right)^{\frac12}\left[\epsilon -\dsdx Ut+\frac P{\rho^2}\dsdx\rho t\right]\\
\vspace{0.05 in}
\dsdx {X_i}t = -\frac2{3M_\odot\sqrt{�}}
\dsdmu{F_i} + \Psi_i(\xi_t,\eta;{\cal X}),\ 1\leq i\leq n_{\rm elem}\\
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
{\rm conditions\ limites}\\
\zeta(1,t)= 1,\ \lambda (1,t)=1\\
\xi(�_{\rm ext},t) = \ln \left(P_{\rm ext}\left(\sqrt\lambda^3L_\odot,\sqrt{\zeta}
R_\odot\right)\right) \\
\xi_{\rm g}(�_{\rm ext},t) =\xi(�_{\rm ext},t) \\
\eta(�_{\rm ext},t) = \ln \left(T_{\rm ext}\left(\sqrt\lambda^3L_\odot,\sqrt{\zeta}
R_\odot\right)\right) \\
\gamma=\ln\rho(P_{\rm ext},T_{\rm ext},X_i)\\
{\rm conditions\ initiales}\\
X_i(�,0)= X_{i,0},\ i=1,\ldots,n_{\rm elem}\\
\xi(�,0)= \xi_0(�),\ \xi_{\rm g}(�,0)= \xi_{\rm g\,0}(�),\\
\eta(�,0)=\eta_0(�),\ \gamma(�,0)=\gamma_0(�)\\
\zeta(�,0)= \zeta_0(�),\ \lambda (�,0)=\lambda_0(�),\\
1\leq �\leq �_{\rm ext}\\
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Au centre, la singularit� des gradients est lev�e~:
\index{singularit� des gradients}
\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\lim_{�\to 0}\left\vert\dsdx\xi�\right\vert=
\frac G2\left(\frac{4\pi M_\odot^2}3\right)
^{\frac 13}\exp\left(-\xi(0,t)\right)\rho(0,t)^{\frac 43}<\infty,\\
\lim_{�\to 0}\left\vert\dsdx\zeta�\right\vert =
\left(\frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\right)^{\frac 23}
\rho^{-\frac 23}(0,t)<\infty, \\
\end{array}
\end{displaymath}
\noindent et, de plus~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\lim_{�\to 0}\left\vert\frac�\lambda\right\vert=
\lim_{�\to 0}\left\vert\dsdx\lambda�\right\vert=\frac{M_\odot}{L_\odot}
\left[\epsilon-T\left(\dsdx St\right)_�\right],\\
\lim_{�\to 0}\frac�\zeta=\left(\frac{4\pi}3\right)^{\frac 23}
\left(\frac{R_\odot^2}{M_\odot}\right)^{\frac 23}\rho^{\frac 23},\\
\end{array}
\end{displaymath}
quantit�s d�rivables une fois au moins.
Sans l'exposant $2/3$ qui affecte la luminosit�, le second membre de
l'�quation d'�nergie eut �t�~:
\begin{displaymath}
\dsdx\lambda� =\frac{M_\odot}{L_\odot}�^{\frac 12}
\left[\epsilon - \dsdx Ut+\frac P{\rho^2}\dsdx\rho t\right]\\
\end{displaymath}
la racine carr�e, mal repr�sent�e par un polyn�me, au voisinage de
$�=0$, entrainant une instabilit� num�rique.
L'exposant 2/3 permet donc une meilleure
repr�sentation num�rique de la luminosit� au voisinage du centre, mais
interdit � cette variable d�pendante de devenir n�gative, ce qui, dans
certaines phases de l'�volution, peut devenir r�dhibitoire ce qui peut survenir,
lorsque, localement, les pertes �nerg�tiques par diltation ou encore par neutinos
suppassent la cr�ation d'�nergie d'origine nucl�aire..
Lorsque cette �ventualit� peut se pr�senter, bien que moins satisfaisant
num�riquement, il est
n�cessaire d'utiliser le rayon comme variable ind�pendante eul�rienne
et, dans ce cas, l'ensemble de variables est~:
\begin{displaymath}
\xi=\ln P,\ \xi_{\rm g}=\ln\Pgaz,\ \eta=\ln T,\ m=\left(\frac M{M_\odot}\right),
\ r=\left(\frac R{R_\odot}\right),
\ l=\left(\frac L{L_\odot}\right),\ \gamma=\ln\rho.
\end{displaymath}
A l'issue d'innombrables tentatives infructeuses, force a �t� d'admettre que ces
variables "eul�riennes" n�taient pas satifaisantes: � cause de la convergence
incertaine de la r�solution num�rique.

A la suite du travail de L.Piau, les difficult�s pr�c�dentes ont �t� contourn�es
par l'utilisation des variables:
\[ \xi=\ln P,\ \xi_g=\ln\Pgaz,\ \eta =\ln T,
\ \nu=m^{\frac 13}=\left(\frac M{M_\odot}\right)^{\frac 13},
\ r =\frac R{R_\odot},
\ l =\frac L{L_\odot},\ \gamma=\ln\rho\]
En effet la singularit� est lev�e:
\[\lim_{r\to0}\frac{m^{\frac 13}}r =\left(\frac134\pi\rho\right)^{\frac13}.\]

\begin{eqnarray*}
 &&\dsdnu\xi =\left[-\frac{3G}{4\pi}\frac{M_\odot^2}
 {R_\odot^4}\frac{\nu^5}{r^4}
 +\frac{M_\odot}{2\pi R_\odot}\frac{\nu^2}r\Omega^2\right] \exp (-\xi)\\
 &&\dsdnu\eta =\dsdx \xi q\nabla \\
 &&\dsdnu r =\frac 3{4\pi}\frac {M_\odot} {R^3_\odot}
 \frac{\nu^2}{\rho r^2}\\
 &&\exp(\xi)=\exp(\xi_g)+\Ptur\\
 &&\gamma=\ln\rho(\exp(\xi_g),\exp(\eta),X_i)\\
&& \dsdnu l =\frac{3M_\odot}{L_\odot}\nu^2
 \left[\epsilon-\dsdx Ut+\frac P{\rho^2}\dsdx\rho t \right]\\
&&\dsdx{X_i}t = -\frac1{3M_\odot\nu^2}
\dsdnu{F_i} + \Psi_i(\xi_t,\eta;{\cal X}),\ i=1,\ldots,n_{\rm elem}
\end{eqnarray*}
%Les variables eul�riennes sont utilis�es dans certains
%cas \cfparagr{sec:nl}

\subsection{Adaptation de la discr�tisation}\label{sec:adap}
\index{adaptation de la grille}
Les zones dans lesquelles les
solutions ont une variation rapide se d�placent au cours de l'�volution,
si bien que le r�seau initial devient plus ou moins rapidement inadapt�.
Pour ne pas
d�grader la pr�cision, il faut alors resserrer les n\oe uds dans
les r�gions � variations fortes, les relacher sur les plateaux.
Deux solutions peuvent �tre apport�es � ce probl�me num�rique difficile~:
\begin{itemize}
\item on ajoute/retire une ou plusieurs couches lorsque l'incr�ment
d'une va\-ria\-ble est trop/pas assez important
(Kippenhahn \citet{kwh68}).
\item on dispose les n\char'33uds automatiquement de fa�on �
satisfaire certains crit�res \citep{eg71,pf86}.
\end{itemize}
\cesam2k utilise la seconde solution.
L'id�e consiste � effectuer un changement de variable. On
u\-ti\-li\-se com\-me va\-ria\-ble d�\-pen\-dan\-te
une fonc\-tion, � d�\-fi\-nir, des variables
d�pendantes dont on d�sire contr�ler les variations,
fonction � la\-quel\-le on im\-po\-se une
variation constante d'un n\char'33ud de la grille au suivant.
Dans un premier temps le nombre total de n\char'33uds est fix�.
Ceux--ci sont dispos�s
automatiquement par le calcul aux abscisses {\sl ad--hoc}.
La masse, variable ind�pendante
devient une variable d�pendante dont la valeur n'est
connue qu'� l'issue de l'int�gration. A cette fin
on d�finit la fonction d'espacement $Q(�,t)$
� partir de la connaissance que l'on a, {\sl � priori}, de la solution.
Par exemple, pour la structure interne,
on pourrait\footnote{Ce qui �quivaut � prendre la pression
comme variable ind�pendante.} prendre~:
$Q(�,t)=\ln P$.
On cherche � l'instant $t$ une r�partition des abscisses
$�_i,i=1,\ldots ,n$ telle que
l'incr�ment de la fonction d'espacement soit constant d'un n\char'33ud �
l'autre de la grille. On cherchera donc � r�aliser~:
\begin{equation}\label{eq:42}
Q(�_i,t)-Q(�_{i+1},t)=Cte(t),\quad i=1,\ldots ,n-1
\end{equation}
\noindent Cel� impose une monotonie stricte � la fonction d'espacement
$Q(�,t)$.
Le nombre de couches $n$ �tant donn�,
pour $t$ fix�, on introduit la fonction "indice" $q(�,t)$
ap\-pli\-quant l'intervalle de variation de $�$~:
$[0,�_{\rm ext}]$ sur $[1,n]\subset{\rm\bf R}$. La condition \eq{eq:42}
s'�crit alors de fa�on �quivalente~:
\begin{displaymath}
\left( \dsdx Q q \right)_t=Cte(t)=\psi (t) \Longleftrightarrow
  \left( \dsdxx Q q \right)_t=\left( \dsdx \psi q \right)_t=0
\end{displaymath}
et, pour les conditions limites~: $�=0$ � $q=n$ et
$�=�_{\rm ext}$ � $q=n$, puisque la couche d'indice 1
correspond au centre, et celle d'indice $n$ � la surface.

Pour $t$ fix�, le changement de variable~: $�\rightarrow q(�,t)$
permet d'�crire~:
\begin{displaymath}
\left(\dsdx Q q \right)_t=\left(\dsdx Q�\right)_t\left(\dsdx� q\right)_t=
\theta\left(\dsdx� q\right)_t
\end{displaymath}
\noindent o� $\theta(�,t)=\left(\dsdx Q� \right)_t$ est  calcul� �
partir de l'expression de la fonction d'espacement $Q(�,t)$.
Il y a donc deux fonctions inconnues suppl�mentaires~:
$\psi (t)=\left(\dsdx Q q \right)_t$ et $�(q,t)$, solutions
du syst�me diff�rentiel du premier ordre avec conditions limites~:
\begin{displaymath}
\left(\dsdx � q \right)_t=\frac\psi \theta ,\qquad
\left(\dsdx \psi q \right)_t=0,\ {\rm avec~:}\
\left\{
\begin{array}{l}
q=1 ,\ �=0\\
q=n ,\ �=�_{\rm ext}\\
\end{array}\right.
\end{displaymath}
\noindent Ces �quations sont r�solues simultan�ment avec le
syst�me des �\-qua\-tions~(\ref{eq:41}) �\-cri\-tes par
rap\-port aux va\-ria\-bles $q$ et $t$;
pour ce faire, on dispose des relations suivantes, o�
$f(�,\ t)$ d�signe une variable d�pendante quelconque~:
\begin{displaymath}
\left(\dsdx f t \right)_{�}=\left(\dsdx f t \right)_q-
\left(\dsdx f � \right)_t \left(\dsdx � t \right)_q,\qquad
\left(\dsdx f � \right)_t=\left(\dsdx f q \right)_t\biggr/
\left(\dsdx � q \right)_t.
\end{displaymath}
Les abscisses utilis�es sont 1, 2, ... , $n$, on dispose donc d'une
{\bf grille �quidistante}.\index{grille �quidistante}

\subsection{Modification du nombre total de couches}\label{sec:modifc}
On a suppos� jusqu'� pr�sent que le nombre total de couches
�tait fix� une fois pour toutes, \index{nombre total de couches}
ce qui constitue �videmment une contrainte,
puisque pour une phase donn�e de l'�volution, il y a le risque
de travailler avec une discr�tisation trop fine \respt{grossi�re}
avec comme cons�quence des calculs inutiles \respt{impr�cis}.
Avec une augmentation \respt{diminution} du nombre de couches,
le saut\footnote{$\psi(t)$ est soit positif, soit n�gatif,
ici il est suppos� positif.} $\psi(t)$ de la fonction de r�partition
d'une couche � la suivante
diminue \respt{augmente}, si bien que d'un pas temporel au suivant,
il est possible d'ajuster le nombre de couches afin de maintenir $\psi(t)$
dans un intervalle fix�. Cette disposition correspond exactement au
sens physique que l'on peut attribuer � la fonction de r�partition
qui est de maintenir dans un intervalle donn� les
variations de certaines grandeurs physiques.

\bigskip
Alors $\psi(t)=\left(\dsdx Q q\right)_�$ et
$\theta (�,t)=\left(\dsdx Q{�}\right)_t$, $\Rightarrow$
$\frac\psi\theta=(\dsdx� q)_t$
et les �quations~(\ref{eq:41}) deviennent~:
\begin{equation}\label{eq:43}
 \left\{
\begin{array}{l}
 \vspace{0.05 in}
 \dsdx \xi q =\left[-\frac{3G}{8\pi}\left(\frac {M_\odot}
 {R_\odot^2}\right)^2\left(\frac�\zeta\right)^2
 +\frac{M_\odot}{4\pi R_\odot}\sqrt{\frac�\zeta}\Omega^2
 \right] \exp (-\xi) \frac\psi\theta\\
 \vspace{0.05 in}
 \dsdx \eta q =\dsdx \xi q\nabla \\
 \vspace{0.05 in}
 \dsdx \zeta q =\frac 3{4\pi}\frac {M_\odot} {R^3_\odot}
 \frac 1\rho \left(\frac�\zeta\right)^{\frac 12}\frac\psi\theta\\
 \vspace{0.05 in}
 \exp(\xi)=\exp(\xi_g)+\Ptur\\ \vspace{0.05 in}
 \gamma=\ln\rho(\exp(\xi_g),\exp(\eta),X_i)\\ \vspace{0.05 in}
 \dsdx\lambda q =\frac{M_\odot}{L_\odot}\left(\frac�\lambda\right)^{\frac 12}
 \left[\epsilon-\dsdx Ut+\frac P{\rho^2}\dsdx\rho t
 \right]\frac\psi\theta\\
 \vspace{0.05 in}
 \dsdx� q =\frac\psi\theta\\
 \vspace{0.05 in}
 \dsdx\psi q =0\\
 \vspace{0.05 in}
\dsdx {X_i}t = -\frac2{3M_\odot\sqrt{�}}
\dsdx {F_i}� + \Psi_i(\xi_t,\eta;{\cal X}),\ 1\leq i\leq n_{\rm elem}\\
 \vspace{0.05 in}
 i=1,\ldots,n_{\rm elem}\\
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

\index{equations d'�volution}\index{conditions limites}\label{sec:eqqst}

\begin{displaymath}
 \left\{
\begin{array}{l}
 {\rm conditions\ limites}\\
 � (n,t)= �_{\rm ext}\left(\sqrt\lambda^3(n,t)L_\odot,\sqrt{\zeta(n,t)}
 R_\odot\right), \\
 \xi(n,t)= \ln \left(P_{\rm ext}\left(\sqrt\lambda^3(n,t)L_\odot,\sqrt{\zeta(n,t)}
 R_\odot\right)\right), \\
 \xi_{\rm g}(n,t)=\xi(n,t),\\
 \eta(n,t)= \ln \left(T_{\rm ext}\left(\sqrt\lambda^3(n,t)L_\odot,\sqrt{\zeta(n,t)}
 R_\odot\right)\right),\\
 \gamma(n,t)=\ln\rho(P_{\rm ext},T_{\rm ext},X_i)\\
 \zeta(1,t)= 0,\ \lambda(1,t)=0,\ �(1,t)=0.\\
 {\rm conditions\ initiales}\\
 X_i(q,0)= X_{i,0},\ i=1,\ldots,n_{\rm elem}\\
 \xi(q,0)= \xi_0(q),\  \xi_{\rm g}(q,0)= \xi_{\rm g\ 0}(q),\ \eta(q,0)=\eta_0(q),\\
 \zeta(q,0)= \zeta_0(q),\ \lambda (q,0)=\lambda_0(q),\ \gamma(q,0)=\gamma_0(q)\\
 1\leq q\leq n.\\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
Ces �quations de l'espace physique sont form�es dans l'une des routines
{\tt static\_m13} ou {\tt static\_m23}, \cfparagr{sec:staticm}.
La fonction d'espacement $Q$ doit �tre strictement monotone; il faut donc
qu'elle ne soit compos�e que
de fonctions variant dans le m�me sens. Il va de soi que son expression
doit �tre la plus simple possible. \index{fonction d'espacement}
Puisque $\xi$ et $\eta$ varient en sens inverse de $\zeta$, $\lambda$ et $�$,
quand il n'y a aucune raison de favoriser une variable plut�t qu'une autre,
formellement, il conviendrait d'utiliser \citep{eg71}~:
\begin{displaymath}
 \begin{array}{l}
  \vspace{0.05 in}
  Q(�,t)=\frac\xi{\Delta\xi}+\frac\eta{\Delta\eta} -\frac\zeta{\Delta\zeta}
  -\frac\lambda{\Delta\lambda}-\frac�{\Delta�},\ \Delta\xi =
  \xi(n)-\xi(1), \\
  \vspace{0.05 in}
  \Delta\eta =\eta(n)-\eta(1),\ \Delta\zeta =\zeta(n)-\zeta(1),\ \Delta
  \lambda =\lambda(n)-\lambda(1),\ \Delta� =�(n)-�(1). \\
 \end{array}
\end{displaymath}

On aurait donc~:
\begin{equation}\label{eq:44}
 \begin{array}{l}
  \theta(�,t)=\left(\dsdx Q�\right)_t= \frac 1{\Delta\xi}
  \frac{3G}{8\pi}\left(\frac{M_\odot}{R_\odot^2}\right)^2\exp (-\xi)
  \left(\frac�\zeta\right)^2\left(1+\nabla\frac{\Delta\xi}{\Delta\eta}
  \right)-\\
  \vspace{0.05 in}
  -\frac 1{\Delta\zeta}\frac 3{4\pi}\frac{M_\odot}{R_\odot^3}\frac 1\rho
  \left(\frac�\zeta\right)^{\frac 12}-
  \frac 1{\Delta\lambda}\frac{M_\odot}{L_\odot}\left(\frac�\lambda\right)
  ^{\frac 12}\epsilon-1.\\
 \end{array}
\end{equation}\index{grille adaptative}
\index{facteurs de r�partition}
Les facteurs de r�partition $\Delta\xi$, $\Delta\eta$, $\Delta\zeta$,
$\Delta\lambda$ et $\Delta�$ peuvent �tre, ou bien fix�s une fois
pour toutes ou bien, ajust�s � l'issue de chaque pas temporel de fa�on
� suivre l'�volution.

Si cette forme "compl�te" de la fonction de r�partition a �t� utilis�e
pour les versions 0, 1, et 2 de \cesam2k, � partir de la
version~3, il s'est av�r� que la forme simplifi�e
$Q\equiv a\xi+b�$ �tait la plus robuste et, de fait, la plus efficace.
Les valeurs {\bf fixes} $a=-1$ et $b=15$ des facteurs de r�partition utilis�s,
\index{fonction de r�partition} sont d�finies dans la routine
{\tt cesam}, \cfparagr{sec:cesam} qui fait office de programme principal. \\
Cette disposition s'est av�r�e insuffisante pour les mod�les �volu�s, en
particulier lors de l'amor�age de la combustion de l'h�lium ou en pr�sence
de pulses thermiques. Dans ces situations l'�nergie nucl�aire est lib�r�e dans
une fraction si restreinte de l'�toile qu'une fonction de r�partition reposant
uniquement sur le profil de pression est bien en peine "d'�taler". La situation est
complexifi�e par les extensions et les contractions du milieu qui lib�rent
ou absorbent de
l'�nergie gravitationnelle si bien que la luminosit� n'a pas une variation
monotone ne peut pas figurer dans la fonction de r�partition.






A partir de la version 4 de \cesam2k cette difficult� a �t� contourn�e en
introduisant, dans la fonction de r�partition, la variable d�pendante $Ln$,
la {\em "luminosit� nucl�aire}. Elle correspond � l'�nergie
d'origine nucl�aire lib�r�e et v�rifie le probl�me diff�rentiel:

\[ \dsdx{Ln} M =\epsilon  ==>
\dsdx{ln} q =\frac{3M_\odot}{L_\odot}\nu^2 \epsilon\frac\psi\theta,\ ln(0)=0,
\ ln\equiv Ln/L_\odot.\]
La fonction de r�partition utilis�e est alors :
\[ Q\equiv a\ \xi+b\ �+c\ ln \]

L'ap\-pro\-xi\-ma\-tion ini\-tia\-le de $\psi(t_0)=\left(\dsdx Q q\right)_t$
s'ob\-tient en d�\-ri\-vant nu\-m�\-ri\-que\-ment
$Q(�,t)$ (ob\-te\-nu � par\-tir de la so\-lu\-tion ini\-tia\-le
pro\-vi\-soi\-re)
par rap\-port � la nou\-vel\-le va\-ria\-ble in\-d�\-pen\-dan\-te~: la
fonc\-tion de dis\-cr�\-ti\-sa\-tion $q(�,t)$.

Avec la variable ind�pendante $\nu=m^{\frac13}$ on a~:
$\psi(t)=\left(\dsdx Q q\right)_\nu$ et
$\theta (\nu,t)=\left(\dsdx Q{\nu}\right)_t$
et le probl�me diff�rentiel s'�crit~:
\begin{eqnarray*}
 &&\dsdx \xi q =\left[-\frac{3G}{4\pi}\frac{M_\odot^2}
 {R_\odot^4}\frac{\nu^5}{r^4}
 +\frac{M_\odot}{2\pi R_\odot}\frac{\nu^2}r\Omega^2
 \right] \exp (-\xi) \frac\psi\theta\\
 &&\dsdx \eta q =\dsdx \xi q\nabla \\
 &&\dsdx r q =\frac 3{4\pi}\frac {M_\odot} {R^3_\odot}
 \frac{\nu^2}{\rho r^2}\frac\psi\theta\\
 &&\exp(\xi)=\exp(\xi_g)+\Ptur\\
 &&\gamma=\ln\rho(\exp(\xi_g),\exp(\eta),X_i)\\
&& \dsdx l q =\frac{3M_\odot}{L_\odot}\nu^2
 \left[\epsilon-\dsdx Ut+\frac P{\rho^2}\dsdx\rho t
 \right]\frac\psi\theta\\
 && \dsdx{ln} q =\frac{3M_\odot}{L_\odot}\nu^2
 \epsilon\frac\psi\theta\\
 &&\dsdx\nu q =\frac\psi\theta\\
 &&\dsdx\psi q =0\\
&&\dsdx {X_i}t = -\frac1{3M_\odot\nu^2}
\dsdx {F_i}\nu + \Psi_i(\xi_t,\eta;{\cal X}),\ i=1,\ldots,n_{\rm elem}
\end{eqnarray*}

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
{\rm conditions\ limites} \\
\nu (n,t) =\nu_{\rm ext}\left(l(n,t)L_\odot,r (n,t)R_\odot\right), \\
\xi (n,t) =\ln\left( P_{\rm ext}\left(l(n,t)L_\odot,
r(n,t)R_\odot\right)\right),\\
r(n,t) =\ln \left(T_{\rm ext}\left(l(n,t)L_\odot,
r(n,t)R_\odot\right)\right),\\
\xi_{\rm g}(n,t)=\xi(n,t),
\ \gamma(n,t)=\ln\rho(P_{\rm g}(n,t),T(n,t),X_i),\\
r(1,t)=0,\ l(1,t)=0,\ ln(1,t)=0,\ �(1,t)=0. \\
{\rm conditions\ initiales}\\
X_i(q,0)= X_{i,0},\ i=1,\ldots,n_{\rm elem},\\
\xi(q,0)= \xi_0(q),\ r(q,0)=r_0(q),\ \gamma(q,0)=\gamma_0(q),\\
r(q,0)= r_0(q),\ l (q,0)=l_0(q),\ ln (q,0)=l_0(q)  \\
1\leq q\leq n.\\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
Ces �quations de l'espace physique sont form�es dans la routine
{\tt static\_{m13}},
\cfparagr{sec:staticr}.

\begin{figure}[ht]
%\epsfxsize =10.cm
%\epsfbox{LMR.ps}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{lmr.ps}
\caption{
Deux it�rations ont �t� n�cessaires pour
positionner un point de grille sur une limite \ZRZC.
Au cours du processus it�ratif, le gradient
radiatif $\gradrad$ a l�g�rement diminu�, et la limite s'est
d�plac�e vers la droite, alors que le gradient adiabatique $\gradad$
restait inchang�. Les points de grille se sont successivement
d�plac�s de leurs positions initiales, carr�s vides,
vers leurs positions finales, cercles vides puis cercles pleins.
}\label{fig:LMR}
\end{figure}

\subsection{N\oe ud sur une limite \ZRZC}\index{n\oe ud sur une limite ZR/ZC}
\label{sec:nlimzc}
A chaque limite entre une zone convective et une zone radiative le gradient~:
\begin{displaymath}
 \nabla\equiv\left(\dsdx{\ln T}{\ln P}\right)_t
\end{displaymath}
\noindent n'est pas d�rivable. Il en est donc de m�me de la d�riv�e
premi�re de la temp�rature. Entre deux
points de la grille d'int�gration, les inconnues sont repr�sent�es par des
polyn�mes par morceaux. Une limite entre une zone radiative et une zone
convective doit donc n�cessairement se trouver sur une maille du r�seau.
Avec \cesam2k il suffit
de placer un point de grille � mieux que $\sim 5$\%
de la distance entre les n\char'33uds entourant imm�diatement chaque limite
entre une zone convective et une zone radiative, il n'y alors pas de risque
d'approcher les fonctions inconnues par un morceau de polyn�me
traversant une discontinuit�, les points de collocation �tant situ�s
� une distance des points de grille,
sup�rieure � $5$\% de la largeur de la maille concern�e.

Pour assurer cette disposition, on utilise un param�tre libre de la
fonction de r�partition. D'une maille � l'autre, la variation de la
fonction de r�partition $Q(�,t)$, est constante. Les facteurs de
r�partition $a$ et $b$ d�finissent
les poids relatifs des variables � l'int�rieur de chaque maille,
ces poids sont d�finis � un facteur multiplicatif pr�s. Jusqu'� pr�sent
ce param�tre libre a �t�, implicitement, pos� �gal � l'unit�. La
modification de cette valeur pour les mailles situ�es au voisinage d'une
limite entre une zone radiative et une zone convective va permettre de rejeter
la limite dans un voisinage imm�diat des points de grille.
On d�finit la fonction en escalier $\omega(q)$, ajustable d'une maille �
l'autre par~:
\begin{equation}\label{eq:wq}
 Q(�,t)=\omega(q) Q_0(�,t)
\end{equation}\noindent
$Q_0(�,t)$ notant maintenant la fonction de r�partition
retenue, c'est � dire celle d�finie par la
relation \eq{eq:44}. Tout en respectant la constante du saut de $Q(�,t)$
d'une maille � l'autre, $\omega(q)$ permet d'ajuster
le saut de $Q_0$ dans chaque maille, donc les sauts de $\xi$, $\eta$, $\zeta$,
$\lambda$ et $�$ de fa�on � ce qu'ils correspondent � la quantit�
n�cessaire pour atteindre exactement la limite.
Une fois la condition~:
\begin{displaymath}
 \dsdxx Qq=\dsdx\psi q=0
\end{displaymath}\noindent
satisfaite en tous points du r�seau, dans une maille donn�e, la variation
de la fonction $Q$ �tant constante~:
\begin{displaymath}
 \dsdx Qq=\psi=cte=\dsdx{\omega Q_0}q=\omega\dsdx{Q_0}q\Rightarrow\omega=\psi/
 \dsdx{Q_0}q\sim\psi/\frac{\Delta Q_0}{\Delta q}=\psi/\Delta Q_0
\end{displaymath}\noindent
puisque d'une maille � la suivante\footnote{C'est cette derni�re
relation qui d�finit $\omega(q)$, une fonction en
escalier n'�tant pas d�rivable! Pour faciliter l'expos� on a pr�f�r�
introduire $w(q)$ par \eq{eq:wq}.}$\Delta q=1$. Pour chaque maille
$[i,i+1],i=1,\ldots,n-1$, on
d�termine $\omega_i$ de fa�on � ce que le saut de $Q_0$~:
\begin{displaymath}
 \Delta Q_0=a(\xi_{i+1}-\xi_i)+b(�_{i+1}-�_i)
\end{displaymath}
corresponde � ce
qu'il est n�cessaire, pour que chaque limite entre une zone convective et une
zone radiative se place sur un point du r�seau\footnote{Des relations
similaires peuvent �tre obtenues avec les facteurs de r�partition
$\Delta\xi,\ \Delta\eta,\ \Delta\zeta,\ \Delta\lambda$.}.

Malheureusement il n'y a pas de relation permettant
de pr�voir le d�placement d'une limite entre une zone convective et
une zone radiative en fonction des variations des variables locales,
si bien qu'il est n�cessaire de proc�der par ajustements
successifs, il en r�sulte que la
convergence du processus it�ratif global ne peut �tre
que du premier ordre.

A chaque it�ration de la m�thode de Newton-Raphson, la limite entre
une zone radiative et une zone convective est localis�e par interpolation
lin�aire en fonction de la variable d'indice $q$. Suivant la position
interpol�e pour les limites, les mailles concern�es sont agrandies ou
resserr�es. A l'aide de
la valeur obtenue pour la constante $\psi(t)$ et des valeurs
de la variable $Q_0$,
de nouvelles valeurs de $\omega(q)$ sont calcul�es pour chaque maille.
Un exemple d'un tel ajustement est illustr� \fig{fig:LMR}.

Dans la routine {\tt lim\_zc}, \cfparagr{sec:limzc}, les limites
\ZRZCs\ sont localis�es avec pr�cision, ce qui permet de
d�terminer les poids � affecter � chaque maille; l'exp�rience
des calculs montre que le positionnement de la limite
s'effectue sur un n\oe ud avec une
pr�cision sup�rieure � 1\%, si la limite est bien d�finie.
Quand la transition \ZRZC\ est floue \ie\ quand les gradients
adiabatique et radiatif sont proches au voisinage de la limite,
le positionnement n'est pas pr�cis \cfparagr{sec:bug}. Dans ces cas, la
discontinuit� de la d�riv�e du gradient est {\em petite} et l'erreur
qui en r�sulte n'est importante ni pour les variables de structure
ni pour la composition chimique qui ne peut, avec une limite floue, que
pr�senter une discontimuit� peu marqu�e.

\section{Restitution de l'atmosph�re}
La lumi�re parvenant des �toiles est la principale source d'informations
permettant d'induire leur structure. Un mod�le d'�volution stellaire
doit d�crire le transfert du rayonnement � travers l'atmosph�re. Bien que
cette derni�re ne repr�sente qu'une infime partie de l'�toile,
le calcul de ce transfert est un probl�me complexe qui ne peut �tre
raisonnablement r�solu simultan�ment avec celui de la structure interne.
Une des difficult�s r�side dans le fait que c'est dans l'atmosph�re que
le rayonnement transite du milieu opaque de l'int�rieur
o� il est quasi isotrope, vers le milieu interstellaire o� il est anisotrope.
La n�cessit� est de transporter les conditions limites du milieu transparent,
o� elles sont d�finies par l'observation, vers le milieu �pais de l'int�rieur.
La restitution de l'atmosph�re consiste alors � construire un mod�le aussi
pr�cis que possible, assurant le transfert de l'�nergie lumineuse et
l'�quilibre quasi-statique.

Les conditions limites externes du probl�me diff�rentiel de la structure
interne portent
sur deux des trois variables thermodynamiques $P$, $T$ et $\rho$. \cesam2k
offre la possibilit� d'utiliser deux types de m�thodes~: l'approximation
monocouche et la reconstitution de l'atmosph�re, cette derni�re constituant un
probl�me diff�rentiel aux limites r�solu num�riquement par collocation,
\citep{mp4}.

\subsection{L'approximation monocouche}\label{sec:mono}\index{atmosph�re}
 Le "Solar Model Comparison Project" \citep{c88},
utilise une atmosph�re simplifi�e pour transporter les conditions
limites externes dans le milieu optiquement �pais; elle est obtenue � l'aide
de deux relations d�duites d'une discr�tisation simple des �quations de
l'atmosph�re~:
\begin{displaymath}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  \ddx P\tau=\frac{GM_\star}{R_\star^2\kappa}-
  \frac{2\Omega^2R_\star}{3\kappa},\ \frac{\Delta P}{\Delta\tau}\sim
  \frac{P-P_{\rm ext}}{\tau-0}\\
  L_\star=4\pi R_\star^2\sigma T^4\\
 \end{array}
 \right.\Rightarrow
\left\{
 \begin{array}{l}
  P=\frac{GM_\star}{R_\star^2\kappa}-\frac{2\Omega^2R_\star}{3\kappa}\\
  L_\star=4\pi R_\star^2\sigma T^4\\
 \end{array}
\right.
\end{displaymath}
sur la couche externe on a alors $T{\rm ext}=T_{\rm eff}$;
$\sigma$ est la constante de St�fan,
$R_\star$, $M_\star$, $\Omega$ et $L_\star$ sont respectivement, le rayon,
 la masse, la vitesse angulaire et la luminosit� de l'�toile.
Les deux derni�res relations �tant obtenues avec $\tau=1$ et
$P_{\rm ext}=0$ ce qui, physiquement, peut �tre  interpr�t� en disant que
les conditions limites externes sont �crites � $\tau=1$.
Cette formulation est utilis�e dans la routine {\tt lim\_tau1}, \cf
\paragr{sec:limtau1}.
L'�volution est arr�t�e si l'acc�l�ration centrifuge devient sup�rieure �
90\% de la la gravit� -- ce qui se traduirait par une pression n�gative.\\

Dans la routine {\tt lim\_gong1}, \cf
\paragr{sec:limgong1}, deux facteurs $\beta=7.22$ et $\lambda=6$,
affectent respectivement les �quations de la pression et de la luminosit�,
leur effet �tant, avec une \EOS\ supposant l'ionisation totale,
d'obtenir un mod�le solaire qui ressemble au soleil actuel.

\medskip
\PB{Avec l'approximation monocouche, la pression tur\-bu\-len\-te
est igno\-r�e dans l'at\-mos\-ph�\-re.}\index{approximation monocouche}
\index{acc�l�ration centrifuge}\index{arr�t de l'�volution}

\subsection{Reconstitution d'une atmosph�re}
\label{sec:rest}
Dans les cas o� une grande pr�cision doit �tre atteinte, en particulier
pour les mod�les solaires servant au calcul des oscillations, il n'est pas
possible d'ignorer la structure fine des couches externes o� se
r�fl�chissent les modes d'oscillation. Il est n�cessaire de
reconstituer le moins mal possible cette couche limite;
c'est l'objet de la routine {\tt lim\_atm}, \cfparagr{sec:limatm}.
Dans un calcul de structure interne, il n'est pas r�aliste de traiter le
transfert radiatif avec toute sa complexit�. L'approximation de
diffusion, cas gris, utilis� dans la structure interne,
\index{reconstitution de l'atmosph�re} n'est justifi�e que pour des profondeurs
optiques Rosseland $\tau_{\rm rac}\geq 20$, limite au del� de laquelle,
\cf\citet{mp4}, le flux radiatif calcul�
par l'approximation de diffusion et le flux r�el ne diff�rent que
par moins de 1\%. Pour �viter de
traiter explicitement l'atmosph�re, on transporte  de $\tau\sim 0$ �
$\tau =\tau_{\rm rac}$ les conditions externes \ie\ celles au raccord
avec le milieu interstellaire, � savoir~: la  densit� ou la pression,
la temp�rature et la masse.\\
Avec \cesam2k, afin de relier le mod�le de l'atmosph�re et celui de la
structure interne, il
faut disposer pour la pression, la temp�rature et la masse de trois
fonctions\footnote{On assurera ensuite, par it�rations,
l'�galisation de ces valeurs r�sultant de l'int�gration
de l'atmosph�re et de celles r�sultant de l'int�gration de la
structure interne.} au point de raccord en $\tau=\tau_{\rm rac}$
\ie\ � la limite externe de l'enveloppe~:
\begin{displaymath}
P_{\rm rac}(R,L),\ T_{\rm rac}(R,L),\ M_{\rm rac}(R,L),
\end{displaymath}
avec $M_{\rm rac}(R,L)\simeq M_{\rm tot}$ masse contenue
� l'int�rieur de la couche la plus externe de l'enveloppe.
Dans l'atmosph�re, la luminosit� $L$ est suppos�e
constante $L=L_\star$. La composition chimique, la vitesse angulaire
qui, �ven\-tu\-el\-le\-ment, varient en fonction du temps
\eg\ par diffusion et m�lange convectif, sont suppos�es constantes
et fix�es � leur valeurs sur
la couche la plus ext�rieure de l'enveloppe. Pour une
longueur de m�lange et une composition chimique fix�es, la
temp�rature est donn�e dans l'atmosph�re par une loi $T(\tau)$ de la forme~:
$T(\tau_{\rm R},T_{\rm eff},g)$ d�pendant, de la profondeur\footnote{Pour plus
de lisibilit� l'indice R pour "Rosseland"
est omis dans la suite.} optique Rosseland $\tau_{\rm R}$,
$d\tau=-\kappa\rho dR$, de
la temp�rature effective $T_{\rm eff}$ et de la gravit� $g$~:
\begin{displaymath}
T_{\rm eff}=\left(\frac L{4\pi R_{\rm tot}^2\sigma}\right)^{\frac 14},\quad
g=\frac{GM}{R^2}\cong\frac{GM_{\rm tot}}{R_{\rm tot}^2},
\end{displaymath}
$R_{\rm tot}$ est le rayon au point de raccord avec le milieu interstellaire
\cf\citet{m78} p. 49, et $\kappa$ est l'opacit�.
\index{rayon observable}\\
Cette d�finition de la temp�rature effective correspond
� la temp�rature du corps noir ra\-yon\-nant la m�me densit� d'�nergie que
l'�toile, elle n'est pas universelle. Une
seconde d�finition, souvent utilis�e, permet de d�finir
un "rayon observable" $R_\star$~:
\begin{displaymath}
R_\star=R(\tau=\frac 23)\ {\rm et}\ T_{\rm eff}=\left(\frac L{4\pi\sigma
R_\star^2}\right)^{\frac 14}.
\end{displaymath}
Dans ces conditions, la masse $M_\star < M_{\rm tot}$ est
celle � la profondeur optique $\tau= 2/3$~: $M_\star=M(\tau=2/3)$.

\noi Dans \cesam2k, une troisi�me d�finition de $T_{\rm eff}$,
\cf\citet{sp90}, est utilis�e~: le
rayon de l'�toile $R_\star$ est d�fini � la profondeur optique
� laquelle la temp�rature
est �gale � la temp�rature effective, $R_\star$ est le "rayon bolom�trique".
Pour certaines lois $T(\tau)$, les
deux derni�res d�finitions sont �quivalentes.
Par la suite, on notera $\tau_\star$
la profondeur optique o� le rayon est celui de l'�toile~:
$R(\tau_\star)=R_\star$.\index{rayon bolom�trique}

\noi La composition chimique, l'opacit� et
la d�finition retenue pour la temp�rature effective doivent, �videmment,
�tre les m�mes dans~:
\begin{itemize}
 \item le programme de calcul du mod�le d'atmosph�re
  � partir duquel est d�duite la loi $T(\tau,T_{\rm eff},g)$,
 \item la partie atmosph�re du programme de structure interne,
 \item la partie sup�rieure de l'enveloppe.
\end{itemize}
Connaissant $R_{\rm rac}$ et $L$ on peut int�grer de
$\tau=\tau_{\rm min}$ � $\tau=\tau_{\rm rac}$ o� on obtient,
au rayon $R_{\rm rac}$, point de raccord entre l'enveloppe et l'atmosph�re, les
trois quantit�s~:
\begin{displaymath}
P_{\rm rac}(R,L),\ T_{\rm rac}(R,L),\ M_{\rm rac}(R,L).
\end{displaymath}
En utilisant $\tau$ comme variable ind�pendante, le syst�me des �quations
� int�grer est~:
\begin{equation}
\label{eq:sysa}
\left\{
\begin{array}{l}\vspace{0.05 in}
\ddx P\tau  = \frac{GM}{\kappa R^2} -\frac{2\Omega^2 R}{3\kappa} \\
\vspace{0.05 in}
\ddx T\tau  = \frac TP\ddx P\tau\nabla \\ \vspace{0.05 in}
\ddx R\tau  = -1\,/\,{\kappa\rho} \\ \vspace{0.05 in}
\ddx M\tau  = -{4\pi R^2}\,/\,\kappa \\ \vspace{0.05 in}
\ddx {R_\star}\tau =  0 \\ \vspace{0.05 in}
\ddx {\tau_\star}\tau  =  0 \\ \vspace{0.05 in}
\Pgaz=P\left\{1-\frac{a\alpha^2\delta}8 \frac\Gamma{\Gamma+1}(\nabla-\gradad^*)
\right\}\\
\end{array}
\right.\left\{
\begin{array}{l}
{\rm conditions\ limites} \\ \vspace{0.05 in}
\rho(\tau_{\rm min})  = \rho_{\rm ext}\\ \vspace{0.05 in}
{\rm ou}\ P(\tau_{\rm min})= g\kappa\tau_{\rm min} \\ \vspace{0.05 in}
\Pgaz(\tau_{\rm min})  = P(\tau_{\rm min}) \\ \vspace{0.05 in}
M(\tau_\star)  =  M_\star \\ \vspace{0.05 in}
R(\tau_\star)  =  R_\star \\ \vspace{0.05 in}
\vspace{0.05 in}
T_{\rm eff}  =  {\cal T}(\tau_\star,T_{\rm eff},g_\star) \\ \vspace{0.05 in}
T({\tau_\star})  =  {\cal T}(\tau_\star,T_{\rm eff},g_\star) \\ \vspace{0.05 in}
R(\tau_{\rm rac})  =  R_{\rm rac} \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
Les deux �quations diff�rentielles et les deux conditions limites
portant sur $R_\star$ et $\tau_\star$
ont �t� ajout�es pour r�soudre le probl�me diff�rentiel
avec la limite libre � $\tau=\tau_\star$ \cf\citet[][par. 7.3.0]{sb79},
elles couplent $R_\star$ et $\tau_\star$
aux autres variables. En codant {\tt lim\_ro=.TRUE.}
dans le fichier de donn�es, � la limite optiquement mince, d�finie par
$\tau=\tau_{\rm min}$, la condition limite porte sur la densit�
fix�e � la valeur $\rho_{\rm ext}$
donn�e par le mod�le d'atmosph�re; avec {\tt lim\_ro=.FALSE.},
la condition limite porte sur la pression; on utilise alors
la relation d�riv�e de l'approximation monocouche. La condition
sur la pression permet de s'affranchir de la contrainte
sur la densit� � une profondeur optique fix�e arbitrairement.
En g�n�ral on fixe $\tau_{\rm min}\equiv 10^{-4}$ ce qui correspond,
approximativement, au minimum de temp�rature dans la photosph�re solaire,
cel� ne constitue �videmment pas une r�gle absolue\footnote{Il faut
s'assurer
que l'�quation d'�tat et les tables d'opacit� donnent des valeurs
r�alistes pour les conditions physiques auxquelles on peut s'attendre
jusqu'� $\tau_{\rm min}.$}. A ce niveau, l'atmosph�re est suppos�e
radiative si bien que $\Pgaz\equiv P$.

\noi La derni�re �quation qui relie $P$ et $\Pgaz$ est celle
qui est v�rifi�e dans les zones radiatives o� l'efficacit�
de la convection est nulle \ie\ $\Gamma\equiv0$.

\noi Les conditions limites sont donc �crites aux trois niveaux~:
$\tau=\tau_{\rm rac}$, $\tau=\tau_\star(t)$ et $\tau=\tau_{\rm min}$, en
se rappelant que
$\tau_\star(t)$ est susceptible de varier au cours du temps.
De plus, $\rho_{\rm ext}$ d�pend aussi du temps, puisque d�pendant de la
gravit� $\rho_{\rm ext} (g_\star(t))$.

\noi Au temps $t$, la solution des �quations~\eq{eq:sysa} donne
$P_{\rm rac}$, $T_{\rm rac}$ et
$M_{\rm rac}$ pour $R$ et $L$ donn�s.

\noi Evidemment, autant que faire se peut, la loi $T(\tau)$
et la structure interne doivent �tre calcul�es avec
des physiques aussi �quivalentes que possible � savoir~:
�quation d'�tat, opacit�, longueur de m�lange,
composition chimique \etc\ Malgr� de nombreuses tentatives, � cause
des incoh�rences entre la physique, les donn�es, les param�tres,
utilis�s dans le mod�le d'atmosph�re d'une part,
et dans la structure interne d'autre part,
il s'est av�r� impossible de raccorder non seulement les fonctions
(\ie\ pression, temp�rature, masse), mais aussi leurs gradients � la limite
entre atmosph�re et enveloppe; si le gradient de pression \ie\
$\ddx Pr = -g\rho$, se
raccorde parfaitement, il n'en est pas de m�me du gradient de temp�rature ni,
parcons�quent, du gradient $\nabla\equiv\frac{d\ln T}{d\ln P}$;
des diff�rences de l'ordre de 0.1 � 0.2 pouvant exister de part et d'autre
du raccord. Pour certaines applications de telles diff�rences sont
prohibitives et, au risque de ne pas v�rifier parfaitement la loi $T(\tau)$,
un artifice num�rique semi-original a �t� mis au point pour
assurer aussi le raccord de $\nabla$.

\medskip
\index{acc�l�ration centrifuge}\index{arr�t de l'�volution}
\PB{La restitution de l'atmosph�re n'est effectu�e que si
l'acc�l�ration centrifuge est inf�rieure �
90\% de la gravit�; si tel n'est pas le cas, l'�volution est arr�t�e.}

\subsection{Artifices num�riques utilis�s pour le raccord de $\nabla$}
\label{sec:rac}\index{raccord des $\nabla$}
La gravit� $g$ �tant fix�e, la loi
$T(\tau)$ est suppos�e pouvoir s'�crire sous la forme~:
$T^4=\frac 34 T_{\rm eff}^4f(\tau)$;
en utilisant l'expression de la luminosit�,
$L=4\pi R_\star^2 \sigma T_{\rm eff}^4$, il vient~:
\[T^4=\frac 3{4\pi ac} \frac {L_\star}{R_\star^2}f(\tau),
\quad (\sigma=\frac{ac}4), \ {\rm d'o\grave{u}}\ \ddx T\tau=\frac3{16\pi ac}
\frac {L_\star}{R_\star^2 T^3}\ddx f\tau,\]
si bien qu'avec $d\tau=-\kappa \rho dr$~:
\begin{eqnarray}\label{eq:dft}
\nabla\equiv\frac{d\ln T}{d\ln P}&=&-\frac PT\ddx T\tau \kappa\rho\ddx rP=
\frac{P\kappa}T\ddx T\tau\frac{R^2}{GM}=\frac 3{16\pi ac G}
\frac{P\kappa L_\star}{MT^4}
\left(\frac R{R_\star}\right)^2 \ddx f\tau= \nonumber \\
&=&\nabla_{\rm rad}\frac L{L_\star}\left(\frac R{R_\star}\right)^2\ddx f\tau
\end{eqnarray}
puisque le gradient radiatif a pour expression~:
\[\nabla_{\rm rad}=\frac3{16\pi acG}\frac{P\kappa L}{MT^4}.\]
Ici $L\equiv L_\star$ et, dans le cas solaire $R/R_\star<1\pm 10^{-3}$.
Dans une zone convective le flux total $F$ est la somme du flux radiatif et
du flux convectif~: $F=F_{\rm rad}+ F_{\rm conv}$. {\em Si et seulement si}
l'approximation de diffusion est v�rifi�e \ie\ � la limite $\tau\gg1$,
le flux radiatif $F_{\rm rad}(\tau)=\int_0^\infty F_\nu d\nu$ a pour expression~:
\[F_{\rm rad}=\frac{4acT^4}{3\kappa\rho H_{\rm p}}\nabla\]
avec pour le flux total $F$~:
\[F=\frac{4acT^4}{3\kappa\rho H_{\rm p}}\nabla_{\rm rad}\]
alors~:
\[\lim_{\tau \gg 1}\frac{F_{\rm rad}}F=
\left(\frac R{R_\star}\right)^2\ddx f\tau\sim\ddx f\tau ,\]
puisque dans l'atmosph�re, du moins pour les �toiles naines,
le quotient $(R/R_\star)^2\sim 1\pm10^{-8}$ peut �tre
pris �gal � l'unit�.

L'artifice num�rique utilis� pour le raccord de $\nabla$
repose sur la formulation~\eq{eq:dft}~:
pour le calcul  de la
temp�rature, au lieu d'utiliser explicitement la loi $T(\tau)$,
on int�gre l'�quation diff�rentielle~:
\[\ddx T\tau=\frac TP\ddx P\tau \nabla=
\frac TP\ddx P\tau \nabla_{\rm rad} \left(\frac R{R_\star}\right)^2
\ddx f\tau,\]
et une condition limite sur la temp�rature, cette derni�re
�tant �crite, {\em par exemple}, en $\tau_\star$~:
\[T(\tau_\star)=T(\tau_\star,T_{\rm eff},g_\star).\]
Ainsi, � un changement de variable pr�s, les �quations
{\em sont les m�mes} dans l'atmosph�re restitu�e et dans la structure interne.

\noi Pour des lois $T(\tau)$ purement radiatives,
telles que celles d'Ed\-ding\-ton ou de Hopf,
$\lim_{\tau \gg 1}\ddx f\tau=1$. On remarque qu'alors, le flux total est pos�
�gal au flux radiatif m�me si l'approximation de diffusion est injustifi�e.
Pour des lois $T(\tau)$ incorporant la convection, telles que celles
d�riv�es de mod�les d'atmosph�res solaires,
$\lim_{\tau \gg 1}\ddx f\tau <1$ (typiquement $\ddx f\tau\sim 0.2$ � $\tau=20$).
Il faudra donc un traitement diff�rent suivant que la loi $T(\tau)$ est,
ou non, purement radiative.

\subsection{Loi $T(\tau)$ purement radiative}
La loi $T(\tau)$ ne contient
pas la partie convective de l'atmosph�re, force est donc d'utiliser
le formalisme de la structure interne pour le calcul du gradient
dans la partie convective,
sachant qu'elle sera incorrecte tant que
l'approximation de diffusion ne sera pas justifi�e \ie\ tant que $\tau\loa20$.
Dans la partie radiative le gradient aura l'expression~\eq{eq:dft},
dans la partie convective, son expression sera celle d�duite de
la th�orie de la convection utilis�e \cfparagr{sec:gradconv},

la continuit� du gradient sera assur�e s'il est calcul�
avec des expressions qui ont m�mes limites de part et d'autre
de la transition
convectif/radiatif, ce qui est r�alis� en utilisant,
dans le formalisme de la longueur de m�lange,
un $\gradrad$ {\em modifi�}~:
\[\gradrad^*\equiv\gradrad\ddx f\tau.\]
Cet artifice num�rique est d� � Henyey \citet{hvb65},
M. Gabriel \& J. Christensen-Dalsgaard, {\it communications priv�es}. A la limite
$\tau\gg1$, le gradient sera ainsi exactement celui donn� par le formalisme de la
longueur de m�lange puisque, pour une loi purement radiative,
$\lim_{\tau \gg1}\ddx f\tau=1$.

\medskip
\noi{\bf Lois $T(\tau]$ purement radiatives implant�es dans \cesam2k}~:
\begin{itemize}\index{hopf.f}\index{edding.f}
 \item {\tt hopf}~: Loi $T(\tau)$ de Hopf, \cfparagr{sec:hopf}.
 \item {\tt edding}~: Loi $T(\tau)$ d'Eddington, \cfparagr{sec:edding}.
\end{itemize}

\subsection{Lois $T(\tau)$ avec convection}
 L'artifice num�rique
pr�c�dent n'est pas utilisable puisque $\lim_{\tau \gg1}\ddx f\tau<1$ et,
par ailleurs, l'utilisation d'une loi $T(\tau)$ non purement radiative
perdrait de son int�r�t, puisque la description de la partie convective
aux profondeurs optiques $\tau\sim1$ serait effectu�e avec une th�orie
de la convection qui utilise une expression du flux radiatif
d�duite de l'approximation de diffusion.
Dans ce cas, pour assurer la continuit�
du gradient, l'artifice num�rique utilis� consiste en
une interpolation lin�aire,
en fonction de l'�paisseur optique, entre la valeur du
gradient d�duit de la loi $T(\tau)$~:
\begin{equation}
\label{eq:grad}
\nabla=\nabla_{\rm rad}\left(\frac R{R_\star}\right)^2\ddx f\tau
\end{equation}
et de celle $\nabla_{\rm mel}$ calcul�e par la th�orie de la longueur de m�lange
ainsi qu'il est d�crit \paragr{sec:gradconv}. Ainsi, pour les profondeurs
optiques $\tau\loa1$ le gradient est proche de celui d�riv� de la loi
$T(\tau)$, tandis qu'il tend vers celui de la longueur de m�lange pour
les profondeurs optiques $\tau\geq\tau_{\rm rac}$. L'interpolation lin�aire
utilis�e a pour expression~:
\begin{equation}\label{eq:inl}
\nabla=(1-x)\nabla_{\rm rad}\left(\frac R{R_\star}\right)^2\ddx f\tau
+x\nabla_{\rm mel},\ x=\frac{\tau-1}{\tau_{\rm rac}-1}.
\end{equation}
Pour les profondeurs optiques interm�diaires $\tau\sim 1$, cet artifice
num�rique permet de restituer, en partie, le mod�le d'atmosph�re
avec convection, tout en assurant, plus profond, le raccord des gradients
malgr� les incoh�rences de la physique.

\medskip
\PB{Avec une loi $T(\tau)$ non purement radiative,
la valeur $\tau_{\rm rac}=20$ est im\-po\-s�e
in\-d�\-pen\-dam\-ment de cel\-le in\-di\-qu�e pour $\tau_{\rm max}$
dans le fi\-chier de don\-n�es.}

\medskip
\noi{\bf Lois $T(\tau]$ non purement radiatives implant�es dans \cesam2k}~:
\begin{itemize}
  \item {\tt k5750}~: Loi $T(\tau)$ solaire $T_{\rm eff}=5750$\,K
  calcul�e par C. Van't Veer avec Atlas 9 de Kurucz, \cfparagr{sec:k5750}.
  \index{k5750.f}
  \item {\tt k5777}~: Loi $T(\tau)$ solaire $T_{\rm eff}=5777$\,K
  calcul�e par C. Van't Veer avec Atlas 12 de Kurucz, \cfparagr{sec:k5777}.
  \index{k5777.f}
  \item {\tt roger00}~: Lois $T(\tau)$ � [Fe/H]=0, calculs avec
  Atlas 12 de Kurucz, interpolations de R. Cayrel. Utilise la table
  {\tt fesh00.data} du directory {\tt DATA} de la source de \cesam2k;
  avant utilisation indiquer, dans le sous programme, le chemin
  d'acc�s de la table, \cfparagr{sec:roger}.\index{roger00.f}
  \item {\tt roger02}~: Lois $T(\tau)$ � [Fe/H]=-0.2, calculs avec
  Atlas 12 de Kurucz, interpolations de R. Cayrel. Utilise la table
  {\tt fesh02.data} du directory {\tt DATA} de la source de \cesam2k;
  avant utilisation indiquer, dans le sous programme, le chemin
  d'acc�s de la table, \cfparagr{sec:roger}.
  \index{roger02.f}
  \item {\tt roger05}~: Lois $T(\tau)$ � [Fe/H]=-0.5, calculs avec
  Atlas 12 de Kurucz, interpolations de R. Cayrel, \cfparagr{sec:roger}.
  \index{roger05.f}
  \item {\tt roger10a}~: Lois $T(\tau)$ � [Fe/H]=-1.0 enhanced, calculs avec
  Atlas 12 de Kurucz, interpolations de R. Cayrel, \cfparagr{sec:roger}.
  \index{roger10a.f}
\end{itemize}

\subsection{R�solution num�rique}\label{sec:pbc}
Pour r�soudre num�riquement le probl�me diff�rentiel
d�fini par le syst�me~\eq{eq:sysa}, on
\index{reconstitution de l'atmosph�re}
impose (dans la routine {\tt lim\_atm}) un indice {\em fixe}
$n_\star=3/4n_{\rm a}$ � la limite libre $\tau=\tau_\star(t)$ parmi les
$n_{\rm a}$ points de grille que comporte l'atmosph�re. Pour ce faire, on
utilise la {\bf  bijection lin�aire par morceaux}~:
$\tau\mapsto\omega$ de $[\tau_{\rm rac},\tau_{\rm
min}]$ dans $[1,n_{\rm a}]$ d�finie par~:
\begin{equation}\label{eq:map}\displaystyle
\begin{array}{l}
{\ln\tau\mapsto\varphi(\omega)=}
{\cases{
\ln\tau_{\rm rac}+(\omega-1)\Delta\varphi^+,&si $\omega\in[1,n_\star]$;\cr
\ln\tau_{\rm min}+(\omega-n_{\rm a})\Delta\varphi^-,&sinon.\cr}}
\end{array}
\end{equation}
Les deux valeurs de la pente $\Delta\varphi^+$ et $\Delta\varphi^-$
�tant d�finies par~:
\begin{displaymath}
\Delta\varphi^+\equiv\frac{\ln\tau_\star-\ln\tau_{\rm min}}{n_\star-n_{\rm a}},
\ \Delta\varphi^-\equiv\frac{\ln\tau_\star-\ln\tau_{\rm rac}}{n_\star-1};
\end{displaymath}
ainsi on a~:
\begin{description}
 \item $\omega=1$, au fond de l'atmosph�re o� $\tau=\tau_{\rm rac}$,
 \item $\omega=n_\star$, sur la limite libre interne � $\tau=\tau_\star$,
 \item $\omega=n_{\rm a}$, sur la limite externe o� $\tau=\tau_{\rm min}$.
\end{description}
%le choix de l'indice $n_\star$ est libre; avec $n_\star\simeq n_{\rm a}/2$,
%$\ln\tau_\star$ sera localis� approximativement au centre de l'intervalle
%$[\ln\tau_{\rm rac},\ln\tau_{\rm min}]$.
On travaille donc avec un pas de
grille constant, ce qui est un avantage de la m�thode.
Pour l'int�gration num�rique, on a utilis� les variables~:
$\xi=\ln P$, $\xi_{\rm g}=\ln\Pgaz$, $\eta=\ln T$, $\zeta_{\rm a}=R/R_\odot $,
$�_{\rm a}=M/M_\odot$,
$\zeta_\star=R_\star/R_\odot$ et $\varphi_\star=\ln\tau_\star$, si bien que
le syst�me~\eq{eq:sysa} devient~:
\begin{equation}\displaystyle
\label{eq:sysa2}
\left\{
\begin{array}{l}\vspace{0.05 in}
\ddx \xi\omega=\left[\frac{GM_\odot }{R_\odot^2}\frac{�_{\rm a}}{\zeta_{\rm
a}^2}
-\frac{2R_\odot\Omega^2\zeta_{\rm
a}}3\right]\frac{\Delta\varphi^\pm}{\kappa}\exp(\varphi-\xi)
\\ \vspace{0.05 in}

\ddx\eta\omega=\ddx \xi\omega\nabla\\
\vspace{0.05 in}

\ddx {\zeta_{\rm a}}\omega  = -\frac 1{R_\odot
}\frac{\Delta\varphi^\pm\exp(\varphi)}
{\kappa\rho} \\ \vspace{0.05 in}

\ddx {\zeta_\star}\omega  = 0 \\ \vspace{0.05 in}

\ddx {�_{\rm a}}\omega  = -\frac{4\pi R_\odot ^2}{M_\odot }
\frac{\Delta\varphi^\pm}\kappa\exp(\varphi)\zeta_{\rm a}^2 \\ \vspace{0.05 in}

\ddx {\varphi_\star}\omega =  0 \\ \vspace{0.05 in}
\ddx \varphi\omega  =  \Delta\varphi^\pm \\ \vspace{0.05 in}

\exp(\xi)\left\{1-\frac{a\alpha^2\delta}8 \frac\gamma{\gamma+1}(\nabla-\gradad^*)
\right\}-\exp(\xi_{\rm g})=0 \\

\end{array}
\right.
\end{equation}
avec $\Delta\varphi^\pm=\Delta\varphi^+$ \respt{$\Delta\varphi^-$} si
$\omega\in[1,n_\star]$ \respt{$\omega\in[n_\star,n_{\rm a}]$}.

\noi Les conditions limites sont alors~:
\begin{displaymath}\displaystyle
\left\{
\begin{array}{l}
\zeta_{\rm a}(1)  =  \zeta_{\rm rac} \\ \vspace{0.05 in}

�_{\rm a}(n_\star)  =  {M_\star}/{M_\odot } \\ \vspace{0.05 in}

\zeta_\star(n_\star)  =  {R_\star}/{R_\odot } \\ \vspace{0.05 in}

\eta(n_\star)=\ln{\cal T}(\exp(\varphi_\star),T_{\rm eff},g_\star) \\
\vspace{0.05 in}

\eta(n_\star)=\ln T_{\rm eff} \\ \vspace{0.05 in}

\varphi(n_{\rm a})=\ln \tau_{\rm min} \\ \vspace{0.05 in}

\rho(n_{\rm a})  = \rho_{\rm ext} \\ \vspace{0.05 in}

\xi(n_{\rm a}) = \xi_{\rm g}(n_{\rm a}) \\

\end{array}
\right.
\end{displaymath}
avec~:
\[T_{\rm eff}^4=\frac{L_\odot\sqrt{\lambda^3_{\rm rac}}}{4\pi R_\odot
^2\sigma\zeta_\star^2},
\quad g=\frac{GM_\odot�_{\rm a}}{R_\odot ^2\zeta_{\rm a}^2}.\]
La solution num�rique de ce probl�me diff�rentiel
non-lin�aire utilise la m�thode de spline-col\-lo\-ca\-tion. Le processus
it�ratif est initialis�, lors du premier calcul,
par un mod�le d'atmosph�re solaire et, pendant l'�volution, par
le mod�le d'atmosph�re du mod�le au pas de temps pr�c�dent.

\medskip
\PB{A cause de la discontinuit� de la d�riv�e de la bi\-jec\-tion
li\-n�\-ai\-re par mor\-ceaux \cfparagr{sec:bug}, au point $\tau=\tau_\star$,
il sem\-ble se pro\-dui\-re des dif\-fi\-cul\-t�s
de con\-ver\-gen\-ce lors\-que $\tau_\star$ ten\-te de fran\-chir la
dis\-con\-ti\-nui\-t�,
un grand nom\-bre d'i\-t�\-ra\-tions est alors n�\-ces\-sai\-re.
En fait, une
pro\-pri�\-t� de la m�\-tho\-de de spli\-ne-col\-lo\-ca\-tion
per\-met d'at\-tein\-dre ef\-fec\-ti\-ve\-ment la so\-lu\-tion.}

\medskip
\noi Typiquement, on utilise de $n_{\rm a}=30$ � $n_{\rm a}=100$
points de grille
pour l'intervalle $[\tau_{\rm rac},\tau_{\rm min}]$. Avec des B-splines d'ordre
3 il y a de 59 � 199 points d'int�gration o� les Eqs.~(\ref{eq:sysa2})
sont satisfaites, en tenant compte de la superconvergence, l'ordre du
sch�ma est 4.

\medskip
Ces �quations sont r�solues dans l'espace des splines par la routine
{\tt coll\_atm}, \cfparagr{sec:collatm}, en utilisant les coefficients calcul�s
dans l'espace physique  par la routine {\tt eqatm} \cfparagr{sec:eqatm}.
La gestion et l'interface entre les deux espaces �tant assur�e par la routine
{\tt lim\_atm}, \cfparagr{sec:limatm}.
Avec les lois $T(\tau)$ d�duites de mod�les d'atmosph�re sophistiqu�s,
la profondeur optique $\tau_\star$ varie avec la temp�rature
effective et la gravit�, l'�quation implicite $T(\tau_\star)=T_{\rm eff}$
est alors r�solue dans la routine {\tt taueff}, \cfparagr{sec:taueff}.

\noi Dans le programme de r�solution, le point d'indice 1 correspond au
raccord � $\tau=\tau_{\rm rac}$ et $R=R_{\rm rac}$,
le point d'indice $n_{\rm a}$ � $\tau=\tau_{\rm min}$.
La densit� externe $\rho_{\rm ext}$ � $\tau=\tau_{\rm min}$
d�pend de la loi $T(\tau)$ utilis�e.
La profondeur optique $\tau=\tau_{\rm rac}$ du fond de
l'atmosph�re est un param�tre externe introduit dans la NAMELIST
{\tt NL\_ATM} du fichier de donn�es~: $\tau_{\rm rac}=${\tt tau\_max}.
\index{NL\_ATM}

\medskip
\noi La solution consiste en $\xi_{\rm rac}(\zeta_{\rm rac},\lambda_{\rm rac})$,
$\eta_{\rm rac}(\zeta_{\rm rac},\lambda_{\rm rac})$,
$�_{\rm rac}(\zeta_{\rm rac},\lambda_{\rm rac})$; les
d�riv�es par rapport � $\eta_{\rm rac}$ et $\lambda_{\rm rac}$ sont
calcul�es num�riquement.

\section{Evolution temporelle de l'�nergie gravifique}
L'�nergie graviphique a un r�le pr�pond�rant dans les parties de l'�toile
o� elle se substitue � l'�nergie thermonucl�aire, lorsque le fuel nucl�aire a
disparu, par exemple dans le c\oe ur, apr�s la s�quence principale ou encore
dans la phase d'Hayashi. C'est cette �quation qui, traduisant l'hypoth�se
d'�quilibre quasi-statique, �vite un traitement hydrodynamique de l'�volution
stellaire. Elle n'est pas justifi�e dans toutes les phases de l'�volution.

\subsection{L'approximation de Kippenhahn}\label{sec:kipp}
Bien qu'elle soit formellement incorrecte
\cf\citet{cg68,stfrf70},
� une abscisse lagrangienne o� la variation
temporelle du nombre de particules libres n'est pas nulle
\eg\ dans un c\oe ur convectif,\index{approximation de Kippenhahn}
l'approximation de \citet{kwh68} s'�crit~:
\[ \epsilon_{\rm G}\sim T\left(\dsdx St\right) \]
ou $S$ est l'entropie sp�cifique. Cette approximation permet d'exprimer
l'�nergie gravifique
explicitement en fonction des variations de pression
et de temp�rature~:
\[\epsilon_{\rm G}\sim T\left(\dsdx St\right)=
c_{\rm P}\dsdx Tt-\frac\delta\rho \dsdx\Pgaz t\]
est d'un emploi facile. Pour les �toiles de masse
($M\geq 1.2M_\odot$) l'extension du c\oe ur convectif varie
au cours de l'�volution, cr�ant ainsi une discontinuit� de la
composition chimique donc de la densit�, suivant l'axe temporel;
discontinuit� dont il y a lieu de tenir compte dans l'�valuation de
la d�riv�e temporelle de la densit� dans \eq{eq:tds}.
L'approximation de Kippenhahn qui n'utilise pas explicitement
la d�riv�e d'une fonction discontinue permet de contourner la difficult�
et de faire supporter l'erreur par le num�rique.

\subsection{Discr�tisation}\label{sec:gravifq}
La variation\index{energie gravifique} d'�nergie gravifique~:
\begin{displaymath}\label{eq:egr}
 \epsilon_{\rm G}=\left(\dsdx Ut\right)_�+P\left(\dsdx Vt\right)_�
\end{displaymath}
o� $U$ est l'�nergie interne sp�cifique, $V=1/\rho$ le volume sp�cifique,
et $�$ la variable d'espace lagrangienne, est approch�e dans \cesam2k
par un sch�ma aux diff�rences finies implicite~:
\begin{equation}\label{eq:tds}
 \epsilon_{\rm G}
 \simeq\frac{U^{t+\Delta t}-U^t}{\Delta t}
 -\frac{P^{t+\Delta t}}{(\rho^{t+\Delta t})^2}\frac{\rho^{t+\Delta t}-\rho^t}
 {\Delta t}
\end{equation}
o� les quantit�s $U^t$ et $\rho^t$ � l'instant $t$ sont calcul�es en
utilisant l'�quation d'�tat avec des valeurs de la pression et de la
temp�rature obtenues par interpolation � $�$ \ie\ masse constante,
de la solution pr�c�dente~:
\begin{displaymath}
 �\hookrightarrow q\hookrightarrow P^t,T^t
\end{displaymath}
et, pour
la composition chimique $X$, par une interpolation directe par rapport �
$�$, d'ordre {\tt mc}, ordre des B-splines d'interpolation de la composition
chimique.

\medskip
\noi Avec l'approximation de Kippenhahn, la formulation aux diff�rences finies
 totalement implicite est �crite~:
\begin{equation}\label{eq:tdsk}
 \epsilon_{\rm G}
 \simeq c_{\rm P}^{t+\Delta t}\frac{T^{t+\Delta t}-T^t}{\Delta t}
 -\frac{\delta^{t+\Delta t}}{\rho^{t+\Delta t}}\frac{\Pgaz^{t+\Delta t}-\Pgaz^t}
 {\Delta t}
\end{equation}

\medskip
\noi Ces �quations sont form�es dans les routines {\tt static\_m}
et {\tt static\_r} \cfparagr{sec:staticr}.

\subsection{Initialisation}\label{sec:inipms}
 Pour le calcul de la \PMS, il est n�cessaire de disposer d'un mod�le en
�quilibre quasi-statique dont la seule source d'�nergie est d'origine
gravitationnelle. Le mod�le initial est obtenu par une
m�thode due � \citet{i65} qui a �t� adapt�e �
\cesam2k en collaboration avec A.Baglin. Au d�but de la \PMS\  l'�toile
est compl�tement convective donc isentropique sauf, peut-�tre,
dans une partie superadiabatique externe.
Dans ces conditions, la composition chimique est spatialement et temporellement
{\embf constante}, et l'�quation d'�nergie s'�crit~:\index{Iben}\index{PMS}
\begin{displaymath}\dsdx Lm=\epsilon_G=-T\dsdx St=cT\end{displaymath}
o� $c$ est la "{\embf constante de contraction}" qui
caract�rise un mod�le en �quilibre quasi-statique, totalement convectif et
sans r�actions thermonucl�aires. La donn�e de la constante de contraction
$c$, permet de r�soudre le syst�me des �quations au temps $t+dt$ sans avoir �
d�terminer explicitement la quantit� $T\dsdx St$.

\noi La m�thode de Iben consiste � construire un premier mod�le (indice 1) avec une
premi�re valeur $c_1$ pour $c$. Puis un second mod�le (indice 2) avec une
valeur $c_2$ voisine -- \cesam2k utilise $c_2=1.1\times c_1$. Si on admet que
ces deux mod�les appartiennent �
la m�me s�quence �volutive, l'�nergie rayonn�e pendant l'intervalle de
temps $\Delta t$ les s�parant est alors �gale
� la variation d'�nergie gravitationnelle, si bien que~:
\begin{displaymath}
\frac{L_1+L_2}2\Delta t\sim\left(\frac{GM^2}{R_2}-\frac{GM^2}{R_1}\right)
\ \Rightarrow\Delta t\sim2GM^2\frac{R_1-R_2}{(L_1+L_2)R_1R_2}.
\end{displaymath}
On peut alors d�buter le calcul de l'�volution en utilisant cette valeur de
$\Delta t$ et le mod�le 2 comme mod�le initial.
Une valeur typique pour la constante est $c=0.02$, la temp�rature centrale du
mod�le initial avoisine alors 100\,000K; on obtient 500\,000K
\respt{1\,000\,000K} avec $c=0.0005$ \respt{$c=0.00008$}.
Ces ordres de grandeur d�pendent assez peu de la masse du mod�le.
Au cours du d�roulement du calcul \cesam2k demande la valeur de la constante de
contraction $c$ �
utiliser. A chaque �tape de la d�termination du mod�le initial de
\PMS, il est possible de v�rifier les valeurs de la
temp�rature centrale, de la luminosit� et du rayon total de fa�on �
pouvoir modifier $c$ jusqu'� obtenir le  mod�le d�sir�. L'initialisation
pour le calcul du premier mod�le peut �tre faite, soit � partir d'un
mod�le de \PMS\ calcul� avec des param�tres voisins, fichier en binaire
d'extension {\tt \_B.pms}, ou encore avec l'un des fichiers ASCII de mod�le de
\PMS\ {\tt 2d-2.pms, 5d-4.pms, 8d-5.pms} du sous-directory {\tt EXPLOIT}.
Une fois le mod�le initial de \PMS\ obtenu celui-ci est �crit,
en vue d'une autre initialisation, dans le
fichier binaire {\tt mon\_modele\_B.pms}. L'�nergie graviphique initiale de
\PMS\ est calcul�e par la routine {\tt iben}, \cfparagr{sec:iben}.

\section{Evolution de la composition chimique sans diffusion}
L'�volution temporelle\index{evolution temporelle} de
la composition chi\-mi\-que pose des difficult�s particuli�res
car, m�me sur la s�quence principale o� les termes non lin�aires
des �quations n'ont pas encore de r�le d�terminant, les �quations
d'�volution sont d�licates � int�grer.
Pour ne pas d�grader l'ordre de pr�cision de la r�solution des �quations
de l'�quilibre quasi-statique, il faudrait que le sch�ma utilis� pour le
probl�me de valeurs initiales soit d'ordre aussi �lev� que possible.
M�me sans diffusion,
l'analyse montre qu'il est difficile d'utiliser une formule d'int�gration
d'ordre sup�rieur � 2 qui satisfasse aux contraintes suivantes impos�es par la
physique de l'�volution stellaire~:
\begin{itemize}
 \item Coexistence d'�chelles de temps d'�volution tr�s diff�rentes.
 Par exemple le deut�rium a un temps d'�volution caract�ristique de
 l'ordre de l'ann�e, celui de l'hydrog�ne est de l'ordre d'une centaine de
  million d'ann�es. Un tel probl�me diff�rentiel est qualifi� de "raide".
 \item Pr�sence de zones convectives qui m�langent les esp�ces
  chimiques. Comme il est souhaitable d'utiliser en tout point du mod�le
  la m�me formule d'int�gration, on ne peut qu'utiliser des sch�mas � un ou
  deux pas. Au del�, la logique de l'algorithme g�rant le m�lange convectif
  et le mouvement des limites devient tr�s compliqu�.
 \item Conservation de la charge, du nombre de nucl�ons, la formule
  d'int�gration doit donc conserver toute combinaison lin�aire des
  abondances, on dira par la suite qu'elle doit �tre "conservative".
 \item Les abondances\index{abondances} sont des quantit�s positives.
\end{itemize}
Le probl�me de l'�volution temporelle de la composition
chimique �tant un probl�me diff�rentiel raide, afin de justifier
les choix faits dans \cesam2k,
on donne quelques indications concernant la r�solution num�rique de ce type
de probl�me; pour plus d'informations consulter \citet{hw91}.

\subsection{Probl�me raide}\index{probl�me raide}\label{sec:raide}
Pour int�grer num�riquement un probl�me diff�rentiel de Cauchy~:
\begin{displaymath}
 y^\prime(x)=f(x,y),\ {\rm sur}\ [x_0,x_N],\ y(x_0)=y_0
\end{displaymath}
on se donne un pas $h>0$ et, de proche en proche, � partir de la valeur
initiale $y_0$, on obtient
la solution num�rique en utilisant une relation de la forme~:
$y_n=y_{n-1}+h\phi$, dans laquelle la fonction d'incr�mentation $\phi$ d�pend
de fa�on plus ou moins compliqu�e de la solution obtenue aux points
$x_i=x_0+ih$, $0\leq i\leq n$, $n\geq 1$.
Ce faisant, deux notions se d�gagent~: la {\sl convergence} et la
{\sl stabilit�}.
On dit que la formule est convergente\index{convergence} si, en $x\in[x_0,x_N]$
fix� ($x=x_0+nh$, $h=(x-x_0)/n$, $n\leq N$),
la limite pour $h\to 0$ de la solution
num�rique co�ncide avec la solution exacte du probl�me diff�rentiel, soit~:
\begin{displaymath}
 \lim_{n\to\infty}(x_0+nh)=x_N\Rightarrow  \lim_{n\to\infty}y_n=y(x_N)
\end{displaymath}
On montre que la plupart des formules classiques sont convergentes.
La stabilit�\index{stabilit�} est reli�e au comportement � l'infini de
la solution
num�rique. Une formule d'int�gration est stable si, le pas $h$ �tant fix�~:
\begin{displaymath}
 \lim_{n\to\infty}(x_0+nh)=\infty\Rightarrow \lim_{n\to\infty}y_n=y(\infty)
\end{displaymath}
La non stabilit� est due � l'accumulation des erreurs de
troncature. Si celles-ci augmentent moins vite que la solution, la formule
est stable, instable sinon.\\
La stabilit� d�pend, non seulement de la formule d'int�gration, mais aussi
du probl�me dif\-f�\-ren\-tiel pos�. L'�tude ne peut en �tre faite
que pour des
�quations simples. Ainsi est-on oblig� d'en restreindre la d�finition~:
pour qu'il y ait stabilit�, il ne faut pas que les erreurs de troncature
croissent exponentiellement � l'infini; pour cette raison
on ram�ne l'�tude de la stabilit� � celle de la solution
num�rique du probl�me type~: $y^\prime(x)=\lambda y(x)$,
$\lambda\in C$. $h$ �tant fix�, la formule est stable si la solution
num�rique tend vers la solution nulle lorsque $n$ tend vers l'infini.
On dit alors que la formule est A-stable. De plus, on la qualifiera de
A--positive si, dans le domaine o� elle est A-stable et $\lambda\in C$,
avec $y_0>0$, lorsque $n$ tend vers l'infini,\index{A-stable}
la solution num�rique tend vers la solution nulle en restant positive.\\
De fa�on assez g�n�rale, les formules implicites sont A--stables dans de
grandes r�gions du plan complexe mais peu d'entre elles sont A--positives.\\
Avec un probl�me diff�rentiel raide dans lequel les �chelles
de temps d'�volution des diverses variables sont tr�s diff�rentes
la difficult� est double~:
\begin{itemize}
 \item Obtenir une solution stable pour toutes les variables
  avec un pas temporel acceptable, c'est � dire sans suivre pour autant la plus
 petite �chelle de temps.
 \item Int�grer les variables significatives avec une pr�cision
  suffisante.
\end{itemize}
Pour l'�volution  stellaire, � moins qu'on ne d�sire suivre en d�tail
l'�volution de l'esp�ce chimique dont
l'�chelle de temps caract�ristique est la plus petite, il faudra utiliser
une formule pour probl�me raide.
Ce  faisant,
il faut toutefois avoir conscience que toutes les variables ne seront pas
int�gr�es avec la m�me pr�cision, le r�le du sch�ma pour
probl�me raide est seulement de pr�venir contre la croissance exponentielle
des erreurs de troncature affectant les variables ayant les plus petites
�chelles de temps.  Par ailleurs, l'analyse du comportement � l'infini du
sch�ma ne peut �tre faite que sur
le probl�me type � une dimension. Pour un syst�me aussi complexe que celui
de l'�volution temporelle de la composition chimique, la th�orie n'est
pas faite. En transposant � plusieurs dimensions un r�sultat �tabli pour
une seule dimension il faut s'attendre � ce que, dans certains cas il puisse y
avoir des difficult�s. Dans ces cas le seul rem�de simple est de diminuer le
pas temporel\index{pas temporel}.

\subsection{R�sum� des contraintes}
Pour l'int�gration\index{contraintes}
num�rique du syst�me d'�quations diff�rentielles de l'�volution
temporelle de la composition chimique, il est n�cessaire d'utiliser une
formule~:
\begin{itemize}
 \item Conservative, \ie\ conservant toute combinaison lin�aire des
  abondances $\sum_i\alpha_iX_i^t=cte$.
 \item Stable ou, tout au moins A--stable, \ie\ que les erreurs de troncature
  re\-la\-ti\-ves aux variables dont l'�chelle de temps d'�volution est la plus
  courte n'augmentent pas exponentiellement lorsque le pas temporel est grand
  par rapport � cette �chelle de temps.
 \item Positive.
 \item Simple et pr�cise.
\end{itemize}
La premi�re condition est remplie pour la plupart des sch�mas classiques~:
Runge--Kutta ou sch�mas � pas li�s, pour lesquels la fonction
d'incr�mentation d�pend lin�airement des d�riv�es temporelles
estim�es en divers points.
La condition de A-stabilit� est remplie si on utilise un sch�ma implicite.
Il est souhaitable, par ailleurs, d'utiliser le m�me sch�ma d'int�gration
en tous les points du mod�le.\\
Le fait que les limites des zones convectives se d�placent en fonction du
temps et la n�cessit� du
m�lange convectif �limine malheureusement une partie de l'int�r�t des
sch�mas � pas li�s qui poss�dent des propri�t�s int�ressantes
de stabilit� pour les probl�mes raides \eg\ sch�mas BDF.
De m�me, il ne sera possible
d'utiliser des sch�mas de Runge--Kutta d'ordre sup�rieur � 1, que si
on ne tient pas compte du m�lange convectif pour les mod�les
interm�diaires comme avec la formule de \citet{w69}.\\
Lorsque la diffusion microscopique est omise, \cesam2k utilise
\index{diffusion microscopique}
un sch�ma d'int�gration pour probl�me raide de type Runge-Kutta implicite
de type LobattoIIIC.

\subsection{Les formules IRK Lobatto IIIC.}
\index{IRK Lobatto IIIC}\label{sec:sirk}
Dans une \ZR, sans diffusion, le syst�me des �quations
de l'�volution de la composition chimique s'�crit formellement~:
\begin{equation}\label{eq:evrad}
\dsdx {x_i}t=\Psi(T,\rho,{\cal X}),1\leq i\leq n_{elem}.
\end{equation}

\medskip
Dans ce qui suit, on d�crit l'utilisation de la formule IRK LobattoIIIC,
pour all�ger le formalisme, on ne consid�re qu'une seule esp�ce chimique.
On notera $x_0$ \respt{$x$} l'abondance de cet �l�ment au temps
$t$ \respt{$t+dt$}. Avec les coefficients de la table \tab{tab:lob}
le sch�ma IRK LobattoIIIC est~:
 \begin{eqnarray}\label{eq:irk1}
  x_i&=&x_0+dt\sum_{j=1}^sa_{ij}\Psi(T_j,\rho_j,x_j),
  \ i=1,\ldots, s \nonumber \\
  x&=&x_0+dt\sum_{j=1}^sb_j\Psi(T_j,\rho_j,x_j)
 \end{eqnarray}
o� $T_j$, $\rho_j$ et $x_j$ sont, respectivement,
la temp�rature, la densit�, l'abondance aux temps interm�diaires,
$t+c_jdt$, $j=1,\ldots, s$; $s$ est le nombre d'�tapes de
la formule IRK LobattoIIIC.

Toutefois, cette formulation �l�mentaire d'un sch�ma de
Runge-Kutta ne donne pas des r�sultats satisfaisants
pour le probl�me de l'�volution des esp�ces chimiques,
des valeurs notablement n�gatives des abondances pouvant survenir;
la cause est la multiplication des erreurs num�riques par
les constantes de Lipschitz qui ont des valeurs �lev�es \eg\ $10^{18}$.
Cette difficult� est surmont�e en �crivant la premi�re �quation
\eq{eq:irk1} pour les �carts $z_i=x_i-x_0$ aux quantit�s initiales
\cf\citet[][par. IV.8]{hw91}~:

\begin{equation}\label{eq:irk21}
 \left(
 \begin{array}{c}
  z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_s
 \end{array}
 \right)\ =\ dt\ {\cal A}\ \left(
 \begin{array}{c}
  \Psi(T_1,\rho_1,x_0+z_1) \\
  \Psi(T_2,\rho_2,x_0+z_2) \\
  \vdots \\
  \Psi(T_s,\rho_s,x_0+z_s)
 \end{array}
 \right).
\end{equation}
La matrice ${\cal A}\equiv(a_{i,j})_{i,j=1}^s$ d'une quelconque formule
IRK Lobatto IIIC �tant inversible, en notant
$(d_1,d_2,\ldots,d_s)\equiv (b_1,b_2,\ldots,b_s)
{\cal A}^{-1}$, la seconde �quation~\eq{eq:irk1}
devient simplement\footnote{Cette particularit� r�sulte du fait que
la derni�re ligne de $A$
est identique au vecteur $b$ \eg\ toutes les formules IRK Lobatto IIIC
sont construites avec cette propri�t�.}~:
\begin{equation}\label{eq:irk22}
 x=x_0+z_s.
\end{equation}

\begin{table}
 \caption{
 Coefficients de~\eq{eq:irk1} pour les formules IRK Lobatto IIIC
 d'ordre $p=1,2,4$  avec $s=1,2,3$ �tapes.
 On utilise la notation usuelle, les $c_i,\ i=1,\ldots ,s$ sont
 �l�ments de la premi�re colonne, les $b_i$ ceux de la derni�re
 ligne, les autres coefficients sont les $a_{ij}$ de la matrice
 caract�risant la formule de Runge-Kutta.
}
 \label{tab:lob}
 \hbox{
 \begin{tabular}{c|c}
  1 & 1 \\ \\
  \hline \\
  & 1 \\
 \end{tabular}
 \qquad\qquad

 \begin{tabular}{c|cc}
  0 & $\frac12$ & $-\frac12$ \\ \\
  1 & $\frac12$ & $\frac12$ \\ \\
  \hline \\
  & $\frac12$ & $\frac12$
 \end{tabular}

 \qquad\qquad
 \begin{tabular}{c|ccc}
  0 & $\frac16$ & $-\frac13$ & $\frac16$\\ \\
  $\frac12$ & $\frac16$ & $\frac5{12}$ & $-\frac1{12}$\\ \\
  1 & $\frac16$ & $\frac23$ & $\frac16$\\ \\
  \hline \\
   & $\frac16$ & $\frac23$ & $\frac16$
  \end{tabular}
}
\end{table}

\subsection{M�lange des �l�ments chimiques sans diffusion}
Dans une \ZC, lorsque l'�chelle de temps de la convection
est petite par rapport � celle des r�actions nucl�aires,
la composition chimique est homog�n�is�e par les
mouvements de convection. Pour l'isotope $i$, le taux de destruction $\Psi_i$
n'est plus la quantit� locale $\Psi_i(T,\rho,{\cal X})$ mais une quantit�
moyenn�e sur toute la \ZC. Ainsi dans une \ZC~\eq{eq:evrad} doit
�tre remplac�e par~:
\begin{equation}\label{eq:evconv}
\ddx{\bar{x_i}}t=\frac{\int_{ZC}\Psi_i(\rho, T,\bar{\cal X},t)dm}
{\int_{ZC}dm}=
\frac{\int_{ZC}\Psi_i(\rho, T,\bar{\cal X},t)\sqrt\nu d\nu}
{\int_{ZC}\sqrt\nu d\nu},\ \nu=\left(\frac m{M_\odot}\right)^{\frac 23}
\end{equation}
on remarquera que le taux de destruction local $\Psi_i$ est
calcul� avec  $\bar{\cal X}$ \ie\ la valeur moyenne des abondances
sur la zone m�lang�e, ce qui �videmment complique la situation.

Comme il est rappel� plus haut, on fait l'hypoth�se selon laquelle,
dans une \ZC, l'abondance
de chaque isotope est constante. Pour reprendre l'exemple d'un seul
�l�ment, notons $\bar x$ sa valeur dans une \ZC, et � chaque
�tape temporelle $t+c_jdt,\ j=1,\ldots, s$ de l'int�gration Runge-Kutta,
notons sa valeur moyenne $\bar{x_j}$. On estime par la formule
du point milieu les int�grales de~\eq{eq:evconv} si bien que~:
\begin{equation}\label{eq:dx2}
 \bar{x_j}=\sum_{k\in{\rm MZ}}x_{j,k+1/2}\Delta\nu_{k+1/2},
\end{equation}
o� la somme porte sur toutes les couches que comporte la \ZC,
$x_{0,k+1/2}$ est l'abondance au point milieu,
$\nu_{k+1/2}\equiv(\nu_{k+1}+\nu_k)/2$ et~:
\begin{equation}\label{eq:dnu}
\Delta\nu_{k+1/2}\equiv\frac{ (\nu_{k+1}-\nu_k) \sqrt{\nu_{k+1/2}} }
{ \sum_{ j\in{\rm MZ} } (\nu_{j+1}-\nu_j) \sqrt{ \nu_{j+1/2} }  }.
\end{equation}
L'�quation~\ref{eq:irk21} devient~:
\begin{equation}\label{eq:irkm1}\displaystyle
 \left(
 \begin{array}{c}
  \bar z_1 \\ \bar z_2 \\ \vdots \\ \bar z_s
 \end{array}
 \right)=dt\ {\cal A}
\left(
 \begin{array}{c}
  \sum_k\Psi(T_{1,k+\frac 12},\rho_{1,k+\frac 12},\bar{x_0}+\bar z_1)
\Delta\nu_{k+\frac 12} \\
   \sum_k\Psi(T_{2,k+\frac 12},\rho_{2,k+\frac 12},\bar{x_0}+\bar z_2)
\Delta\nu_{k+\frac 12} \\
  \vdots \\
   \sum_k\Psi(T_{s,k+\frac 12},\rho_{s,k+\frac 12},\bar{x_0}+\bar z_s)
\Delta\nu_{k+\frac 12}
 \end{array}
 \right)
\end{equation}
o� $T_{j,k+\frac 12}$ \respt{$\rho_{j,k+\frac 12}$} est la temp�rature
\respt{la densit�} au temps interm�diaire $t+c_jdt$;
$\bar x$ s'�crit~:
\begin{equation}\label{eq:irkm2}
\bar x=\bar{x_0}+\bar{z_s}.
\end{equation}
Formellement, cette formulation est aussi valable en un point d'une zone
radiative, les sommes ne portant que sur une seule valeur de l'indice $k$.
Pour simplifier,
la valeur de $\bar{x_0}$ est obtenue en faisant porter
la sommation~\eq{eq:dx2} sur l'intervalle de masse correspondant �
la \ZC\ au temps $t+dt$ qui peut ne pas {\em exactement}
co�ncider avec l'intervalle de masse au temps $t$.
L'impr�cision engendr�e est faible si la \ZC\ se
d�place peu, par contre, dans le cas d'une apparition ou d'une disparition
l'erreur engendr�e peut �tre cons�quente. Tenir compte de ces subtilit�s
entrainerait de grandes complications dans les algorithmes, car il faudrait
introduire explicitement le d�placement de la \ZC\ dans la relation
\eq{eq:irkm1}.

L'extension � plusieurs isotopes
ne pr�sente que des difficult�s algorithmiques assez techniques.
Avec l'approximation des int�grales~\eq{eq:dx2} sur la \ZC\ � l'aide
de la formule du point milieu, la pr�cision num�rique
n'est que du second ordre; une formule int�grale de Gauss � deux
points permettrait d'atteindre le troisi�me ordre\footnote{Ce qui
n'entrainerait qu'une complication suppl�mentaire d'algorithme.}.
Dans le cas solaire,
l'erreur reste limit�e, car les r�actions thermonucl�aires
sont peu efficaces dans la zone convective; pour le cas stellaire,
les impr�cisions de la th�orie et des donn�es physiques
surpassent largement celles engendr�es par un ordre d'int�gration
peu �lev�.

Dans la routine {\tt rk\_imps} \cfparagr{sec:rkimps},
les �quations~\eq{eq:irk21}
�~\eq{eq:irkm2} sont r�solues it�rativement � l'aide du sch�ma de
Newton-Raphson\footnote{A cause de la raideur, les constantes de
Lipschitz sont grandes et un sch�ma du type predicteur-correcteur
est inefficace.} avec un jacobien recalcul� pour chaque it�ration;
la m�thode implicite est initialis�e avec des valeurs initiales nulles
pour les $z_i$; la convergence est suppos�e atteinte d�s
que les corrections sur les $z_j$ sont, en valeurs relatives inf�rieures
� $10^{-8}$; la plupart du temps, l'algorithme converge en moins de
5 it�rations.

La routine {\tt rk\_imps} est appel�e par {\tt evol}, \cfparagr{sec:evol},
qui g�re l'�volution temporelle de la composition chimique.

\subsection{Conservation du nombre de nucl�ons}\index{conservation}
Pour chaque isotope d'indice $i$, les �quations d'�volution de la composition
chimique sont de la forme g�n�rale~:
\begin{displaymath}
 \ddx {X_i}t=\dot X_i=\sum_{j=1}^ma_j^iX_j+
 \sum_{{j=1}\atop{k\geq j}}^ma_{jk}^iX_jX_k+
 \sum_{{j=1}\atop{l\geq k\geq j}}^ma_{jkl}^iX_jX_kX_l
\end{displaymath}
Les abondances\index{abondances} $X_i$ des $m$ diff�rentes
esp�ces chimiques satisfont des
relations lin�aires de conservation (nombre de nucl�ons, charges) de la
forme~:
\begin{displaymath}
 \sum_{i=1}^m\gamma_iX_i=cte\Rightarrow\dsdx{ }t\sum_{i=1}^m\gamma_iX_i=0=
 \sum_{i=1}^m\gamma_i\dot X_i.
\end{displaymath}
{\it (Cette derni�re relation constitue d'ailleurs un test analytique qui
permet de v�rifier
qu'il n'y a pas d'erreur dans le formalisme des �quations d'�volution.)}

Un algorithme lin�aire d'int�gration permet de conserver parfaitement de
telles relations. Il est de la forme g�n�rale \cf \citet{h62}~:
\begin{displaymath}
 y_n=\sum_{i=1}^k\alpha_iy_{n-i}+h\sum_{i=0}^k\beta_iy^\prime_{n-i},\quad
 \sum_{i=1}^k\alpha_i=1,\  n\geq k
\end{displaymath}
o� $\alpha_i$ et $\beta_i$, $i=1,\ldots ,n$ sont des constantes, $h$ le pas
d'int�gration, $y_n$ le vecteur des abondances des esp�ces chimiques �
l'intant $t_0+hn$, $t_0$ l'instant initial et $k+1$ le nombre de points sur
lesquels s'appuie l'algorithme $1\leq k\sim 7$.

Avec un algorithme lin�aire, il y a conservation parfaite d'une combinaison
lin�aire des $X_j$ puisque~:
\begin{displaymath}
 \begin{array}{l}
 \sum_{j=1}^m\gamma_jX_{j,n} =\sum_{j=1}^m\gamma_j\sum_{i=1}^k\alpha_iX_{j,n-i}+
 \sum_{j=1}^m\gamma_jh\sum_{i=0}^k\beta_i\dot X_{j,n-i}=\\
 =\sum_{i=1}^k\alpha_i\sum_{j=1}^m\gamma_jX_{j,n-i}+
 \sum_{i=0}^k\beta_ih\sum_{j=1}^m\gamma_j\dot X_{j,n-i}=\\
 =cte+0.\\
 \end{array}
\end{displaymath}

\subsection{Conservation des baryons et de la charge}\label{sec:cirk}
 A l'instant $t$, pour un nombre d'isotopes $n_{\rm elem}>1$,
 les expressions de la conservation
du nombre de baryons et de la charge, ont la forme g�n�rale
d'une relation lin�aire entre les abondances,
avec des coefficients $\alpha_i$ {\embf constants}~:
\[\sum_{i=1}^{n_{\rm elem}}\alpha_i x_i^t=cte,\]
alors~:
\[\dsdx{\ }t\sum_{i=1}^{n_{\rm elem}}\alpha_i x_i=0\Longrightarrow
 \sum_{i=1}^{n_{\rm elem}}\alpha_i\Psi_i=0.\]
en tenant compte de la lin�arit� de~\eq{eq:irk21} et~\eq{eq:irkm1},
avec des notations �videntes~:
\[\sum_{i=1}^{n_{\rm elem}}\alpha_i z_i=0,\]
alors~:
\[\sum_{i=1}^{n_{\rm elem}}\alpha_i x_i^{t+dt}=
 \sum_{i=1}^{n_{\rm elem}}\alpha_i x_i^t+
 \sum_{i=1}^{n_{\rm elem}}\alpha_i z_i=cte;\]
en particulier, avec le sch�mas IRK LobattoIIIC, le nombre de baryons
et de charges est conserv� au niveau~:
\begin{itemize}
 \item de la fermeture du sch�ma de Newton-Raphson,
 \item de l'ordre du sch�ma d'int�gration utilis� pour le m�lange convectif,
 \item des erreurs d'arrondi.
\end{itemize}
Des tests num�riques
ont montr�, dans le cas solaire, que sur un pas temporel,
le nombre de baryons �tait conserv�
� mieux que $10^{-13}$ en valeur relative \cf \citet{m97}
.
\subsection{Normalisation de la somme des abondances}
\label{sec:norme}\index{normalisation}
Bien que les algorithmes utilis�s pour la r�solution num�rique des �quations
d'�volution temporelle des esp�ces chimiques assurent la
plupart des relations de conservation, ils ne peuvent le faire qu'�
la pr�cision requise.
Pour limiter les cons�quences de ces approximations, une normalisation de la
somme des abondances par unit� de masse est
effectu�e de fa�on � assurer la relation $X+Y+Z=1$.
La normalisation est effectu�e dans la routine {\tt evol}, \cf
\paragr{sec:evol} � l'issue de l'int�gration temporelle de la
composition chimique.

L'abondance par masse de l'�l�ment chimique s'�crit $X_i=x_i �_i$ o� $x_i$ est
l'abondance par mole et $�_i$ est la masse atomique de l'�l�ment. On a donc~:
$X+Y+Z=\sum_i x_i�_i$. Avec le d�veloppement sur la base de B-splines d'ordre
$m$, au point d'abscisse
$\nu$, $\nu_{l-1}\leq \nu < \nu_l$, l'abondance par mole s'�crit~:
\[x_i=\sum_{j=l-m+1}^l x_{ij}N_j^m(\nu).\]
et de l�~:
\begin{equation}
\sum_iX_i=\sum_i �_i\sum_{j=l-m+1}^l x_{ij}N_j^m(\nu)=
\sum_{j=l-m+1}^lN_j^m(\nu)\sum_i �_i x_{ij}.
\end{equation}
On obtient une normalisation des abondances par unit� de masse $X_i$ en posant~:
\[X_i=x^\prime_i �_i,\quad x^\prime_i=\sum_{j=l-m+1}^l x^\prime_{ij}N_j^m(\nu),
\quad x^\prime_{ij}=\frac{x_{ij}}{\eta_j},\quad \eta_j=\sum_i �_i x_{ij}.\]
La somme des B-splines en tout point $\nu$ �tant �gale � l'unit�, on obtient la
normalisation d�sir�e~:
\[X+Y+Z=\sum_{j=l-m+1}^lN_j^m(\nu)\sum_i �_i x^\prime_{ij}=
\sum_{j=l-m+1}^lN_j^m(\nu)\sum_i �_i \frac{x_{ij}}{\eta_j}=\]
\[\sum_{j=l-m+1}^lN_j^m(\nu)\frac1{\eta_j}\sum_i �_i x_{ij}=
\sum_{j=l-m+1}^lN_j^m(\nu)=1.\]

\subsection{Estimation de la pr�cision de l'int�gration}
Malgr� un grand nombre d'essais, il n'a pas �t� possible d'utiliser
valablement une\index{pr�cision de l'int�gration}
m�thode num�rique d'estimation de la pr�cision de
l'int�gration, la raison �tant
principalement un co�t excessif en calcul de ces m�thodes;
dans \cesam2k la pr�cision est
assur�e par la limitation de la variation temporelle relative des
abondances des �l�ments que l'utilisateur d�sire contr�ler.
%\end{document}

\section{Evolution du moment cin�tique sans diffusion}
\index{moment cin�tique}\index{energie cin�tique}\label{sec:mntcin}
\index{conservation du moment cin�tique}
\cesam2k ne consid�re qu'une dimension radiale; pour les
mod�les en rotation, on tient compte
de la valeur moyenne de l'acc�l�ration centrifuge sur la calotte sph�rique
de rayon $r$.

Compte tenu de l'hypoth�se de sph�ricit�,
le moment d'inertie $d{\cal I}$ du volume sph�rique �l�mentaire
$dV=r\sin\theta dr d\theta d\phi$ au point de coordonn�es sph�riques
$(r,\theta,\phi)$ est~:
\[d{\cal I}=r \sin\theta\rho r dr d\theta d\phi.\]
Le moment d'inertie par unit� de masse de la calotte sph�rique
s'�crit~:
\[\ddx Im=\frac{\int_0^{2\pi}d{\cal I}d\phi}{dm}=
\frac{2\pi r^4\rho dr}{4\pi r^2\rho dr}\int_0^\pi\sin^2\theta d\theta=
\frac23r^2.\]
Le moment cin�tique sp�cifique \ie\ le moment cin�tique par unit� de masse
est alors~:
\[{\cal M}_\Omega(t)=\frac23r^2\Omega(t).\]
$\Omega(t)$ est la vitesse angulaire moyenne de la calotte
sph�rique au temps $t$.

L'hypoth�se de {\embf conservation locale du moment cin�tique sp�cifique}
 s'�crit~:
\[\dsdt{{\cal M}_\Omega}=\dsdt{r^2\Omega}t=0.\]

Avec l'hypoth�se de rotation rigide, le moment cin�tique total change
au cours de l'�volution, en raison des variations locales de densit� et de
rayon. On peut imaginer qu'un processus physique, non d�crit,
permet de conserver globalement le moment cin�tique, auquel cas la vitesse
angulaire {\em rigide} varie au fur et � mesure de
l'�volution\footnote{La
possibilit� de la conservation globale du moment cin�tique a �t�
implant�e dans \cesam2k � l'initiative de MJ.Goupil.}. Compte tenu de
l'hypoth�se de sph�ricit�, le moment cin�tique total au temps $t$ est~:
\[{\cal M}_\Omega(t)=\frac23\int_0^{M_\star(t)}r(t,m)^2\Omega(t,m)\,{\rm d}m,\]
o� $\Omega(t,m)$ est la vitesse angulaire locale au temps $t$ pour
l'abscisse lagrangienne $m$.
Avec l'hypoth�se de {\embf rotation rigide} i.e. $\Omega(t,m)\equiv\Omega(t)$
et conservation globale
du moment cin�tique i.e. ${\cal M}_\Omega(t)\equiv{\cal M}_\Omega=cte.$,
la vitesse angulaire $\Omega(t+dt)$ � l'instant $t+dt$ v�rifie~:
\[{\cal M}_\Omega(t+dt)=\frac23{\Omega(t+dt)\int_0^{M_\star(t+dt)}
r(t+dt,m)^2\,{\rm d}m},\]
on a donc~:
\[{\cal M}_\Omega(t+dt)=\int_0^{M_\star(t)}r(t,m)^2\Omega(t,m)\,{\rm d}m
\quad \Big/\quad\int_0^{M_\star(t+dt)}r(t+dt,m)^2\,{\rm d}m.\]

Avec l'hypoth�se de {\embf conservation locale du moment cin�tique},
on suppose que les \ZCs, avec leurs extensions par overshoot, sont en
rotation solide.
Dans ces zones la vitesse angulaire est donn�e par des relations analogues � la
pr�c�dente dans lesquelles les bornes d'int�gration correspondent aux limites
des \ZCs.
Dans les parties radiatives la relation de conservation locale~:
\[0=\dsdt{r^2\Omega}=2r\Omega\dsdt r+r^2\dsdt\Omega,\]
est dicr�tis�e~:
\[0=2r\Omega\frac{r-r^{(t)}}{\Delta t}+r^2\frac{\Omega-\Omega^{(t)}}{\Delta t}
\Longrightarrow \Omega=\frac{r\Omega^{(t)}}{3r-2r^{(t)}}.\]
En l'abscence d'un noyau convectif, cette relation est ind�termin�e au centre.
On suppose que la vitesse angulaire en $R=0$ est �gale � celle d�termin�e au
point de grille le plus proche.

\medskip
L'�nergie cin�tique sp�cifique de rotation est~:
\[\epsilon_\Omega=\frac12\ddx Im\Omega^2=\frac13r^2\Omega^2.\]
Au cours de l'�volution, la vitesse angulaire locale varie en raison de
la perte de moment cin�tique, ou de
la conservation locale ou globale du moment cin�tique; ces
variations conduisent � celles de la vitesse a�rolaire
qui ont pour cons�quences des
variations de l'�nergie cin�tique sp�cifique locale $\epsilon_\Omega$~:
\[\dsdx{\epsilon_\Omega}t=\frac13\dsdx{(r\Omega)^2}t \simeq
\frac13\frac{r^2(t+\Delta t)\Omega^2(t+\Delta t)-r(t)^2\Omega(t)^2}
{\Delta t}\]
On suppose que ces variations d'�nergie sont, selon leur signe, prises
ou restitu�es au milieu sous la forme de sources de chaleur.
L'�quation d'�nergie, \eq{eq:41}, estim�e dans  la routine {\tt static\_m} ou
{\tt static\_r} \cfparagr{sec:staticm}, devient alors~:
\[\dsdx L M = \epsilon - \dsdx U t +
\frac P{\rho^2}\dsdx\rho t - \dsdx{\epsilon_\Omega}t.\]

\medskip
Avec une rotation solide de vitesse angulaire non nulle, le moment cin�tique
est r�estim� pour chaque mod�le interm�diaire dans la routine {\tt resout},
\cfparagr{sec:resout}.

\section{Evolution temporelle avec diffusion}
\subsection{Int�gration par �l�ments finis}\label{sec:elemfini}
\index{elements finis}
En raison du m�lange convectif, les �quations de la diffusion des �l�ments
chimiques et du moment cin�tique
forment un probl�me int�gro-diff�rentiel aux limites du quatri�me ordre
avec conditions initiales.
Bien que ces �quations soient coupl�es, \cesam2k les r�sout s�par�ment en
alternance (m�thode des lignes)~:
\begin{enumerate}
\item La diffusion du moment cin�tique, probl�me du quatri�me ordre.
\item La diffusion des �l�ments chimiques, probl�me diff�rentiel parabolique.
\end{enumerate}
\cesam2k utilise la m�thode des �l�ments finis pour leur int�gration num�rique.
Formellement ces �quations sont de la forme~:
\begin{equation}\label{eq:pbdiff}
a\dsdt{y}+bG=\dsdx Fx
\end{equation}
$F(x,y)$, $a(x,y)$ et $b(x,y)$ �tant des fonctions de l'abscisse $x$ et de
la fonction inconnue $y(x)$.

Comme il a �t� �voqu� pr�c�demment, les fonctions inconnues sont
projet�es sur une base fonctionnelle de dimension finie.
Les projections sont obtenues en �crivant que les d�veloppements satisfont
les �quations diff�rentielles et les conditions limites. Pour ces fonctions de
base, \cesam2k utilise des
polyn�mes par morceaux d'ordre $m$ (polyn�mes de degr� $m-1$), se
raccordant avec une oscularit� de classe ${\cal C}_i$, $0\leq i\leq m-1$,
(continuit� des d�riv�es d'ordre $0$ � $m-1$). Ces polyn�mes par morceaux
sont exprim�s sous la forme de B-splines polyn�miales normalis�es d'ordre
$m$ et de dimension $d$~: $\{S_j^m\}_{j=1}^d$. Ainsi chacune des fonctions
est approch�e par une fonction d'interpolation de la forme~:
\[f(x)\simeq\sum_{j=1}^d f_jS_j^m(x)\ {\rm donc\ :}
\ \ddx fx\simeq\sum_{j=1}^d f_j\ddx{S_j^m}x.\]
la connaissance des $f_j$ d�termine la fonction d'interpolation de $f$
avec une pr�cision que l'on sait estimer \cf \citet{sk81}.
Des algorithmes stables et pr�cis per\-met\-tent de calculer les  $S_j^m(x)$
ainsi que toutes leurs d�riv�es, objet de la routine
{\tt bvald}, \cfparagr{sec:bvald}, de \cesam2k.

\noi Le principe de la r�solution des �quations de diffusion consiste �
imposer � la base d'�tre orthogonale � son
image par l'op�rateur diff�rentiel, \ie\ orthogonale au r�sidu. C'est la
"m�thode de Galerkin". Son application aux cas de la diffusion
des esp�ces chimiques et du moment cin�tique est
"semi-spectrale", les fonctions de base ne v�rifiant pas les conditions limites.
Les solutions num�riques obtenues sont dites {\em faibles}.
En formant les produits scalaires~:
\begin{equation}\label{eq:psca}
<f\bullet g>=\int_{x_0}^{x_1}fg\,dx
\end{equation}
on obtient~:
\begin{eqnarray*}
&& <(a\dsdt{y}+bG)\bullet S_j^m>=<\dsdx Fx\bullet S_j^m>
\end{eqnarray*}
En int�grant par parties le second produit scalaire on obtient~:
\begin{eqnarray*}
<\dsdx Fx\bullet S_j^m>=
[FS_j^m]^{x_1}_{x_0}-<F\bullet\dsdx{S_j^m}x>
\end{eqnarray*}
On a~:
\[[F]^{x_1}_{x_0}\equiv[FS_j^m]^{x_1}_{x_0}=
\left\{ \begin{array}{ll}
-F(x_0) & \mbox{si $j=1$} \\
F(x_1) & \mbox{si $j=d$} \\
0& \mbox{sinon}
\end{array}\right.\]
puisqu'aux extr�mit�s de l'intervalle d'int�gration, une seule des B-splines
est non nulle et �gale � l'unit�.
{\em In fine} on obtient la discr�tisation suivante~:
\begin{equation}\label{eq:pbcon}
<\left(a\frac{y^{t+1}-y^t}{\Delta t}+bG\right)\bullet S_j^m>
+<F\bullet\dsdx{S_j^m}x>-[F]^{x_1}_{x_0}=0
\end{equation}
On est ramen� - �ventuellement apr�s lin�arisation - � la r�solution d'un
syst�me lin�aire; les B-splines
�tant � support born�, le syst�me lin�aire est bande-diagonal. Il est r�solu par
�limination de Gauss (pivots partiels) par la routine {\tt gauss\_dp}, \cf
\paragr{sec:sspn}. Les produits scalaires sont approch�s par une
int�gration num�rique de type Gauss, suivant un algorithme inspir�
de l'algorithme 5.22, \citet[][p. 203]{sk81}.

La nature "int�grale" des �quations r�sulte du m�lange convectif. Il est
effectu� dans \cesam2k par le biais d'une diffusion turbulente de coefficient
$D_{\rm M}>>1$.

\medskip
\noi Ces dispositions ont les avantages suivants~:
\begin{itemize}
\item L'ordre des �quations diff�rentielles � r�soudre est r�duit d'une unit�.
\item Les discontinuit�s des d�riv�es premi�res sont implicitement
prises en compte par la formulation int�grale,~\eq{eq:sca1},
des produits scalaires.
\item Avec l'utilisation de la base des B-splines les algorithmes restent
simples m�me lorsqu'il se produit des d�placements des limites \ZRZC.
\end{itemize}

\subsection{Bases de B-splines pour Petrov-Galerkin}
\label{sec:base}\index{Petrov-Galerkin}
Une repr�sentation sch�matique du vecteur nodal pour\footnote{Polyn�mes par
morceaux de degr� 3, se raccordant par la continuit� de leurs d�riv�es
secondes.} $m=4$, avec discontinuit� de la {\embf d�riv�e premi�re} au point
fl�ch� $\Downarrow$,
\cf \citet{sk81}, est la suivante~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{cccccccccc}
&&&&&\Downarrow \\
\times&\times&\times&\dots&\times&\times&\times&\ldots&\times&\times \\
\times&      &      &     &      &\times&      &      &      &\times \\
\times&      &      &     &      &\times&      &      &      &\times \\
\times&      &      &     &      &      &      &      &      &\times
\end{array}
\end{displaymath}
Avec continuit� de la fonction et des deux premi�res d�riv�es,
en tous les points de grille~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{cccccccccc}
\times&\times&\times&\dots&\times&\times&\times&\ldots&\times&\times \\
\times&      &      &     &      &      &      &      &      &\times \\
\times&      &      &     &      &      &      &      &      &\times \\
\times&      &      &     &      &      &      &      &      &\times
\end{array}
\end{displaymath}

\subsection{Pr�sence de discontinuit�s}\label{sec:discon}
Dans le cas o� la fonction � int�grer pr�sente des discontinuit�s, la base de
B-splines sur laquelle elle est projet�e, doit inclure ces
discontinuit�s. Avec une discontinuit� au point $x_d$ de $]x_0,x_1[$ l'int�grale
du produit scalaire, \cfequ{eq:psca}, est d�finie par~:
\begin{equation}\label{eq:pscad}
<f\bullet g>=\int_{x_0}^{x_{d^-}}fg\,dx +\int_{x_{d^-}}^{x_1}fg\,dx,
\end{equation}
Pour le probl�me diff�rentiel, \cfequ{eq:pbdiff}, avec le produit scalaire ainsi
d�fini, l'int�gration par parties est justifi�e, car elle ne porte que sur des
fonctions continues. {\em In fine} pour les B-splines dont le support est
contenu dans l'intervalle $[x_0,x_{d^-}[$ on obtient~:
\begin{equation}\label{eq:pbdiscon}
<\left(a\frac{y^{t+1}-y^t}{\Delta t}+bG\right)\bullet S_j^m>
+<F\bullet\dsdx{S_j^m}x>-[F]^{x_{d^-}}_{x_0}=0,
\end{equation}
et pour celles dont le support est contenu dans l'intervalle $[x_1,x_{d^+}[$~:
\begin{equation}\nonumber
<\left(a\frac{y^{t+1}-y^t}{\Delta t}+bG\right)\bullet S_j^m>
+<F\bullet\dsdx{S_j^m}x>-[F]^{x_1}_{x_{d^+}}=0.
\end{equation}
Les produits scalaires �tant d�finis par \lleq{eq:pscad}.\\
En un point de discontinuit� le vecteur nodal pr�sentera $m$ abscisses
identiques. Pour un ordre de B-spline $m=4$,
une repr�sentation sch�matique du vecteur nodal avec discontinuit� au point
fl�ch� est~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{cccccccccc}
&&&&&\Downarrow \\
\times&\times&\times&\dots&\times&\times&\times&\ldots&\times&\times \\
\times&      &      &     &      &\times&      &      &      &\times \\
\times&      &      &     &      &\times&      &      &      &\times \\
\times&      &      &     &      &\times&      &      &      &\times
\end{array}
\end{displaymath}
Cette disposition est �quivalente � autant de domaines d'int�gration distincts
qu'il y a de discontinuit�s. Cette repr�sentation "regroup�e" n'est utile
que si les discontinuit�s apparaissent, disparaissente ou encore se d�placent.
Certains syst�mes diff�rentiels peuvent pr�senter simultan�ment,
en divers points du domaine d'int�gration des variables
continues, des variables continues non d�rivables et des variables discontinues.
Un exemple est celui du
syst�me des �quations de diffusion du moment cin�tique, \cfparagr{sec:difcin}.
Une repr�sentation sch�matique d'un vecteur nodal avec une discontinuit� de
la d�riv�e premi�re ($\downarrow$) et une discontinuit� ($\Downarrow$) est~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccccc}
&&\downarrow&&&&\Downarrow \\
\times&\times&\times&\times&\dots&\otimes&\times &\times&\ldots&\times&\times \\
\times&      &\times&      &     &       &\times &      &      &      &\times \\
\times&      &\times&      &     &       &\times &      &      &      &\times \\
\times&      &      &      &     &       &\otimes&      &      &      &\times
\end{array}
\end{displaymath}
Quand le probl�me diff�rentiel pr�sente, en des abscisses identiques,
des va\-ria\-bles continues et des
variables discontinues\footnote{Tel sera le cas pour
le syst�me des �quations de diffusion du moment cin�tique.}, \cesam2k assure
la continuit� en �galant les projections
des variables concern�es sur chacune des deux B-splines localis�es
de part et d'autre la discontinuit�. Dans la repr�sentation sch�matique
pr�c�dente, ces B-splines sont identifi�es avec le symbole $\otimes$.
Pour obtenir autant d'�quations que d'inconnues la relation r�sultant du
produit scalaire avec une des B-splines concern� est supprim�.
Suppression qui �limine la contribution de cette B-spline � la quantit�
int�gr�e, \cfparagr{sec:elemfini}.

\section{Diffusion des �l�ments chimiques}
\index{diffusion microscopique}\label{sec:eqd}\index{d\_{conv}}
Sous sa forme conservative,
l'�quation d'�volution temporelle des esp�ces chimiques avec diffusion~:
\begin{equation}\label{eq:diff}
\dsdt{x_i} = -\dsdx{F_i}m + \Psi_i,\ 1\leq i\leq n_{\rm elem}
\end{equation}
contient une partie diffusive, $\dsdx {F_i}m$, et une partie nucl�aire,
$\Psi_i$. Cette derni�re est calcul�e par la routine de
type {\tt nuc} utilis�e, \cfparagr{sec:nuc}.
Le flux de particules d'abondance en nombre $x_i$ a pour expression \citep{pm91}~:
\begin{equation}\label{eq:diff1}
F_i=-4\pi R^2\rho\left( 4\pi R^2\rho D_i*\nabla\!_{\rm m}{\cal X}+v_i x_i\right),
\end{equation}
les composantes $d_{i,j},\ i\not= j,$ du vecteur~:
\[ D_i(m,t)\equiv (d_{i,1},\ldots,d_{i,n_{\rm elem}})^T, \]
sont les coefficients, $d_{i,j}=d^\star_{i,j}$, de diffusion microscopique
de l'�l�ment d'indice $i$, par rapport � l'�l�ment d'indice
$j$; la $(i,i)$-i�me composante~:
\begin{equation}\label{eq:diff2}
d_{i,i}\equiv d^\star_{i,i}+d_{\rm T}+d_{\rm M}
\end{equation}
inclut les coefficients de diffusion turbulente $d_{\rm T}$ et
de m�lange $d_{\rm M}$; $v_i(m,t)$
est la vitesse de s�dimentation; on a not� � l'aide du symbole "$*$"
le produit scalaire~:
\[D_i*\nabla\!_{\rm m}{\cal X}\equiv \sum_j d_{i,j}\dsdx{x_j}m.\]
En utilisant la variable spatiale
$\nu\equiv(m/M_\odot)^{2/3}$, \lleq{eq:diff} devient~:
\begin{equation}\label{eq:diff3}
\dsdx {x_i}t = -\dsdx {F_i}m + \Psi_i=-\frac2{3M_\odot\sqrt\nu}
\dsdx{F_i}\nu + \Psi_i,\ 1\leq i\leq n_{\rm elem}.
\end{equation}

\medskip
\noi Des zones m�lang�es, \ie\ zones convectives �ventuellement overshoot�es,
apparaissent, se d�placent, disparaissent au cours de l'�volution.
On admet que le m�lange convectif est suffisamment efficace pour uniformiser
la composition chimique, ainsi~:
\begin{equation}\label{eq:xic}
\dsdx{x_i}R=0.
\end{equation}
Ces conditions entra�nent la discontinuit� des gradients des abondances
aux limites entre zones radiatives et zones m�lang�es;
d'o� la n�cessit� d'introduire des limites internes mobiles et en nombre
variable, ce qui complique l'int�gration num�rique. Gr�ce � un choix {\em ad
hoc} des bases de B-splines utilis�es pour la diffusion des �l�ments chimiques,
les discontinuit�s des gradients sont implicitement prises en compte.\\
La pr�sence du m�lange convectif change la nature du probl�me,
de diff�rentiel il devient
{\embf int�gro-diff�rentiel}. L'�quation de transport des �l�ments chimiques
�tant du type advection-diffusion, on
contourne l'aspect int�gral en uniformisant
la composition chimique par une diffusion. Pour ce faire, on impose dans les
zones m�lang�es un
coefficient de diffusion dont l'ordre de grandeur, grand devant l'unit�,
correspond au temps de retournement des �l�ments convectifs. \cesam2k utilise
$d_{\rm conv}=10^{13}\ {\rm cm^2 s^{-1}}$. A chaque limite entre une zone
m�lang�e et la zone non m�lang�e adjacente
les coef\-fi\-cients de diffusion sont discontinus avec pour cons�quence la
discontinuit� des gradients des abondances des esp�ces chimiques.\\
On repr�sente l'abondance de chaque esp�ce par
un polyn�me par morceaux d'ordre $m_c\ge 2$ {\embf avec discontinuit�
de la d�riv�e premi�re} � chaque limite \ZRZC, \cfparagr{sec:disro}.
Pour le calcul num�rique, on projette ces polyn�mes
sur une base de B-splines avec discontinuit� de la d�riv�e premi�re~:
${\cal N}\equiv\{N^{m_c}_k\}_{k=1,K_{\rm X}}$,
${\cal N}\subset{\cal C}^0[0,\nu_b]$; $K_{\rm X}$
�tant la dimension de la base. On a alors~:
\begin{equation}\label{eq:spli}
x_i(\nu,t)=\sum_{k=1}^{K_{\rm X}} x_{i,k}(t)N^{m_c}_j(\nu).
\end{equation}
On recherche les {\em solutions faibles} de \lleq{eq:diff3}
� l'aide du for\-ma\-lis\-me de Galerkin. Les produits scalaires s'�crivent~:
\begin{equation}\label{eq:sca1}
<\frac32M_\odot
\sqrt\nu\left(\dsdx{x_i}t-\Psi_i\right)\bullet S_j^{m_c}>+
<\dsdx{F_i}\nu\bullet S_j^{m_c}>=0,
\end{equation}
En tenant compte de
la continuit� des flux $F_i$, l'int�gration par parties conduit �~:
\begin{equation}\label{eq:inn}
 <\dsdx{F_i}\nu\bullet S_j^{m_c}>=\Big[ F_iS_j^{m_c}\Big]_0^{\nu_{\rm b}}-
 <F_i\bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu >,
\end{equation}
avec la condition limite, $\nu\equiv 0$, $F_i(\nu=0)=0$ au centre et,
� la limite externe de l'enveloppe $\nu=\nu_{\rm b}$. On montre au
\paragr{sec:ext}~:
\[F_i(\nu=\nu_{\rm b})=\dot M(x_{iv}-x_i)\]
o� $x_{iv}$ est l'abondance par mole de l'esp�ce $i$ dans le
vent stellaire. Par convention, le taux de
perte de masse $\dot M$ est n�gatif s'il y a perte, et positif s'il y a
gain. Comme � la limite de l'enveloppe, seule la derni�re spline
$S_{K_X}^{m_c}$, est non nulle
et comme $S_{K_X}^{m_c}(\nu_{\rm b})\equiv1$ la quantit� int�gr�e devient~:
\[\Big[F_iS_j^{m_c}\Big]_0^{\nu_{\rm b}}=\dot M(x_{iv}-x_i)(\nu_{\rm b}).\]
Physiquement, le vent stellaire ne peut concerner que la limite externe, �
d�faut de le d�crire en d�tail, on suppose qu'il concerne toute la zone
convective externe de masse $M_{\rm ZC}$. Pour simplifier l'algorithme on
transpose la partie int�gr�e dans le
terme nucl�aire $\Psi_i$ ainsi qu'il est d�crit au \paragr{sec:ext}.\\
La continuit� de $x_i$ et de $F_i$ permet d'�crire~\lleq{eq:sca1} sous la
forme utilis�e dans \cesam2k~:
\begin{eqnarray}\label{eq:sca2}
&& <\frac32\sqrt\nu\bigg(x_i-x_i^{(t)}-\Psi_i\Delta t\bigg)\bullet
 S_j^{m_c}>-\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}(x_{iv}-x_i)\Delta t- \\
 &-&<\left[\frac{32\pi^2 R^4\rho^2\,\Delta t}{3M^2_\odot \sqrt\nu}
 \left\{ D_i*\nabla\!_\nu{\cal X} \right\}+
 \frac{4\pi R^2\rho}{M_\odot}\Delta t\,V_ix_i\right]
 \bullet\dsdx{S_j^{m_c}}\nu> = 0,\ j=1,\ldots,K_X, \nonumber
\end{eqnarray}
les quantit�s �tant prises � l'instant $t+\Delta t$ sauf $x_i^{(t)}$
pris au temps $t$. Ce sch�ma compl�tement implicite est d'ordre $m_c$
en espace, et du premier ordre en temps.\\
Au centre, par sym�trie, les d�riv�es spatiales des abondances sont nulles ainsi
que leurs vitesses d'advection. Il
en est de m�me pour la limite externe toujours situ�e dans une zone de m�lange.
Le terme int�gr� qui est nul a �t� omis dans l'�criture des �quations.

\subsection{Condition limite externe}\label{sec:ext}
\index{conditions limites}\index{zone de vent}\index{vent.f}
On d�signera par "vent", indistinctement un apport ou un retrait de masse.
A d�faut de d�crire le processus de cr�ation du vent,
on suppose que celui-ci est issu de la \ZC\ externe qui existe toujours.
Pendant l'intervalle de temps $\Delta t$, l'apport en masse d'�l�ment
chimique $i$ � la \ZC\ $\dot MX_{iv}\Delta t$,
$X_{iv}$ �tant l'abondance par masse de l'�l�ment $i$ au temps $t$
dans le vent.

 A l'issue du pas temporel, la
fraction de masse de l'�l�ment $i$ dans la \ZC\ sera~:
\[X_i^{t+\Delta t}=\frac{M_{\rm ZC}X_i^t+\dot MX_{iv}\Delta t}
{\sum_iM_{\rm ZC}X_i^t+\dot MX_{iv}\Delta t},\]
o� $X_i^t$ et $X_{iv}$ sont respectivement l'abondance par
masse de l'�l�ment $i$ au temps $t$ et dans le vent. Les fractions
de masse v�rifiant
$\sum_iX_i^t\equiv1$ et $\sum_iX_{iv}^t\equiv1$~:
\begin{eqnarray*}
&&X_i^{t+\Delta t}=\frac{M_{\rm ZC}X_i^t+\dot MX_{iv}\Delta t}
{M_{\rm ZC}+\dot M\Delta t}=\frac{X_i^t+\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}
X_{iv}\Delta t}{1+\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}\Delta t}\sim \\
&&X_i^t\left(1-\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}\Delta t\right)+
\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}X_{iv}\Delta t
\left(1-\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}\Delta t\right)= \\
&&X_i^t-\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}X_i^t\Delta t+
\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}X_{iv}\Delta t-
\left(\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}X_{iv}\Delta t\right)^2\sim
X_i^t+\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}\left(X_{iv}-X_i^t\right)\Delta t
\end{eqnarray*}
On obtient pour la d�riv�e temporelle de l'abondance de l'esp�ce chimique
$i$~:
\begin{equation}\label{eq:xiv}
\dot X_i=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{X_i^{t+\Delta t}-X_i^t}{\Delta t}=
\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}\left(X_{iv}-X_i^t\right)\ \Longleftrightarrow
\dot x_i=\frac{\dot M}{M_{\rm ZC}}\left(x_{iv}-x_i^t\right),
\end{equation}
o� $x_{iv}$ est l'abondance par mole de l'�l�ment $i$ dans le vent.
Dans la \ZC\ externe la variation temporelle de l'isotope $X_i$ est donn� par~:
\begin{equation}\label{eq:xi1}
\dot x_iM_{\rm ZC}=\dot M(x_{iv}-x_i^t).
\end{equation}
Les abondances ne varient que si la composition
chimique du vent est diff�rente de celle des couches externes.
Dans la \ZC\ externe les variations de composition chimique r�sultant de
l'�quation \ref{eq:xi1} sont appliqu�es en addition de celles r�sultant
des r�actions thermonucl�aires.\\
Ces dispositions sont appliqu�es m�me si la diffusion microscopique des �l�ments
chimique est ignor�e.

\subsection{Chutes de plan�to�des}\label{sec:planet}
\index{plan�to�des}
De fa�on similaire � ce qui pr�c�de, au cours d'une �volution \cesam2k permet
de simuler une chute de plan�to�des sur un intervalle de temps limit�.
La composition chimique de la \ZC\ externe se trouve alors modifi�e
par des �l�ments chimiques dont l'abondance et la nature peuvent,
�ventuellement, diff�rer de celles des conditions initiales et/ou locales.
Dans la \ZC\ externe la variation temporelle de l'isotope $X_i$ est donn� par~:
\begin{equation}\label{eq:xip}
\dot x_i(t)=\frac{N_{\rm P}M_\oplus}{M_{\rm ZC}}{\cal P}(t)
(x_{iv}-x_i^t).
\end{equation}
$N_{\rm P}>0$ est le nombre total de plan�to�des de masse
terrestre $M_\oplus$ re�us par l'�toile, ${\cal P}(t)$ la fonction
d�crivant la d�pendance temporelle, \cfparagr{sec:cplanet}.

\cesam2k peut tenir compte de l'apport de moment cin�tique � la \ZC externe
r�sultant des chutes de plan�to�des, \cfparagr{sec:pertecin}.

\subsection{Notations}
Le formalisme de \citet{b69}, permet de d�terminer les coefficients de
diffusion microscopique des �l�ments chimiques.
On reformule le syst�me des �quations de Burgers pour les variables
utilis�es par \cesam2k, les abondances
par mole $x_i$ et le poids mol�culaire moyen $�$.
Le principe de la m�thode num�rique de Burgers, \citet{id85},
consiste � remarquer que la r�solution d'un syst�me
lin�aire permet d'�crire la vitesse de diffusion $w_i$ de la particule $i$
sous la forme~:
\[w_i=v_i+\sum_j b_{ij}\ddx {x_j}x.\]
\citet{id85} n'ont pas tenu compte des
"residual heat flow vector" qui furent introduits par la suite par
\citet{cgk89} et repris par \citet{tbl94}.

On utilise les notations suivantes~:
\begin{itemize}
\item $c$~: nombre d'ions, il y a $c+1$ esp�ces de particules,
\ie\ ions+ �lectrons,
\item $E$~: champ �lectrique,
\item $e$~: charge de l'�lectron, en unit� �lectrostatique,
 et indice de la particule "�lectron",
\item $g_{\rm G}$~: acc�l�ration due � la gravit�,
\item $g_\Omega$~: acc�l�ration centrifuge,
\item $g_{\rm Ri}$~: acc�l�ration radiative sur la particule $i$,
\item $g_{\rm T}$~: acc�l�ration totale,
\item $g_{j,i}$~: poids statistique du fondamental du niveau d'ionisation
$j$ de l'�l�ment chimique $i$,
\item $m_e=�_e m_u$~: masse de l'�lectron,
\item $m_i \equiv �_im_u$~: masse de l'�l�ment chimique $i$,
\item $m_{ij}\equiv\frac{m_im_j}{m_i+m_j}$~: masse r�duite des particules
 d'indices $i$ et $j$,
\item $m_u=1/N_0$~: masse atomique unit�, inverse du nombre d'Avogadro,
\item $n_e$~: nombre d'�lectrons par unit� de volume,
\item $n_i$~: nombre d'ions de l'�l�ment chimique $i\not=e$
par unit� de volume,
\item $n_{j,i}$~: nombre d'ions de l'�l�ment chimique $i$
par unit� de volume, dans l'�tat d'ionisation $j=0,\ldots,Z_i$,
\item $r$~: rayon, variable d'espace eul�rienne,
\item $T,\ P,\ P_i,\ P_{\rm C},\ P_{\rm R},\ \rho$~: temp�rature, pression totale,
pression partielle pour l'�l�ment $i$, pression collisionnelle, pression de
radiation, densit�,
\item $t$~: temps,
\item ${\cal V}=\dsdx rt$~: vitesse d'entra�nement du fluide, ${\cal V}\sim 0$
(hypoth�se de l'�quilibre quasi-statique),
\item $w_i$~: vitesse de diffusion de la particule $i$, par rapport � la vitesse
moyenne du fluide,
\item $X_i$~: proportion en masse de l'abondance de l'�l�ment chimique $i$,
$\sum_iX_i\equiv1$,
\item $x_i\equiv X_i/�_i$~: proportion par mole de l'abondance de
l'�l�ment chimique $i$,
\item $x_{j,i}$~: taux d'ionisation du niveau d'ionisation
$j$ de l'ion $i$,
\item $Z_i$ charge de la particule $i$, $Z_e=-1$,
\item $\bar{Z_i}$~: charge moyenne de l'�l�ment $i$ avec ionisation,
\item $\eta$~: param�tre de d�g�n�rescence,
\item $�$~: poids mol�culaire moyen,
\item $�_e$~: masse atomique de l'�lectron, $�_e=m_e/m_u$,
\item $�_i$~: masse atomique de l'�l�ment chimique $i$,
\item $\chi_{j,i}$~: potentiel d'ionisation du niveau d'ionisation $j$ de l'�l�ment $i$.
\end{itemize}

\subsection{Charge moyenne des ions}\label{sec:fsaha}\index{saha.f}
On utilise l'�quation de Saha \citep[][eq. 15-30]{cg68}
dans laquelle on limite les fonctions de partition aux poids statistiques
des niveaux fondamentaux~:
\begin{equation}\label{eq:saha0}
\frac{n_{j-1,i}}{n_{j,i}}=\frac{g_{j-1,i}}{g_{j,i}}\exp\left(\eta-\Delta\nu
+\frac{\chi_{j,i}}{kT}\right)\equiv\varphi_{j,i},\ j=1,\ldots,Z_i.
\end{equation}
Cette formulation diff�re de la forme courante qui exprime le rapport inverse
$\frac{n_{j,i}}{n_{j-1,i}}$. Elle permet d'utiliser l'\equ{eq:xi} qui constitue
un algorithme de r�solution performant  \citep[][eq. 5,17-5,20]{m78}.

\noi Le taux de d�g�n�rescence $\eta$ v�rifie~:
%\begin{equation}\label{eq:ne}
\[F_{\frac12}(\eta)=\frac{n_e}{4\pi}\left(\frac{h^2}{2m_ekT}\right)^{\frac32},\]
%\end{equation}
$F_{\frac12}(\eta)$ est la fonction de Fermi-Dirac \citep[][eq. 2-57]{c68}.
 $\Delta\nu$ est une correction num�rique introduite par
\citet{eff73}, pour simuler l'ionisation de pression, et �viter la
recombinaison � haute temp�rature \citep[][par. 14.6]{kw91}~:
\[\Delta\nu=n_e c_F \left(\frac{a_0}{\bar Z}\right)^3(1+\frac{20\chi_0}{kT}),
\ a_0=\frac{h^2}{4\pi^2m_ee^2},\ \bar Z=X+2Y+8Z,\ c_F=15,\ \chi_0=13.6.\]
%Cette correction est utilis�e dans la routine {\tt saha\_eff}.

\medskip
\noi L'exp�rience des calculs a montr� que le formalisme d'Eggleton
\citet{eff73}, m�me avec la modification de \citet[][eq. 4]{pm91},
donnait des taux d'ionisation moyens avec des paliers
et des gradients beaucoup plus marqu�s que ceux obtenus avec une meilleure
prise en compte de l'ionisation de pression. Ainsi, au centre du Soleil,
le formalisme de \citet{eff73} donne un taux d'ionisation de 100\% pour
Fe XXV, alors que le calcul plus pr�cis de \citet{g97} ne donne que 85\%.

Pour tenir compte de l'ionisation de pression et �viter la recombinaison,
la routine {\tt saha} de \cesam2k utilise une correction
num�rique d�riv�e
de l'analyse de \citet[][p. 140-145]{c68}. Le potentiel d'ionisation est
r�duit lorsque la distance moyenne entre les ions devient de l'ordre de
grandeur de la longueur de Debye~:
\[R_{\rm D}=\sqrt{\frac{kT}{4\pi e^2\rho
N_0\zeta}},\quad\zeta=\sum_{i\not=e}\bar{Z_i}(\bar{Z_i}+1)x_i\]
et se r�duit\footnote{$je$ est la charge de l'ion.} �~:
\[\chi^\prime_{j,i}=\max(0,\chi_{i,j}-\chi_{i,j}^{\rm C}),
\quad\chi_{i,j}^{\rm C}=\frac{je^2}{R_{\rm D}}.\]
Cette correction appliqu�e seulement sur le potentiel d'ionisation s'est
av�r�e insuffisante pour �viter la recombinaison � haute temp�rature,
en particulier, de l'ion HII. La routine {\tt saha} utilise un ajustement
{\em num�rique} agissant � la fois sur le potentiel d'ionisation et le
quotient des fonctions de partition; celles-ci devant �tre tronqu�es
de fa�on coh�rente
avec la diminution des potentiels d'ionisation, \cf \citet[][fig. 2-16]{c68}.
Cel� n'est pas possible avec
les fonctions de partition limit�es aux poids statistiques des niveaux
fondamentaux. L'artifice consiste en une diminution progressive de 1 � 0
%{\em � la fois}, du potentiel d'ionisation et
du rapport des poids
statistiques des niveaux fondamentaux $g_{j-1,i}/g_{j,i}$, d�s que la
quantit�~:
\[x=\frac{\chi_{i,j}}{\chi^\prime_{j,i}}-1\]
devient inf�rieure � une valeur $p$ fix�e, pour le
niveau d'ionisation $j=1,\ldots,Z_i$ de l'�l�ment chimique $i$.
L'exp�rience des calculs a
montr� que la valeur $p=4$ permettait de retrouver, pour des mod�les
d'�toiles de la s�quence principale de $1M_\odot$ et
$1.4M_\odot$ respectivement, des taux d'ionisation voisins de ceux obtenus
avec un calcul plus
exact, mais beaucoup plus lourd, de la correction de pression d'ionisation.
La fonction de raccordement $f(x)$ utilis�e est un morceau de cubique sur
$[0,p]$, de pente nulle en $x=0$ et $x=p$~:
\[f(x)=0\ {\rm si}\ x\leq 0,\ \left(\frac xp\right)^2
\left[-2\left(\frac xp\right)+3\right]\ {\rm si}\ x\in[0,p],\ f(x)=1,\ {\rm si}
\ x\geq p.\]
Avec ce formalisme approximatif, l'�quation de Saha \ref{eq:saha0} devient~:
\begin{equation}\label{eq:saha1}
\frac{n_{j-1,i}}{n_{j,i}}=\frac{g_{j-1,i}}{g_{j,i}}f(x)\exp\left(\eta
+\frac{\chi_{j,i}}{kT}	%f(x)
\right)\equiv\varphi_{j,i},\ j=1,\ldots,Z_i.
\end{equation}
On obtient ainsi l'ionisation totale du niveau $j-1$ lorsque
$g_{j-1,i}/g_{j,i}f(x)=0$ \ie\ d�s que
$\chi_{j,i}\leq \chi_{j,i}^{\rm C}$.
Pour ce faire, pour les niveaux $j,\ Z_i\geq j\geq k$ tel que
$\chi_{k,i}\leq \chi_{k,i}^{\rm C}$,
$\varphi_{j,i}$ est fix� non pas � 0 mais � un nombre arbitrairement grand
ce qui permet lors de l'utilisation de l'\equ{eq:xi} d'identifier facilement le
niveau $k$ � partir duquel l'ionisation cesse.

\noi Le nombre de particules $n_i,\ i\not= e$ est~:
\begin{eqnarray}
n_i&=&\sum_{j=0}^{Z_i}n_{j,i}=n_{Z_i,i}\left(1+\sum_{j=0}^{Z_i-1}
\frac{n_{j,i}}{n_{Z_i,i}}\right)=n_{Z_i,i}\left(1+\sum_{j=0}^{Z_i-1}
\prod_{k=j+1}^{Z_i}\varphi_{k,i}\right)\nonumber \\
&=&n_{Z_i,i}\left(1+\frac{n_{0,i}}{n_{Z_i,i}}+\frac{n_{1,i}}{n_{Z_i,i}}
+\ \ldots\ +\frac{n_{Z_i-1,i}}{n_{Z_i,i}}\right)\nonumber \\
&=&n_{Z_i,i}\left(1+\varphi_{1,i}\varphi_{2,i}\varphi_{3,i}
\ \ldots\ \varphi_{Z_i,i}+
\varphi_{2,i}\varphi_{3,i}\ \ldots\ \varphi_{Z_i,i}+\ \ldots\ +\varphi_{Z_i,i}
\right)\nonumber \\
&=&n_{Z_i,i}\left(1+\varphi_{Z_i,i}
\left(1+\varphi_{Z_i-1,i}\left(1+\varphi_{Z_i-2,i}
\left(1+\ldots\varphi_{1,i}\right)\right)\right)\right)\nonumber
\end{eqnarray}
et comme~:
\[\varphi_{j+1,i}=\frac{n_{j,i}}{n_{j+1,i}}=\frac{n_{j,i}}{n_i}
\frac{n_i}{n_{j+1,i}}=\frac{x_{j,i}}{x_{j+1,i}},\]
on a~:
\begin{eqnarray}
x_{Z_i,i}\equiv\frac{n_{Z_i,i}}{n_i}&=&\frac1{\left(1+\varphi_{Z_i,i}
\left(1+\varphi_{Z_i-1,i}\left(1+\varphi_{Z_i-2,i}
\left(1+\ldots\varphi_{1,i}\right)\right)\right)\right)},\nonumber \\
x_{j,i}&=&\varphi_{j+1,i}\,x_{j+1,i},\ j=Z_i-1,\ldots,0.\label{eq:xi}
\end{eqnarray}
La charge moyenne de l'�l�ment chimique $i$ et le nombre
d'�lectrons par mole et
par unit� de volume s'�crivent respectivement~:
\[\bar{Z_i}\equiv\sum_{j=1}^{Z_i}jx_{j,i},
\ x_e=\sum_{j\not= e}\bar{Z_i}x_i,
\ n_e=\rho N_0x_e=\rho N_0\sum_{j\not=e}\bar{Z_i}x_i.\]
On a aussi~:
\[X_i=\frac{n_i�_im_u}{\sum_jn_j�_jm_u}=\frac{n_i�_i}{\rho N_0},
\ x_i=\frac{X_i}{�_i}=\frac{n_i}{\rho N_0}\Rightarrow n_i=\rho x_iN_0.\]

\subsection{Equation de diffusion des esp�ces chimiques}\label{sec:Burgers}
\index{Burgers}
Pour la particule $i$, l'�quation de diffusion s'�crit \citep{id85}~:
\[\dsdx{n_i}t=\frac 1{r^2}\dsdx{ }r(r^2n_iw_i)
+\left(\dsdx{n_i}t\right)_{\rm nucl.}\]
La r�solution des �quations de \citet[][eq. 18-4,5]{b69}, voir aussi \citet{cgk89,tbl94},
m�nent � la vitesse de diffusion $w_i$ pour la particule $i$~:
\begin{eqnarray}\label{eq:bu1}
\ddx{P_{\rm Ci}}r-\frac{\rho_i}\rho\ddx{P_{\rm C}}r &-& n_i\bar{Z_i} eE
= \sum_j K_{ij}(w_j-w_i) +
\sum_j K_{ij} z_{ij}\frac{m_jr_i-m_ir_j}{m_i+m_j} \\
\frac52 n_ik\ddx Tr = &-& \frac52 \sum_j K_{ij} z_{ij}
\frac{m_j(w_j-w_i)}{m_i+m_j}-\frac25K_{ii}z_{ii}^{\prime\prime}r_i \nonumber \\
&-&r_i\sum_{j\not= i}K_{ij}\frac{3m_i^2+m_j^2z_{ij}^\prime\label{eq:bu2}
+\frac45m_im_jz_{ij}^{\prime\prime}}{(m_i+m_j)^2} \\
&+&\sum_{j\not= i}K_{ij}\frac{m_im_j(3+z_{ij}^\prime
-\frac45z_{ij}^{\prime\prime})}{(m_i+m_j)^2} r_j.\nonumber
\end{eqnarray}
Les �quations de conservation dynamique et statique de la masse et de la
charge ont respectivement pour expression~:
\begin{equation}\label{eq:cons}
\sum_i�_in_iw_i=0,\ e\sum_i\bar{Z_i}n_iw_i=0,\ \sum_i\bar{Z_i}n_i=0,
\ \sum_iX_i=\sum_i�_ix_i=1.
\end{equation}

\medskip
\noi Les coefficients de r�sistance du flux de chaleur
$z_{ij},z_{ij}^\prime, z_{ij}^{\prime\prime}$ sont d�finis �
partir des int�grales de collision $\Omega^{(kl)}_{ij}$,
\citet{ppfm86} Eq. (23) -- (25)~:
\[z_{ij}=1-\frac25\frac{\Omega^{(12)}_{ij}}{\Omega^{(11)}_{ij}},
\ z_{ij}^\prime=2.5-\frac25\frac{5\Omega^{(12)}_{ij}-\Omega^{(13)}_{ij}}
{\Omega^{(11)}_{ij}},
\ z_{ij}^{\prime\prime}=\frac{\Omega^{(22)}_{ij}}{\Omega^{(11)}_{ij}},\]
qui sont d�termin�es � partir de tabulations.
\citet{ppfm86} ont �crit $\Omega^{(kl)}_{ij}$ sous la forme, Eq.(65)~:
\[
\Omega^{(kl)}_{ij}\equiv F^{(kl)}_{ij}\epsilon_{ij},
\ \epsilon_{ij}\equiv\frac{e^4}4\sqrt{\frac\pi{2k^3}}
\ \frac{\bar{Z_i}^2\bar{Z_j}^2}
{\sqrt{m_{ij}}}\ \frac1{\sqrt{T^3}}.
\]
Pour $(kl)=(11),\ (12),\ (13),\ (22)$, et selon
qu'il s'agit d'un potentiel attractif, \ie\ �lectron/ion,
ou r�pulsif, \ie\ ion/ion ou �lectron/�lectron,
Paquette \citet{ppfm86} ont calcul� et tabul�
les coefficients d'interpolation par splines naturelles de
$\ln F^{(kl)}_{ij}$ en fonction de la variable
$\psi_{ij}\equiv \ln\left[\ln\left(1+\gamma_{ij}^2\right)\right]$ avec~:
\[\gamma_{ij}\equiv \frac{4kT\lambda}{\bar{Z_i}\bar{Z_j}e^2},
\ \lambda\equiv\max\left\{\left(\frac{kT}{4\pi e^2\sum_in_i\bar{Z_i}} \right)^{\frac12},
\left(\frac3{4\pi\sum_{\rm ions}n_i} \right)^{\frac13}\right\}.\]
Les quantit�s $K_{ij}$ sont les coefficients de r�sistance, ils
repr�sentent les effets des collisions entre les particules
de types $i$ et $j$, ils ont pour expression \cf \citet{mp93}~:
\begin{equation}\label{eq:kij}
K_{ij}=\frac{16}3 n_i n_j m_{ij}\Omega^{(11)}_{ij}.
\end{equation}

\medskip
\noi La densit� partielle $\rho_i$ de la particule $i$ est d�finie par ($X_i=x_i�_i$)~:
\begin{equation}\label{eq:roi}
\rho_i=\rho X_i=\rho x_i�_i=n_i�_im_u,\ \sum_i \rho_i=\rho
=\sum_in_i�_im_u,\ n_i=\rho N_0\frac{X_i}{�_i}=\rho N_0 x_i.
\end{equation}
L'�quation d'�quilibre hydrostatique la gravit� totale $g_{\rm T}$ � la pression
totale $P=P_{\rm C}+P_{\rm R}$ somme de la pression collisionnelle
$P_{\rm C}=nkT$ et de la pression radiative $P_{\rm R}$~:
\begin{equation}\label{eq:stat}
 \ddx Pr=\rho g_{\rm T},\ g_{\rm T}=g_{\rm G}+g_\Omega,\ g_{\rm G}=-\frac{Gm}{r^2},
\ g_\Omega=\frac23 r\Omega^2 \Rightarrow\frac{\rho_i}\rho\ddx Pr=\rho_ig_{\rm T}=
\rho x_i�_ig_{\rm T}
\end{equation}
En rempla�ant la charge de chaque ion par sa charge moyenne tenant compte
de son taux d'ionisation, le poids mol�culaire moyen est~:
\[�^{-1}=\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})\frac{X_j}{�_j}=
\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})x_j.\] Pour les d�rivations, on utilisera~:
\[d�=-�^2\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})dx_j,
\ \dsdx�{x_k}=-�^2(1+\bar{Z_k}),\ k\not=e.\]
Les acc�l�rations radiatives ont des valeurs diff�rentes pour les divers isotopes.
Pour former les �quations il convient de
diff�rencier pression totale $P$, pression gazeuse collisionnelle $P_{\rm C}$
et pression de radiation $P_{\rm R}$.
En utilisant les notations habituelles~:
\[ \beta\equiv\frac{P_{\rm C}}P,\ 1-\beta =\frac{P_{\rm R}}P,
\ \left(\dsdx\beta T\right)_P=-\frac4T(1-\beta),
\ \left(\dsdx\beta P\right)_T=\frac1P(1-\beta),\]
avec l'hypoth�se du gaz parfait, la pression gazeuse collisionnelle s'�crit~:
\[ P_{\rm C}=\rho\frac{{\cal R}T}�=P-P_{\rm R}=P(1-\frac{P_{\rm R}}P)=\beta P
\Rightarrow \rho=\frac{\beta P�}{{\cal R}T}, \ P_{\rm R}=\frac a3T^4. \]
\[\ddx{P_{\rm R}}r=\frac43aT^3\ddx Tr=\frac43aT^3\frac TP\dsdx{\ln T}{\ln P}\ddx Pr
=4\nabla\frac{aT^4}{3P}\rho g_{\rm T}=4\nabla\frac{P_{\rm R}}P\rho g_{\rm T}=
4\nabla(1-\beta)\rho g_{\rm T}.\]

\medskip
\[ \ddx{\beta P}r= \ddx{P_{\rm C}}r=P\ddx\beta r+\beta\ddx Pr,\]
\[ \ddx\beta r=\dsdx\beta T \ddx Tr+\dsdx\beta P \ddx Pr=
-\frac4T(1-\beta)\frac TP\dsdx{\ln T}{\ln P}\ddx Pr +\frac{1-\beta}P\ddx Pr=
(1-4\nabla)\frac{1-\beta}P\ddx Pr \]
\[ \ddx{P_{\rm C}}r=\left[(1-4\nabla)(1-\beta)+\beta\right]\ddx Pr=
{\cal B}\ddx Pr=\rho{\cal B} g_{\rm T},\ {\cal B}\equiv1-4\nabla(1-\beta),\]
\[ \ddx{P_{\rm R}}r=4\nabla(1-\beta)\rho g_{\rm T}=\rho(1-{\cal B})g_{\rm T}
=\rho g_{\rm R},\ g_{\rm R}=(1-{\cal B})g_{\rm T}, \]
$g_{\rm R}$ �tant l'acc�l�ration radiative "thermodynamique".
R�sultat trivial d� au fait que $P_{\rm R}$ est un mon�me en $T$.
La diffusion diff�renci�e des esp�ces chimiques ne se produisant que
dans les zones radiatives o� $\nabla\leq\nabla_{\rm ad}$~:
\[ \nabla=\nabla_{\rm rad}\leq\nabla_{\rm ad},\  0\leq\beta\leq1\Rightarrow \]
\[\left( \beta=0,\ \nabla_{\rm ad}=\frac14 \Rightarrow {\cal B}=0\ {\rm et}
\ \beta=1,\ \nabla_{\rm ad}=\frac25\Rightarrow {\cal B}=1\right)
\ \Rightarrow0\leq{\cal B}\leq1.\]

\noi De fa�on analogue, en notant $P_{\rm I}$ la pression totale et $P_{\rm Ri}$
la pression de radiation sur l'isotope $i$ et en admettant que l'�quilibre
quasi-statique est v�rifi� pour les ions individuellement~:
\[ P_{\rm I}=P_i+P_{\rm Ri},\ \ddx{P_{\rm I}}r=\rho_ig_{\rm T}\]
en utilisant~:
\[ n_i=\rho x_iN_0,\ {\cal R}\equiv kN_0,\ \rho=\frac{�P_{\rm C}}{{\cal R}T}=
\frac{�\beta P}{{\cal R}T}\Rightarrow\]
\[ P_i=n_ikT=\rho x_i N_0kT =\frac{\beta�P}{{\cal R}T}x_iN_0kT=\beta P� x_i. \]
On utilisera par la suite~:
\begin{equation}\label{eq:nik}
n_ik=\frac PT \beta� x_i.
\end{equation}

\begin{eqnarray}
\ddx{P_i}r&=&\ddx{ }r\beta P� x_i
=� x_i\ddx{\beta P}r+\beta� P\ddx{x_i}r+\beta P x_i\ddx{�}r\nonumber \\
&=&�x_i{\cal B}\rho g_{\rm T}+\beta P�\ddx{x_i}r-\beta P�^2x_i
\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})\ddx{x_j}r\nonumber \\
&=&\rho x_i�{\cal B} g_{\rm T}+\beta P�\left(\ddx{x_i}r-
x_i�\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})\ddx{x_j}r\right)\nonumber
\end{eqnarray}
Pour l'isotope $i$, l'acc�l�ration radiative $g_{\rm Ri}$ r�sulte de la
pression de radiation, troisi�me moment de l'intensit� radiative dont le calcul
d�taill� n'est pas effectu� par \cesam2k. Avec~:
\[ \ddx{P_{\rm Ri}}r=\rho_i g_{\rm Ri}=\rho x_i�_ig_{\rm Ri}, \]
et en admettant que l'�quilibre quasi-statique est v�rifi� pour les ions
individuellement~:
\[ \rho_ig_{\rm T}=\ddx{}r\left(P_i+P_{\rm Ri}\right)\Rightarrow
\ddx{P_i}r=\rho_ig_{\rm T}-\rho x_i�_ig_{\rm Ri} \]
En regroupant~:

\begin{eqnarray}
\ddx{P_i}r&=&\ddx{ }r\beta P� x_i-\ddx{P_{\rm Ri}}r
=� x_i\ddx{\beta P}r+\beta� P\ddx{x_i}r+\beta P x_i\ddx{�}r-\rho x_i�_ig_{{\rm R}i}
\nonumber \\
&=&�x_i{\cal B}\rho g_{\rm T}-\rho x_i�_ig_{\rm Ri}+\beta P�\ddx{x_i}r-\beta P�^2x_i
\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})\ddx{x_j}r\nonumber \\
&=&\rho x_i(�{\cal B} g_{\rm T}-�_ig_{\rm Ri})+\beta P�\left(\ddx{x_i}r-
x_i�\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})\ddx{x_j}r\right)\nonumber\\
&=&\rho x_i g_{\rm T}\left(�{\cal B}-�_i\frac{g_{\rm Ri}}{g_{\rm T}}\right)+\beta P�
\left(\ddx{x_i}r-x_i�\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})\ddx{x_j}r\right)\nonumber
\end{eqnarray}
Puisque \Eq{eq:stat}~:
\[ \frac{\rho_i}\rho\ddx Pr=\rho x_i�_ig_{\rm T} \]
\begin{equation}\label{eq:dpi}
\ddx{P_i}r-\frac{\rho_i}\rho\ddx Pr=\rho x_ig_{\rm T}\left(�{\cal B}-
�_i(1-\frac{g_{\rm Ri}}{g_{\rm T}})\right)+\beta P�\left(\ddx{x_i}r-
x_i�\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})\ddx{x_j}r\right)
\end{equation}
On remarquera que si l'acc�l�ration radiative a sa valeur "thermodynamique"~:
\[ �{\cal B}-�_i(1-\frac{g_{\rm Ri}}{g_{\rm T}})=
�{\cal B}-�_i(1-1+{\cal B})={\cal B}(�-�_i), \]
la pr�sence des facteurs ${\cal B}$ et $\beta$ dans les �quations des moments
et d'�nergie assurent la coh�rence entre la pression de radiation
"thermodynamique" et, pendant "microscopique", l'acc�l�ration radiative.\\
On a par ailleurs~:
\begin{equation}\label{eq:cons1}
n_i\bar{Z_i}eE=\rho N_0 x_i\bar{Z_i}eE,
\ \sum_i�_ix_iw_i=0,\ \sum_i\bar{Z_i}x_iw_i=0.
\end{equation}
On introduit les relations pr�c�dentes dans les �quations de
Burgers~\eq{eq:bu1},~\eq{eq:bu2} et de conservation~\eq{eq:cons1}.
Les coefficients de r�sistance $K_{ij}$ sont de la forme~:
\[K_{ij}=\frac{16}3 n_i n_j m_{ij}\Omega^{(11)}_{ij}=\frac{16}3(\rho N_0)^2
x_ix_jm_{ij}\Omega^{(11)}_{ij}=k_{ij}x_ix_j\rho^2,
\ k_{ij}\equiv\frac{16N_0^2}3m_{ij}\Omega_{ij}^{(11)}.\]
et, \eq{eq:nik}~:
 \[ n_ik\ddx Tr=\frac PT\beta�x_i\frac TP\dsdx{\ln T}{\ln P}\ddx Pr=
 \beta�x_i\nabla\rho g_{\rm T}\]
En fonction des $x_i$ et de $�$ les �quations de Burgers s'�crivent~:
\begin{eqnarray}
&&\rho x_ig_{\rm T}\left(�{\cal B}-�_i(1-\frac{g_{\rm Ri}}{g_{\rm T}}
\right)+\beta P�\left(\ddx{x_i}r-
x_i�\sum_{j\not=e}(1+\bar{Z_j})\ddx{x_j}r\right)-\rho N_0 x_i\bar{Z_i}eE
\nonumber \\
&&=\rho^2\left\{x_i\sum_j k_{ij}x_j(w_j-w_i) -
x_i\sum_j k_{ij} x_j z_{ij}\frac{m_ir_j-m_jr_i}{m_i+m_j}\right\},\ i=1,\ldots,c,
\nonumber\\
&&-\rho x_i\beta\nabla� g_{\rm T}=
\rho^2\left\{x_i\sum_j k_{ij} x_jz_{ij}
\frac{m_j(w_j-w_i)}{m_i+m_j}+x_i\frac4{25}k_{ii}x_iz_{ii}^{\prime\prime}r_i
\right.  \nonumber \\
&&+\frac25r_ix_i\sum_{j\not= i}k_{ij}x_j\frac{3m_i^2+m_j^2z_{ij}^\prime
+\frac45m_im_jz_{ij}^{\prime\prime}}{(m_i+m_j)^2}\nonumber  \\
&&\left. -\frac25x_i\sum_{j\not= i}k_{ij}x_jr_j\frac{m_im_j(3+z_{ij}^\prime
-\frac45z_{ij}^{\prime\prime})}{(m_i+m_j)^2}\right\},\ i=1,\ldots,c,e, \nonumber
\end{eqnarray}
ou encore, en posant~:
\[�_{\rm Ri}\equiv�_i\left(1-\frac{g_{\rm Ri}}{g_{\rm T}}\right),
\ \dsdx{�_{\rm Ri}}{x_i}=-\frac{�_i}{g_{\rm T}}
\left(\dsdx{g_{\rm Ri}}{x_j}-\frac{g_{{\rm R}i}}{g_{\rm T}}
\dsdx{g_{\rm T}}{x_j}\right) \]
avec arrangements et division de chaque membre par $x_i\rho^2$~:
\begin{eqnarray}
\frac{g_{\rm T}}\rho({\cal B}�-�_{\rm Ri}) &+&\frac{{\cal R}T}\rho
\left(\frac1{x_i}\ddx{x_i}r-�\sum_{j\not= e}(1+\bar{Z_j})
\ddx{x_j}r\right)=\sum_{j\not= i} k_{ij}x_j(w_j-w_i) \nonumber \\
&-&\sum_{j\not= i} k_{ij} x_j z_{ij}\frac{m_ir_j-m_jr_i}{m_i+m_j}
+\frac{\bar{Z_i}eN_0E}\rho,\ i=1,\ldots,c,
\label{eq:BU1}\\
-\frac{g_{\rm T}}\rho�\beta\nabla&=&\sum_{j\not= i} k_{ij} x_jz_{ij}
\frac{m_j(w_j-w_i)}{m_i+m_j}+  \nonumber \\
&+&r_i\left(\frac4{25}k_{ii}x_iz_{ii}^{\prime\prime}+\frac25
\sum_{j\not= i}k_{ij}x_j\frac{3m_i^2+m_j^2z_{ij}^\prime
+\frac45m_im_jz_{ij}^{\prime\prime}}{(m_i+m_j)^2}\right)-\nonumber  \\
&-&\frac25\sum_{j\not= i}k_{ij}x_jr_j\frac{m_im_j(3+z_{ij}^\prime
-\frac45z_{ij}^{\prime\prime})}{(m_i+m_j)^2},\ i=1,\ldots,c,e.
\label{eq:BU2}
\end{eqnarray}
Les donn�es sont la temp�rature $T$, la densit� $\rho$,
la gravit� $g_{\rm T}$, le gradient $\nabla$, les abondances
des ions $x_i,\ i=1,\ldots,c$, les poids atomiques des �l�ments,
acc�l�rations radiatives et centrifuges. Des abondances, on d�duit
le nombre d'�lectrons et le poids mol�culaire moyen.

\medskip
\noindent Les inconnues sont les $c+1$ vitesses de diffusion $w_1,\ldots,w_c,w_e$,
les $c+1$ flux de chaleur $r_1,\ldots,r_c,r_e$ et le champ �lectrique $E$,
soit $2c+3$ inconnues. On ajoute aux $2c+1$
\eq{eq:BU1} et~\eq{eq:BU2}, les deux �quations de conservation~:
\begin{equation}\label{eq:BU3}
\sum_{i=1}^c�_ix_iw_i=0,\ \sum_{i=1}^e\bar{Z_i}x_iw_i=0.
\end{equation}
Les~\eq{eq:BU1},~\eq{eq:BU2} �crites pour les $x_i$ et $�$ et
\eq{eq:BU3} forment le syst�me lin�aire~:
\[A\omega=\gamma+G\,D_x,\ G\equiv\frac{{\cal R}T}\rho\Delta,\]
on a not�~:
\[\omega\equiv(w_1,\ldots,w_c,w_e,r_1,\ldots,r_c,r_e,E)^T,\]
\[D_x\equiv(\ddx{x_1}r,\ldots,\ddx{x_c}r,0,\ldots,0)^T,\]
\[\gamma\equiv\frac{g_{\rm T}}\rho\left({\cal B}�-�_{\rm R1},\ldots,
{\cal B}�-�_{\rm Rc},-�\beta\nabla,\ldots,-�\beta\nabla,0,0\right)^T.\]
\[\dsdx{}{x_j}\left(\frac{g_{\rm T}}\rho({\cal B}�-�_{\rm Ri})\right)=
\frac{g_{\rm T}}\rho
\left({\cal B}\dsdx�{x_j}+�\dsdx{{\cal B}}{x_j}-\dsdx{�_{\rm Ri}}{x_j}\right)-
\left\{\frac{g_{\rm T}}{\rho^2}({\cal B}�-�_{\rm Ri})\dsdx\rho{x_1}\right\}_{j=1}.\]
\[ \dsdx{{\cal B}}{x_j}=-4(1-\beta)\dsdx\nabla{x_j},
\ \dsdx{�_{\rm Ri}}{x_j}=-\frac1{g_{\rm T}}\dsdx{g_{\rm Ri}}{x_j}\ {\rm ou\ }
-\dsdx{{\cal B}}{x_j} \]
\[\dsdx{}{x_j}\left(\frac{� g_{\rm T}\beta\nabla}\rho\right)=
\frac{g_{\rm T}\beta\nabla}\rho\dsdx�{x_j}+\left\{\frac{� g_{\rm T}\beta}\rho
\left(\dsdx\nabla{x_1}-\frac\nabla\rho\dsdx\rho{x_1}\right)\right\}_{j=1},\]
L'�quation d'�tat ne donnant que les d�riv�es de la densit� par rapport � $x_1\equiv H$.
\begin{eqnarray}
\Delta&\equiv&{\rm\,Diag}\left(\frac1{x_1},\frac1{x_2},\ldots,\frac1{x_c}%,\frac1{x_e}
,0,\ldots,0\right)-�{\cal M},\label{eq:delta}\\
{\cal M}&\equiv&\left(\begin{array}{cccccccccc}
(1+\bar Z_1)&(1+\bar Z_2)&(1+\bar Z_3)&\ldots&(1+\bar Z_c)&0&0 &\ldots&0&0\\
(1+\bar Z_1)&(1+\bar Z_2)&(1+\bar Z_3)&\ldots&(1+\bar Z_c)&0&0 &\ldots&0 &0\\
\ddots  &\ddots&\ddots &\ddots&\ddots  &\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\
(1+\bar Z_1)&(1+\bar Z_2)&(1+\bar Z_3)&\ldots&(1+\bar Z_c)&0&0 &\ldots&0 &0\\
(1+\bar Z_1)&(1+\bar Z_2)&(1+\bar Z_3)&\ldots&(1+\bar Z_c)&0&0&\ldots&0&0\\
0&0&0&\ldots&0&0&0&\ldots&0&0\\
\ddots  &\ddots&\ddots &\ddots&\ddots  &\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\
0&0&0&\ldots&0&0&0&\ldots&0&0\\
\end{array}\right).\label{eq:m}
\end{eqnarray}
La structure de la matrice $A$, de dimension $[2c+3\times2c+3]$,
est la suivante~:
\[\left(\begin{array}{ccc}
A_w & A_r& A_e\\
A_c&0&0
\end{array}\right),\]
les dimensions des sous matrices  sont respectivement $A_w[2c+1\times c+1]$,
$A_r[2c+1\times c+1]$, $A_e[2c+1\times 1]$ et $A_c[2\times c+1]$. En notant~:
\[ p_{ij}\equiv k_{ij}x_j,
\ q_{ij}\equiv\frac{k_{ij}x_jz_{ij}m_j}{m_i+m_j}=
p_{ij}\frac{z_{ij}m_j}{m_i+m_j}, \]

\begin{equation}\label{eq:aw}
A_w\equiv\left(\begin{array}{cccccccc}
-\sum_{j\not= 1} p_{1j} & p_{12} & p_{13} &\ldots&p_{1c} &p_{1e} \\
p_{21} &-\sum_{j\not= 2} p_{2j}& p_{23} &\ldots&p_{2c} &p_{2e} \\
\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\
p_{c1} &p_{c2} & p_{c3} &\ldots&-\sum_{j\not= c} p_{cj}&p_{ce} \\
%p_{e1} &p_{e2} & p_{e3} &\ldots&p_{ec} &-\sum_{j\not= e} p_{ej} \\
-\sum_{j\not= 1} q_{1j} & q_{12} & q_{13} &\ldots&q_{1c} &q_{1e}\\
q_{21} &-\sum_{j\not= 2} q_{2j}  &q_{23} &\ldots&q_{2c} &q_{2e}\\
\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\
q_{c1} &q_{c2} & q_{c3} &\ldots&-\sum_{j\not= c} q_{cj}&q_{ce}\\
%q_{e1} &q_{e2} & q_{e3} &\ldots&q_{ec} &-\sum_{j\not= e} q_{ej}
\end{array}\right),
\end{equation}
avec les notations~:
\begin{eqnarray}
\bar{q_{ij}}&\equiv&-\frac{k_{ij}x_jz_{ij}m_i}{m_i+m_j}=
-q_{ij}\frac{m_i}{m_j},\label{eq:qij} \\
d_i&\equiv&\frac4{25}k_{ii}x_iz_{ii}^{\prime\prime}+\frac25
\sum_{j\not= i}k_{ij}x_j\frac{3m_i^2+m_j^2z_{ij}^\prime
+\frac45m_im_jz_{ij}^{\prime\prime}}{(m_i+m_j)^2},\label{eq:di} \\
f_{ij}&\equiv&-\frac25k_{ij}x_j\frac{m_im_j(3+z_{ij}^\prime
-\frac45z_{ij}^{\prime\prime})}{(m_i+m_j)^2},\label{eq:fij}
\end{eqnarray}

\begin{equation}\label{eq:ar}
A_r\equiv\left(\begin{array}{cccccccc}
\sum_{j\not= 1} q_{1j}&\bar{q_{12}}&\bar{q_{13}}&\ldots&
\bar{q_{1c}}&\bar{q_{1e}} \\
\bar{q_{21}}&\sum_{j\not= 2}q_{2j}&\bar{q_{23}}&\ldots&
\bar{q_{2c}}&\bar{q_{2e}} \\
\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\
\bar{q_{c1}}&\bar{q_{c2}}&\bar{q_{c3}}&\ldots&\sum_{j\not= c}
 q_{cj}&\bar{q_{ce}}\\
%\bar{q_{e1}}&\bar{q_{e2}}&\bar{q_{e3}}&\ldots&
%\bar{q_{ec}}&\sum_{j\not= e}q_{ej}\\
d_1 &f_{12}&f_{13}&\ldots&f_{1c}&f_{1e}\\
f_{21}&d_2   &f_{23}&\ldots&f_{2c}&f_{2e}\\
\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\
f_{c1}&f_{c2}&f_{c3}&\ldots&d_c   &f_{ce}\\
f_{e1}&f_{e2}&f_{e3}&\ldots&f_{ec}&d_e
\end{array}\right),
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:ae}
A_e\equiv\frac{N_0e}\rho (\bar Z_1,\ldots,\bar Z_c,0,\ldots,0)^T,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:ac}
A_c\equiv\left(\begin{array}{cccccccc}
�_1x_1&�_2x_2&\ldots&�_cx_c&0&0&\ldots&0 \\
\bar Z_1x_1&\bar Z_2x_2&\ldots&\bar Z_cx_c&\bar Z_ex_e&0&\ldots&0 \\
\end{array}\right).
\end{equation}
La solution s'�crit~:
\begin{equation}\label{eq:w}
\omega=A^{-1}\gamma+A^{-1}G\, D_x=v+B\, D_x\Rightarrow,
\end{equation}
ou encore, pour les ions, $i=1,\ldots,c$~:
\[w_i=v_i+\sum_{j=1}^cb_{ij}\ddx{x_j}r,\ i=1,\ldots,c,\]
les $v_i$ sont les $c$ premiers coefficients de~:
\begin{equation}\label{eq:v}
v=A^{-1}\gamma,
\end{equation}
les $b_{ij},\ (i,j=1,\ldots,c)$, sont les coefficients des $c$
premi�res lignes et colonnes de
\begin{equation}\label{eq:b}
B=A^{-1}G.
\end{equation}
Pour l'ion $i$ l'�quation de diffusion devient~:
\begin{eqnarray}
\dsdx{n_i}t&=&\frac 1{r^2}\dsdx{ }r(r^2n_iw_i)+
\left(\dsdx{n_i}t\right)_{\rm nucl.}=\nonumber \\
\dsdx{\rho N_0 x_i}t&=&\frac1{r^2}
\dsdx{ }r\left\{ N_0r^2 \rho x_i\left(\sum_{j=1}^cb_{ij}\dsdx{x_j}r+v_i\right)
\right\}+\left(\dsdx{\rho N_0 x_i}t\right)_{\rm nucl.}\nonumber
\end{eqnarray}
ou encore, en notant $\dsdt{\star}\equiv\dsdx\star t+{\cal V}*\nabla\star$
l'op�rateur de d�rivation
lagrangien "en suivant le mouvement"~:
\[\dsdt{x_i}=\frac{4\pi}{4\pi r^2\rho}
\dsdx{ }r\left\{ \frac{4\pi r^4\rho^2}{4\pi r^2\rho}
 x_i\left(\sum_{j=1}^cb_{ij}\dsdx{x_j}r+v_i\right)\right\}
+\left(\dsdt{x_i}\right)_{\rm nucl.}\ \Longrightarrow\]
\[\dsdt{x_i}=\dsdx{ }m\left\{ 4\pi r^2 \rho \left(4\pi r^2 \rho x_i
\sum_{j=1}^cb_{ij}\dsdx{x_j}m +v_ix_i\right)\right\}
+\left(\dsdt{x_i}\right)_{\rm nucl.}.\]
On a utilis� l'�quation de continuit�~:
\[0=\dsdx\rho t+\nabla*\rho {\cal V}=\dsdx\rho t+\rho\nabla*{\cal V}+
{\cal V}*\nabla\rho=x_i\dsdx\rho t+x_i\rho\nabla*
{\cal V}+x_i{\cal V}*\nabla\rho,\]
et la conservation des particules d'esp�ce $i$~:
\[\nabla* x_i\rho {\cal V}=0\Rightarrow\rho {\cal V} *\nabla x_i=
-x_i\rho\nabla* {\cal V}-x_i {\cal V}*\nabla\rho,\]
\[\Rightarrow \dsdx{\rho x_i}t=x_i\dsdx\rho t+\rho\dsdx{x_i}t
-x_i\dsdx\rho t-x_i\rho\nabla* {\cal V}-x_i {\cal V}*\nabla\rho
=\rho\left(\dsdx{x_i}t+{\cal V} *\nabla x_i\right)=\rho\dsdt{x_i}.\]
En posant~:
\begin{equation}\label{eq:d}
D_i\equiv\left(d_{i1},\ldots,d_{ic},\right)
\equiv-\left(x_ib_{i1},\ldots,x_ib_{ic},\right),\ i=1,\ldots,c,
\end{equation}
on obtient la forme de l'�quation de diffusion utilis�e dans
\cesam2k\footnote{Avec la variable d'espace Lagrangienne $m$ les op�rateurs
$\dsdt{ }$ et $\dsdx{ }t$ sont �quivalents.}~:
\[\dsdt{x_i} =-\dsdx {F_i}m + \Psi_i,\ F_i=-4\pi R^2\rho\left(4\pi R^2\rho
D_i*\nabla\!_{\rm m}{\cal X}+v_i x_i\right)\]
o� $\nabla\!_{\rm m}{\cal X}$ est le vecteur~:
\[\left( \dsdx{x_1}m,\ldots,\dsdx{x_{\rm c}}m\right)^{\rm T}.\]

\subsection{Jacobien.}
\cesam2k int�grant l'�quation de diffusion avec un sch�ma implicite,
il est n�cessaire de calculer les d�riv�es~:
\begin{equation}\label{eq:vjac}
 \dsdx{v_i}{x_k},\ \dsdx{d_{ij}}{x_k}=x_i\dsdx{b_{ij}}{x_k}+b_{ij}\delta_{ik}
,\ i,j,k=1,\ldots,c,\ \delta_{ik}=1\ {\rm si}\ i=k,\ 0\ {\rm sinon}.
\end{equation}
En d�rivant~:
\[A^{-1}A=I\Rightarrow\dsdx{A^{-1}}{x_k}A+A^{-1}\dsdx A{x_k}=0\Rightarrow
\dsdx{A^{-1}}{x_k}=-A^{-1}\dsdx A{x_k}A^{-1},\]
d'o�~:
\[\dsdx{A^{-1}\gamma}{x_k}=\dsdx{A^{-1}}{x_k}\gamma+A^{-1}\dsdx\gamma{x_k}=
-A^{-1}\dsdx A{x_k}A^{-1}\gamma+A^{-1}\dsdx\gamma{x_k}=
A^{-1}\left(\dsdx\gamma{x_k}-\dsdx A{x_k}v\right),\]
et de fa�on similaire~:
\begin{equation}\label{eq:bjac}
\dsdx B{x_k}=A^{-1}\left(\dsdx G{x_k}-\dsdx A{x_k}B\right).
\end{equation}

\subsection{Acc�l�rations radiatives}\label{sec:accrad1}
\index{acc�l�rations radiatives}\index{acc�l�ration totale}
L'acc�l�ration radiative ressentie par les isotopes
r�sulte de l'impulsion des photons qu'ils absorbent.
En raison de l'anisotropie du rayonnement, m�me dans le milieu �pais,
pour la plupart des isotopes, la composante radiale de l'acc�l�ration
radiative diminue la gravit� locale et donc la s�dimentation.
Deux descriptions dues � G.Al�cian sont implant�es dans \cesam2k.

On simplifie en consid�rant chaque isotope dans l'ensemble de ses �tats
d'ionisation. $m$ �tant la masse � l'int�rieur de la sph�re de rayon $r$,
la gravit� totale $g_{\rm T}$ qui compense le gradient de pression
dans l'�quilibre quasi-statique, est somme de la
partie purement gravitationnelle $g_{\rm G}=-Gm/r^2$,
de l'acc�l�ration centrifuge moyenne $g_\Omega=\frac23 r\Omega^2$ et
d'une partie radiative $g_{\rm R}$.
On postule que $g_{\rm R}$ est la somme, pond�r�e par les masses partielles
des particules ($\sum_{i\not=e} n_im_i$) des
acc�l�rations radiatives $g_{{\rm R}i}$~:
\begin{equation}\label{eq:gnu}
g_{\rm R}=\frac{\sum_{i\not=e} n_i m_ig_{{\rm R}i}}{\sum_{i\not=e} n_im_i}=
\frac{\sum_{i\not=e}\rho N_0 X_ig_{{\rm R}i}}{\sum_{i\not=e} \rho N_0 X_i}=
\frac{\sum_{i\not=e} X_ig_{{\rm R}i}}
{\sum_{i\not=e} X_i}=\sum_{i\not=e} x_i�_ig_{{\rm R}i},
\end{equation}
%Sur la particule $i\not= e$, l'acc�l�ration $g_i$ est somme de
%la gravit� effective $g_{\rm e}\equiv g_{\rm G}+g_\Omega$
%et de la partie radiative $g_{{\rm R}i}$~:
%\[g_i=g_{\rm e}+g_{{\rm R}i}.\]
%Pour faciliter les algorithmes on pose, pour les �lectrons,
%$g_{{\rm R}e}\equiv 0$. On notera la gravit� totale par~:
%\[g_{\rm T}\equiv g_{\rm e}+g_i=g_{\rm e}+\sum_i x_i�_ig_{{\rm R}i},
%\ \dsdx{g_{\rm G}}{x_i}=�_jg_{{\rm R}j}+\sum_ix_i�_i
%\dsdx{g_{{\rm R}i}}{x_j}.\]
\index{forces radiatives}\index{gravit�}
La premi�re description du calcul des acc�l�rations
radiatives\footnote{Ce paragraphe a �t� r�dig� en grande partie par
G. Al�cian.} est effectu�e dans le cadre de l'approximation propos�e par
\citet{a85,aa90}. Sont seuls pris en compte les effets des transitions li�-li�.
C'est une approximation semi analytique o� la d�pendance de
l'acc�l�ration radiative � la concentration apparait dans un terme s�par�
de celui contenant les propri�t�s atomiques des ions. Cette approximation
permet donc de ne calculer qu'un nombre r�duit de quantit�s lorsque la
concentration locale �volue au cours du temps. Pour l'�l�ment $i\not=e$
l'acc�l�ration radiative est obtenue par une somme pond�r�e
des acc�l�rations radiatives de chaque ion $j$~:
\[g_{{\rm R}i}=\sum_{j=0}^{Z_i} x_{j,i}g_{{\rm R}i,j},
\ g_{{\rm R}i,j}=g_{{\rm R_0}i,j}\sqrt{1+\frac{C_{j,i}}{C_{{\rm S}j,i}}},
\ C_{{\rm S}j,i}=b\Psi^2_{j,i},\ g_{{\rm R}_0i,j}=q_i\Phi_{j,i},\]
o� $C_{j,i}=n_{j,i}/n_{\rm H}$ est la concentration, par rapport �
l'hydrog�ne, de l'ion $j$ de l'�l�ment chimique $i$, $C_{{\rm S}j,i}$
sa concentration de saturation et $g_{{\rm R}_0i,j}$
l'acc�l�ration radiative � la
limite de concentration nulle. On remarquera que~:
\[\frac{C_{j,i}}{C_{{\rm S}j,i}}=\frac{x_{j,i}}{x_{{\rm S}j,i}}.\]
Les quantit�s $b$ et $q_i$ sont donn�es par~:
\[b=\frac{m_e m_p\, {\cal C}}{2e^2�_{\rm H}}\frac{n_e\kappa}{\sqrt{T}},
\ q_i=\frac{\pi k^3 e^2}{2 a\, {\cal C}^5 m_e m_u}\frac l{Tr^2�_i},\]
${\cal C}$ est la c�l�rit� de la lumi�re, $m_p$ la masse du proton,
$\kappa$ l'opacit� moyenne de Rosseland, $h$ la constante de Plank,
$a$ la constante de la radiation, $k$ la constante de Boltzman, $r$ le rayon
local et $l$ la luminosit� locale.
Les quantit�s $\Psi^2_{j,i}$ et $\Phi_{j,i}$ sont tabul�es dans le cas de
l'approximation \#2 d�crite dans \citet{amt90} et ce, pour des
masses stellaires de $1M_\odot$ � $2M_\odot$. Les donn�es de la
base Topbase sont utilis�es. Ces tables, qui correspondent � des masses
diff�rentes, sont lues au premier appel de la routine {\tt alecian1}
d�crite au \paragr{sec:accrad}. Les transitions radiatives pour les
isotopes d'un m�me �l�ment se produisant � des fr�quences tr�s proches,
l'opacit� monochromatique de l'ensemble des isotopes d'un m�me �l�ment
est pratiquement �gale � la somme des opacit�s monochromatiques de ses divers
isotopes. Dans \cesam2k, les isotopes apparaissent comme des �l�ments
s�par�s. Pour le calcul des acc�l�rations radiatives, les isotopes d'un m�me
�l�ment sont identifi�s et leurs abondances sont additionn�es de fa\c
con � traiter correctement l'effet de saturation des transitions li�-li�.
Les acc�l�rations radiatives sont ensuite restitu�es isotope par isotope.\\
%Pour la description de la physique du second formalisme du calcul des
%acc�l�rations radiatives, se r�f�rer aux publications de G.Al�cian.

\section{Diffusion du moment cin�tique}\label{sec:difcin}
\cesam2k offre la possibilit� de traiter la diffusion du moment cin�tique
selon le formalisme le formalisme de \citet{tzmm97} ({\embf tz97}) ou
selon celui de \citet{mz04}
({\embf mz04}). Ces deux formalismes diff�rent principalement par
le calcul de la fluctuation du potentiel gravitationnel, simplifi� avec
{\embf tz97}, complet avec {\embf mz04}. Les coefficients de diffusion
peuvent �tre calcul�s suivant les prescriptions de \citet{p03} ou de
\citet{mpz04}.

La diffusion du moment cin�tique et celle des esp�ces chimiques sont coupl�es
par la turbulence du milieu, principalement au voisinage des limites \ZRZC.
La r�solution num�rique du syst�me d'�quations r�gissant ces deux processus
de diffusion s'est av�r�e extr�mement instable. La solution retenue a �t� de
r�soudre s�par�ment les syt�mes d'�quations
correspondant respectivement au moment cin�tique et aux esp�ces chimiques.
La m�thode des �l�ments finis utilis�e pour r�soudre les �quations
de la diffusion du moment cin�tique ne diff�rant de celle utilis�e pour la
diffusion des �l�ments chimiques que par la prise en compte des
conditions limites.

\subsection{Changement de variable $M\rightarrow \nu =\left(\frac
M{M_\odot}\right)^\frac23$}
Les abondances et la vitesse angulaire �tant des variables lagrangiennes,
pour l'int�gration des �quations d'�volution de la composition chimique et
du moment cin�tique, on utilise la variable d'espace $\nu$. Les transformations
eul�rien $\leftrightarrow$ lagran\-gien sont les suivantes~:

\begin{eqnarray*}		%\label{eq:rot1}
&& M=M_\odot m\ ;\
\nu=m^{\frac 23}\ ;\ m=\nu^\frac32\ ;\ M=M_\odot m\ ;\
d\nu=\frac 23 m^{-\frac 13}dm\ ;\
dm=\frac32\sqrt\nu d\nu\\
&& dM=M_\odot dm=M_\odot\frac32\sqrt\nu d\nu\ ;\
\dsdx{ }M=\frac2{3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{ }\nu\\
&& R=R_\odot r\ ;\
dM=\frac{3M_\odot}2\sqrt\nu d\nu=4\pi R^2\rho dR=
4\pi R_\odot^2 r^2\rho dR\\
&& dR=\frac{3M_\odot}{8\pi R_\odot^2}\frac{\sqrt\nu}{r^2\rho} d\nu\ ;\
\dsdx{ }R=\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}{3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{ }\nu
\end{eqnarray*}

\subsection{Quelques notations}
\begin{itemize}
\item $l=\frac L{L_\odot}$~: luminosit�,
\item $�_i$~: masse atomique de l'�l�ment chimique $i$,
\item $\bar{z_i}$~: charge moyenne de l'�l�ment chimique $i$ en tenant
compte de l'ionisation,
\item $\dot{\cal M}$~: taux de perte de masse par unit� de temps,
\item $\dot{\cal M}_\Omega\leq0$~: taux de perte de moment cin�tique par unit�
de masse et de temps.
\end{itemize}
Dans les algorithmes, les variables relatives �
la rotation ont un nom ou une extension comprenant {\tt rot, rota} ou encore
{\tt  w}.

\subsection{Expressions de $H_{\rm P}$, $H_{\rm T}$, $\nabla_�$, $\chi$ etc...
et d�riv�es}\label{sec:hpht}
\begin{eqnarray*}
&& H_{\rm P}=-\dsdx R{\ln P}=\frac P{\rho g}=\frac{PR^2}{GM\rho}=
\frac{R_\odot^2r^2P}{GM_\odot\nu^\frac32\rho}\\
&& \nabla=\dsdx{\ln T}{\ln P}\\
&& H_{\rm T}=-\dsdx R{\ln T}=-\dsdx R{\ln P}\dsdx{\ln P}{\ln T}
=\frac{H_{\rm P}}\nabla\\
&& g(M,R)=\frac{GM}{R^2}=\frac{GM_\odot}{R_\odot^2}\frac{\nu^\frac32}{r^2},
\ \ln g=\ln G+\ln M -2\ln R
\Rightarrow\dsdx{\ln g}{\ln R}=\dsdx{\ln M}{\ln R}-2=
\frac{4\pi R^3_\odot}{M_\odot}\frac{r^3\rho}{\nu^\frac32}-2\\
&& \frac{\tilde g}g=\frac{4R^3}{3GM}\Omega^2=
\frac{4R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac32}\Omega^2\\
&& x_i=\frac{X_i}{�_i},\ �^{-1}=\sum_i(1+\bar{z_i})x_i,
\ \dsdx�{x_i}=-�^2(1+\bar{z_i})\\
&& �^{-1}\simeq\frac1{16}(20X+12-3Z)=
\frac1{16}(20X+12-3(1-X-Y))=\frac1{16}(23X+3Y+9)= \\
&& \frac1{16}(23\nu_{\rm H}x_{\rm H}+3\nu_{\rm He}x_{\rm He}+9)\\
&& �^{-1}\simeq2X+\frac34 Y+\frac9{16}Z=\frac1{16}\left[32X+12\left(1-X-Y\right
)+9Z\right]=\frac1{16}(20X+12-3Z)\\
&& \dsdx{\ln�}\nu=\frac1�\sum_i\dsdx�{x_i}\dsdx{x_i}\nu=
-�\sum_i(1+\bar{z_i})\dsdx{x_i}\nu
\simeq-\frac�{16}\left(23\nu_{\rm H}\dsdx{x_{\rm H}}\nu+
3\nu_{\rm He}\dsdx{x_{\rm He}}\nu\right)\\
&&\phi=-\frac�{80C_{\rm P}}\left\{\left(12Z-48\right)\ln\left(64-48�+12Z�\right)
+\left(32-23Z\right)\ln\left(-16+32�-23Z�\right)\right.\\
&&\left.+5Z\ln\left(5Z\right)+\left(16+6Z\right)\ln\left(32+16�+6Z�\right)
\right\}\\
&&\varepsilon(T,�)\Rightarrow
\varepsilon_�=\dsdx{\ln\varepsilon}{\ln�}=\frac�\varepsilon
\sum_i\dsdx{\varepsilon}{x_i}
\dsdx{x_i}�=-\frac1{�\varepsilon}\sum_i\frac1{1+\bar{z_i}}
\dsdx{\varepsilon}{x_i}=\frac\rho\varepsilon
\dsdx\varepsilon\rho\dsdx{\ln\rho}{\ln�}=\varphi\frac\rho\varepsilon
\dsdx\varepsilon\rho \\
&& \dsdx{\ln�}X\simeq\frac1�\dsdx�X=-\frac{23�}{16},
\ \dsdx{\ln�}Y\simeq-\frac{3�}{16}\\
&&\varepsilon_�\simeq\frac1\varepsilon\left(\dsdx{\varepsilon}X\dsdx X{\ln�}
+\dsdx{\varepsilon}Y\dsdx Y{\ln�}\right)=
-\frac{16}{\varepsilon�}\left(\frac1{23\nu_{\rm H}}\dsdx\varepsilon{x_{\rm H}}+
\frac1{3\nu_{\rm He}}\dsdx\varepsilon{x_{\rm He}}\right) \\
&& \varepsilon_{\rm T}=\dsdx{\ln\varepsilon}{\ln T}=\frac T\varepsilon
\dsdx\varepsilon T \\
&& \varphi=\dsdx{\ln\rho}{\ln�}=\frac�\rho\dsdx\rho�=
\frac�\rho\sum_i\dsdx\rho{X_i}\dsdx{X_i}�=-\frac1{�\rho}
\sum_i\frac{�_i}{1+\bar{z_i}}\dsdx\rho{X_i}\\%\sim
%-\frac{\nu_H}{�\rho(1+\bar{z_H})}\dsdx\rho{X_H}\\
%&&\varphi\dsdx{\ln�}\nu\sim\frac{\nu_H}\rho\dsdx\rho{X_H}\dsdx{x_H}\nu\\
&&{\rm d}{\ln \rho}=\alpha{\rm d}{\ln P}-\delta{\rm d}{\ln T}
+\varphi{\rm d}{\ln�}=\left(\alpha-\delta\nabla\right){\rm d}{\ln P}
+\varphi{\rm d}{\ln�},\\
&&\dsdr P=-\frac{GM\rho}{R^2}\Rightarrow \dsdnu P=-\frac{3GM_\odot^2}{8\pi
R_\odot^4}\frac{\nu^2}{r^4}\Rightarrow\dsdnu{\ln P}=
-\frac{3GM_\odot^2}{8\pi R_\odot^4}\frac{\nu^2}{r^4P}\Rightarrow\\
&&\dsdnu{\ln \rho}=-\frac{3GM_\odot^2}{8\pi R_\odot^4}
\frac{\left(\alpha-\delta\nabla\right)\nu^2}{r^4P}+\varphi\dsdnu{\ln�}\\
&&\rho_m=\frac{3M}{4\pi R^3}=
\frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\nu^\frac32}{r^3}\\
&&{\rm si\ }\dsdx{\ln�}\nu\neq0,
\ \varphi=\left(\dsdx{\ln\rho}\nu-\alpha\dsdx{\ln P}\nu+\delta\dsdx{\ln T}
\nu\right)\Big/\left(\dsdx{\ln�}\nu\right)\\
&& \nabla_�=\dsdx{\ln�}{\ln P}=\dsdx{\ln�}R\dsdx R{\ln P}=
-\dsdx{\ln�}RH_{\rm P}=-\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}{3M_\odot\sqrt\nu}
H_{\rm P}\dsdx{\ln�}\nu=\\
&& \frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho�H_{\rm P}}{\sqrt\nu}
\sum_i(1+\bar{z_i})\dsdx{x_i}\nu
\simeq\frac{\pi R_\odot^2r^2\rho}{6M_\odot\sqrt\nu}
H_{\rm P}\left(23\nu_{\rm H}\dsdx{x_{\rm H}}\nu+
3\nu_{\rm He}\dsdx{x_{\rm He}}\nu\right) \\
&& \nabla_{\rm rad}=\frac{3\kappa LP}{16\pi acGMT^4}=
\frac{3L_\odot}{16\pi acGM_\odot}\frac{\kappa lP}{\nu^\frac32T^4} \\
&& N^2_{\rm T}=\frac{g\delta}{H_{\rm P}}(\nabla_{\rm ad}-\nabla),
\ N^2_�=\frac{g\varphi}{H_{\rm P}}\nabla_� \\
&& \chi=\frac{4acT^3}{3\kappa\rho},\ \ln\chi=3\ln
T-\ln\kappa-\ln\rho-\ln\frac{4ac}3 \\
&&\chi_{\rm T}=\dsdx{\ln\chi}{\ln T}=3-\dsdx{\ln\kappa}{\ln T}-
\dsdx{\ln\rho}{\ln T}=3-\frac T\kappa\dsdx\kappa T+\delta
\left(1+\dsdx{\ln\kappa}{\ln\rho}\right) \\
&& \chi_�=\dsdx{\ln\chi}{\ln�}=-\dsdx{\ln\kappa}{\ln�}
-\dsdx{\ln\rho}{\ln�}=-\frac�\kappa\sum_i\dsdx\kappa{x_i}\dsdx{x_i}�-\varphi=
\frac1{�\kappa}\sum_i\dsdx\kappa{X_i}\frac{�_i}{1+\bar{z_i}}-\varphi \\
&& \chi_�=\dsdx{\ln\chi}{\ln\rho}\dsdx{\ln\rho}{\ln�}=
-\varphi\left(1+\dsdx{\ln\kappa}{\ln\rho}\right) \\
%\simeq-\frac{\nu_H}{�\kappa(1+\bar{z_1})}\dsdx\kappa{X_H}-\varphi\\
&& K=\frac\chi{\rho c_{\rm P}}=\frac{4acT^3}{3\kappa\rho^2 c_{\rm P}} \\
&& \frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}=
\frac ML\dsdx LM=\dsdx{\ln L}{\ln M}=\dsdx{\ln l}{\ln m}\\
%,\ \lim_{\nu\rightarrow0}\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}
%{\varepsilon_{\rm m}}=1\\
&& f_\varepsilon=\frac{\bar\varepsilon}{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}=
\dsdx ML\varepsilon_{nuc}=\frac{M_\odot}{L_\odot}
\varepsilon_{nuc}\dsdx ml\\
%,\ \lim_{\nu\rightarrow0}f_\varepsilon=
%\frac{M_\odot}{L_\odot}\varepsilon_{nuc}\\
&& f_\varepsilon\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}=
\frac{\bar\varepsilon}{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}
\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}=
\frac{\bar\varepsilon}{\varepsilon_{\rm m}}=\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{nuc}}l\nu^\frac32\\
%\ \lim_{\nu\rightarrow0}f_\varepsilon
%\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}=
%\frac{M_\odot}{L_\odot}\varepsilon_{nuc}\\
\end{eqnarray*}

\subsection{Les coefficients de diffusion $D_{\rm h}$,
$D_{\rm v}$ et $D_{\rm eff}$}
\label{sec:cturbrot}\index{diffusivit� horizontale}\index{diffusivit� verticale}
\index{turbulence rotationnelle}
%\subsubsection{Formalisme de Palacios {\em et al}}
%;;;;;;;
\subsubsection{Formalisme de Mathis, Palacios \& Zahn}
Les coefficients de diffusivit� horizontale $D_{\rm h}$ et
verticale $D_{\rm v}$
sont donn�s par  \citet[][eq. 7-10-19]{mpz04}~:
\begin{eqnarray*}
&& D_{\rm h}=R\sqrt{\beta\Omega R\left|2V-\alpha U\right|},
\ \beta=1.5\, 10^{-6},\ V=\frac1{6\rho R}\dsdx{R^2\rho U}R,
\ \alpha=\frac12\dsdx{\ln R^2\Omega}{\ln R} \\
&& D_{\rm h}^2=R^3\beta\Omega\left|\frac1{3R\rho}\dsdx{R^2\rho U}R
-\frac{RU}{2R^2\Omega}\dsdx{R^2\Omega}R\right| =
R^2\beta\Omega\left|\frac1{3\rho}\dsdx{R^2\rho U}R
-\frac U{2\Omega}\dsdx{R^2\Omega}R\right|= \\
&& R^2\beta\Omega\left|\frac{R^2\rho}{3\rho}\dsdx UR+\frac{2R\rho U}{3\rho}
+\frac{R^2U}{3\rho}\dsdx\rho R-\frac{2UR\Omega}{2\Omega}
-\frac{UR^2}{2\Omega}\dsdx{\Omega}R\right|= \\
&& R^2\beta\Omega\left|\frac{R^2}3\dsdx UR+\frac23UR
+\frac{R^2U}{3\rho}\dsdx\rho R-UR
-\frac{UR^2}{2\Omega}\dsdx{\Omega}R\right|= \\
&& R^4\beta\Omega\left|\frac13\dsdx UR-\frac U{3R}
+\frac U{3\rho}\dsdx\rho R
-\frac U{2\Omega}\dsdx{\Omega}R\right|\Rightarrow \\
&& D_{\rm h}^2=\frac{R_\odot^4\beta}3r^4\Omega\left|
\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu}
\left[\dsdx U\nu+U\left(\dsdx{\ln\rho}\nu
-\frac3{2\Omega}\dsdx{\Omega}\nu\right)\right]
-\frac U{R_\odot r}\right| \\
&& D_{\rm h}^2=\left|C_1\Omega\dsdx U\nu+C_2\Omega U-C_3U\dsdx{\Omega}\nu\right|
,\quad C_1=\frac{8\pi R_\odot^6\beta}{9M_\odot}\frac{r^6\rho}{\sqrt\nu} \\
&& C_2=C_1^*-C_2^*,\quad
C_1^*=\frac{8\pi R_\odot^6\beta}{9M_\odot}\frac{r^6\rho}{\sqrt\nu}
\dsdx{\ln\rho}\nu,\quad C_2^*=\frac{R_\odot^3\beta}3r^3
,\quad C_3=\frac{4\pi R_\odot^6\beta}{3M_\odot}\frac{r^6\rho}{\sqrt\nu}\\
&& D_{\rm v}=\frac{Ri_c(K+D_{\rm h})R^2}{N^2_{\rm T}+N^2_�(1+K/D_{\rm h})}
\left(\dsdx\Omega R\right)^2
=\frac{64\pi^2Ri_cR_\odot^6}{9M_\odot^2}\frac{r^6\rho^2}\nu
\frac{D_{\rm h}(1+\frac K{D_{\rm h}})}
{\left[N^2_{\rm T}+N^2_�\left(1+\frac K{D_{\rm h}}\right)\right]}
\left(\dsdx\Omega\nu\right)^2\\
%%%
&&D_{\rm v}=\left\{\begin{array}{ll}
\nu_{\rm cin} &\mbox{si $D_{\rm v} < \nu_{\rm cin}$}\\
D_{\rm v}+\nu_{\rm cin}&\mbox{sinon} \end{array}\right.
,\ \nu_{\rm cin}=\frac{2\,10^{-15}T^\frac52\sqrt{\bar\nu}}
{\rho{\bar z}^4\ln\lambda},\ \lambda=1.3\,10^4T^\frac32 n_e^{-\frac12}\\
&&Ri_c=\frac16,\ \bar z=\frac{\sum_i {\bar z_i}x_i}{\sum_i x_i},
\ \bar\nu=\frac{\sum_i x_i�_i}{\sum_i x_i}\\
%%%
&&D_{\rm eff}=\frac{R_\odot^2r^2U^2}{30D_{\rm h}}+D_{\rm v}
\end{eqnarray*}

Lorsque le diffusion microscopique est prise en compte, le coefficient
$D_{\rm eff}$ de diffusion turbulente g�n�r� par
la diffusion du moment cin�tique est ajout� au coefficient de diffusion
turbulente.

\subsubsection{Formalisme simplifi� de Castro, Vauclair \& Richard}
\citet[][eq. 3-4-5]{cvr07} ont utilis� des coefficients de diffusivit�
simplifi�s~:
\begin{eqnarray*}
&&D_{\rm h} =C_{\rm h}R|U|,\ C_{\rm h}=5\times10^4\\
&&D_{\rm v} =C_{\rm v}R|U|,\ C_{\rm v}=\alpha-\frac1{30C_{\rm h}},\ \alpha=6\\
&&D_{\rm eff}=\alpha R|U|
\end{eqnarray*}

\subsection{Formalisme de \citet{tzmm97}}
\subsubsection{Les variables}\label{sec:varcin}
\begin{itemize}
\item $x_i,\ i=1,\ldots,n_c$~: abondances par mole
\item $y_1\equiv\Omega$~: vitesse angulaire s$^{-1}$,
\item $y_2\equiv U$~: vitesse de circulation m�ridienne,
\item $y_3\equiv\Theta=\frac{\tilde\rho}\rho$~: taux de fluctuation
de la densit� le long d'une isobare
\item $y_4\equiv\Lambda=\frac{\tilde�}�$~: taux de fluctuation
du poids mol�culaire moyen le long d'une isobare
\item $y_5\equiv\Psi\equiv\frac{\tilde T}T=\frac{\varphi\Lambda-\Theta}\delta$~:
taux de fluctuation de la temp�rature le long d'une isobare
\item $y_6\equiv{\cal T}$: taux de transfert du moment cin�tique par unit� de masse.
\item $y_7\equiv\Upsilon$ : second membre de l'�quation de la vitesse de
circulation m�ridienne.
\end{itemize}
Pour l'int�gration num�rique, le syst�me des �quations de la diffusion du moment
cin�tique est transform� en un syt�me de 7 �quations du premier ordre.
La variable ind�pendante lagrangienne est $\nu$.

\subsubsection{Transport du moment cin�tique}
Dans une \ZR, le  moment cin�tique par unit� de masse,
$R^2\Omega=R^2y_1$, v�rifie l'�quation de transport \citep[][eq. 4]{tzmm97}~:
\begin{eqnarray}\label{eq:tmc}
&& \rho\dsdt{R^2\Omega}=\frac1{R^2}\dsdx{}R\left[R^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+D_{\rm v}\dsdx\Omega R\right)\right]
-\rho\dot{\cal M}_\Omega\Rightarrow\\ \nonumber
&&R_\odot^2\dsdt{r^2\Omega}=
\frac{8\pi R_\odot^6r^2\rho}{3M_\odot R_\odot^2r^2\rho\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left[r^4\rho\left(\frac{\Omega U}5+
\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho D_{\rm v}}{3M_\odot\sqrt\nu}
\dsdx\Omega\nu\right)\right]-\dot{\cal M}_\Omega\Rightarrow\\ \nonumber
&& \dsdt{r^2\Omega}=
\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{}\nu\left[r^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}{3M_\odot\sqrt\nu}
D_{\rm v}\dsdx\Omega\nu\right)\right]-\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2}
\Rightarrow\\ \nonumber
&& \sqrt\nu\dsdt{r^2\Omega}=
 \frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}\dsdx{}\nu(r^4\rho\Omega U)
+\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}\dsdx{}\nu
\left(\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}\dsdx\Omega\nu\right)
-\frac{\dot{\cal M}_\Omega\sqrt\nu}{R_\odot^2}
\end{eqnarray}

Pour l'int�gration par collocation les �quations sont mises sous la forme :
\begin{eqnarray}\label{eq:tomega}
&& C_1\Omega-C_2=\dsdnu{\cal T}\\
&&{\cal T}=C_3\Omega U +C_4\dsdx\Omega\nu\\ \nonumber
&& C_1=\frac{r^2\sqrt\nu}{\Delta t}
,\ C_2=(C^*_{11}-C^*_{12})\sqrt\nu,\ C^*_{11}=\frac{r^2(t)\Omega(t)}{\Delta t}
,\ C^*_{12}=\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2} \\ \nonumber
&& C_3=\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho,\
C_4=\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\end{eqnarray}

\subsubsection{Expressions initiales de $\breve E_\Omega$ et $\breve E_�$}
 Au paragraphe suivant, dans les expressions initiales de
 \citet{tzmm97}, pour $E_\Omega$ et $E_�$ des termes ont �t�
 regroup�s. Pour r�f�rence, on reproduit les �quations originales not�es
$\breve E_\Omega$ pour $\tilde E_\Omega$ et $\breve E_�$ pour $\tilde E_�$;
$\tilde E_\Omega$ et $\tilde E_�$ sont d�finis plus avant.

\begin{eqnarray*}
\breve E_\Omega=&&-\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdx{}R
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac\Theta\delta\right)
+\left(1-\frac{\chi_{\rm T}+1}\delta\right)\Theta\right]
-\frac{2H_{\rm T}}R\left(1+\frac{D_{\rm h}}K\right)\frac\Theta\delta
+\frac23\Theta\right\} \\
&&-\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}
\left\{H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac\Theta\delta\right)
+\left[f_\varepsilon\left(\frac{\varepsilon_{\rm T}}\delta-1\right)+2
-\frac{\chi_{\rm T}+1}\delta
\right]\Theta\right\}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\breve E_�=&&\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdx{}R
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac\varphi\delta\Lambda\right)
-\left(\chi_�+\frac{\chi_{\rm T}+1}\delta\varphi\right)\Lambda
\right]-\frac{2H_{\rm T}}R\frac\varphi\delta\Lambda
\right\} \\
&&+\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac\varphi\delta\Lambda\right)+
\left(f_\varepsilon\varepsilon_�+f_\varepsilon\varepsilon_{\rm T}\frac\varphi\delta
-\chi_�-\frac{\chi_{\rm T}+1}\delta\varphi\right)\Lambda\right]
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Expression v�rifi�e par $E_\Omega$}
Les quantit�s concern�es\footnote{La quantit� $\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}$
 a �t� introduite par S.Mathis
\& JP. Zahn, pour �liminer une singularit� sur $U$ au centre, quand
le c\oe ur est radiatif.} de $\breve E_\Omega$ et $\breve E_�$ ont �t�
regroup�es dans $E_\Omega$.
\begin{eqnarray*}
E_\Omega=&&2\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}\right)
\frac{\tilde g}g+\tilde{E_\Omega}\\
=&&\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}
+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\frac{r^3\Omega^2}{\nu^\frac32}+\tilde{E_\Omega} \\
\tilde{E_\Omega}=&&\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdx{}R\left[
H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac{\varphi\Lambda-\Theta}\delta\right)\right.\right.\\
&& \left.\left.-\left(1+\chi_{\rm T}\right)\frac{\varphi\Lambda-\Theta}\delta
-\Theta-\chi_�\Lambda\right]\right.  \\
&& \left.-2\frac{H_{\rm T}}R\left(\frac{\varphi\Lambda-\Theta}\delta
+\frac{R\Theta}{3H_{\rm T}}-\frac{D_{\rm h}}K\frac\Theta\delta\right)\right\}\\
\tilde{E_\Omega}= && \frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}
\frac{\nu^\frac32}{r^3\rho}
\left\{\frac{8\pi R_\odot^3}{9M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left[\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx{}\nu\Psi\right.\right. \\
&&\left.\left.-\left(1+\chi_{\rm T}\right)\Psi
-\Theta-\chi_�\Lambda\right]\right.\\
&& \left.-2\frac{H_{\rm T}}{R_\odot r}\left(\Psi+\frac{R_\odot}3\frac{r\Theta}{H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}K\frac\Theta\delta\right)\right\}\\
\tilde{E_\Omega}=&&\nu\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}\dsdx{}\nu\left(
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\Psi\nu\right)\\
&&+\frac23\nu\dsdx{}\nu\left\{-\left(1+\chi_{\rm T}\right)\Psi
-\Theta-\chi_�\Lambda\right\}\\
&&-\nu\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left[\Psi+\left(\frac{R_\odot r}{3H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}{K\delta}\right)\Theta\right] \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Expression v�rifi�e par $E_�$}
Les quantit�s concern�es de $\breve E_\Omega$ et $\breve E_�$ ont �t�
regroup�es dans $E_�$.
\begin{eqnarray*}
E_�=&&\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}
\left[H_{\rm T}\dsdx{}R\left(\frac{\varphi\Lambda-\Theta}\delta
\right)\right.\\
&& \left.+\left(f_\varepsilon\varepsilon_{\rm T}-\chi_{\rm T}-1\right)
\frac{\varphi\Lambda-\Theta}\delta-\left(2-f_\varepsilon\right)\Theta+
\left(f_\varepsilon\varepsilon_�-\chi_�\right)\Lambda\right]= \\
&&\nu\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\Psi\nu+
\nu\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{nuc}}l\sqrt\nu
\left(\varepsilon_{\rm T}\Psi+\Theta+\varepsilon_�\Lambda\right)\\
&& -\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac1\nu\left[\left(\chi_{\rm T}+1\right)\Psi+2\Theta+
\chi_�\Lambda\right] \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Expression v�rifi�e par $U=y_2$}\label{sec:uinit}
Dans les zones radiatives~:
\begin{eqnarray}\label{eq:uinit}
&& \frac ML\left[\frac{Uc_pT}{H_p}\left(\nabla_{ad}-\nabla
+\frac\varphi\delta\nabla_�\right)-\frac{c_pT}\delta\dsdt\Theta\right]\\
\label{eq:u}
&& -2\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}-
\frac{\bar\varepsilon+\bar\varepsilon_g}{\varepsilon_{\rm m}}\right)
\frac{\tilde g}g=\tilde{E_\Omega}+E_�\Rightarrow \\ \nonumber
&&\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\nu^\frac32}l
\left[\frac{c_pT}{H_p}\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�
\right)U-\frac{c_pT}\delta\frac{\Theta-\Theta(t)}{\Delta t}
\right]\\ \nonumber
&&-\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}
+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\frac{r^3\Omega^2}{\nu^\frac32}=\\ \nonumber
&&\nu\left\{\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}\dsdx{}\nu\left(
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\Psi\nu\right)
-\frac23\dsdx{}\nu\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\Psi
+\Theta+\chi_�\Lambda\right]\right.\\ \nonumber
&&\left.+\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\Psi\nu
-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left[\Psi+\left(\frac{R_\odot r}{3H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}{K\delta}\right)\Theta\right]\right.\\ \nonumber
&&\left.+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{nuc}}l\sqrt\nu
\left(\varepsilon_{\rm T}\Psi+\Theta+\varepsilon_�\Lambda\right)
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac1\nu\left[\left(\chi_{\rm T}+1\right)
\Psi+2\Theta+\chi_�\Lambda\right]\right\}\\ \nonumber
&&\Longrightarrow \\ \nonumber
&&\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\nu^\frac32}{l\nu}
\left[\frac{c_pT}{H_p}\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�
\right)U-\frac{c_pT}\delta\frac{\Theta-\Theta(t)}{\Delta t}\right]\\ \nonumber
&&-\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}
\left(1-\frac{\Omega^2}{2\pi G\rho}+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
\frac{r^3\Omega^2}{\nu^\frac52}
-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\Psi\nu \\ \nonumber
&&+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left[\Psi+\left(\frac{R_\odot r}{3H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}{K\delta}\right)\Theta\right]
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{nuc}}l\sqrt\nu
\left(\varepsilon_{\rm T}\Psi+\Theta+\varepsilon_�\Lambda\right)\\ \nonumber
&&+\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac1\nu\left[\left(\chi_{\rm T}+1\right)
\Psi+2\Theta+\chi_�\Lambda\right]=
\dsdnu{}\left(\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\Psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\Psi+\Theta
+\chi_�\Lambda\right]\right)\\ \nonumber
&&\Longrightarrow \\ \nonumber
&&\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{lH_p}
\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right)U
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta}
\frac{\Theta-\Theta(t)}{\Delta t} \\ \nonumber
&&-\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\Omega^2+\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}\Omega^4
-\frac{4R_\odot^3\Omega^2_0}{3\pi G^2M_\odot\rho_0}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\Omega^2+\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^3}{\nu^\frac52}\Omega^2 \\ \nonumber
&&+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}\Psi
-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\Psi\nu
+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}\left(\frac{R_\odot}3\frac r{H_{\rm T}}
-\frac{D_{\rm h}}{K\delta}\right)\Theta \\ \nonumber
&&-\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_{\rm T}\sqrt\nu}l\Psi-
\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l\Theta-
\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_�\sqrt\nu}l
\Lambda+\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_{\rm T}+1}\nu\Psi \\ \nonumber
&&+\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Theta
+\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_�}\nu\Lambda=
\dsdnu{}\left(\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\Psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\Psi+\Theta
+\chi_�\Lambda\right]\right) \\ \nonumber
&&\Longrightarrow \\ \nonumber
&&\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}
\Omega^4-\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}
\frac{r^3}{\nu^\frac52}\left(1+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}
-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Omega^2 \\ \nonumber
&&+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{lH_p}
\left(\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right)U
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta\Delta t}\Theta
+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu\Theta(t)}{l\delta\Delta t}\\\nonumber
&&+\left(\frac{M_\odot}{2\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho}
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
+\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho K\delta}D_{\rm h}\right)\Theta \\ \nonumber
&&+\left(\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_�}\nu
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_�\sqrt\nu}l
\right)\Lambda+\left(\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}-\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_{\rm T}\sqrt\nu}l
+\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_{\rm T}+1}\nu\right)\Psi \\ \nonumber
&&-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}\dsdx\Psi\nu
=\dsdnu{}\left(\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\Psi\nu
-\frac23\left[\left(1+\chi_{\rm T}\right)\Psi+\Theta
+\chi_�\Lambda\right]\right)
\end{eqnarray}

La forme utilis�e pour l'int�gration num�rique est :
\begin{eqnarray} \label{eq:U}
&&\left(C_5\Omega^2-C_7\right)\Omega^2+C_{10}+C_6U
+C_{11}\Theta+C_{15}\Lambda+C_{12}\Psi
-C_{13}\dsdx\Psi\nu=\dsdnu\Upsilon\\
&&\Upsilon=C_{17}\Theta+C_{18}\Lambda+C_{16}\Psi+C_{14}\dsdx\Psi\nu\\ \nonumber
&& C_5=\frac{4R_\odot^3}{3\pi G^2M_\odot}\frac{r^3}{\rho\nu^\frac52}
,\quad C_6=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{lH_p}
\left|\nabla_{ad}-\nabla+\frac\varphi\delta\nabla_�\right|,\\ \nonumber
&& C_7=\frac{8R_\odot^3}{3GM_\odot}\frac{r^3}{\nu^\frac52}
\left(1+\frac{\Omega^2_0}{2\pi G\rho_0}-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right),\quad
C_{10}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta\Delta t}\Theta(t)
 \\ \nonumber
&& C_{11}=C^*_2-C^*_3+C^*_4-C^*_5-C^*_{15}
,\quad C^*_2=\frac{M_\odot}{2\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho}
,\quad C^*_3=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\\ \nonumber
&& C^*_4=\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}
,\quad C^*_5=\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu D_{\rm h}}{r^4\rho K\delta}
,\quad C^*_{15}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_pT\sqrt\nu}{l\delta\Delta t}
 \\ \nonumber
&& C_{12}=C^*_6-C^*_7+C^*_8
,\quad C^*_6=\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
,\quad C^*_7=\frac{M_\odot}{L_\odot}
\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\varepsilon_{\rm T}\sqrt\nu}l\\ \nonumber
&& C^*_8=\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_{\rm T}+1}\nu
,\quad C_{13}=\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\dsdx{\ln l}{\ln m}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^\frac32}
,\quad C_{14}=\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu} \\ \nonumber
&& C_{15}=C^*_9-C^*_{10}
,\quad C^*_9=\dsdx{\ln l}{\ln m}\frac{\chi_�}\nu
,\quad C^*_{10}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}
\varepsilon_�\sqrt\nu}l \\ \nonumber
&& C_{16}=-\frac23\left(1+\chi_{\rm T}\right)
,\quad C_{17}=-\frac23,\quad C_{18}=-\frac23\chi_�
\end{eqnarray}

\subsubsection{Expression v�rifi�e par $\Theta=y_3$}\label{sec:eqtheta}
\begin{equation}\label{eq:theta}
\Theta=\frac{\tilde\rho}{\bar\rho}=\frac{R^2}{3g}\dsdx{\Omega^2}R
\end{equation}
\begin{eqnarray*}
&& \Theta=\frac{R_\odot^2r^2R_\odot^2r^28\pi R_\odot^2r^2\rho2\Omega}
{3GM_\odot\nu^\frac32 3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{\Omega}\nu
=\frac{16\pi R_\odot^6}{9GM_\odot^2}\frac{r^6\rho\Omega}{\nu^2}
\dsdx{\Omega}\nu
\end{eqnarray*}
La forme utilis�e pour l'int�gration num�rique est :
\begin{eqnarray}
&& \Theta-C_{19}\Omega\dsdnu\Omega=0\\ \nonumber
&&C_{19}=\frac{16\pi R_\odot^6}{9GM_\odot^2}\frac{r^6\rho}{\nu^2}
\end{eqnarray}
\subsubsection{Fluctuation du poids mol�culaire $\Lambda=y_4$}
L'expression v�rifi�e par $\Lambda$ est un probl�me de valeur initiale~:
\begin{eqnarray*}
&&\dsdt\Lambda=\frac{\nabla_�U}{H_{\rm P}}-\frac{6D_{\rm h}\Lambda}{R^2}
\end{eqnarray*}
La forme utilis�e pour l'int�gration num�rique est :
\begin{eqnarray}\label{eq:lambda}
&&C_{20}\Lambda-C_{22}-C_{21}U=0 \Longleftrightarrow
\Lambda=\frac{C_{22}+C_{21}U}{C_{20}} \\ \nonumber
&& C_{20}=C^*_1+C^*_{13},\quad C^*_1=\frac1{\Delta t}
,\quad C^*_{13}=\frac{6D_{\rm h}}{R_\odot^2r^2}
,\quad C_{21}=\frac{\nabla_�}{H_{\rm P}}
,\quad C_{22}=\frac{\Lambda(t)}{\Delta t}
\end{eqnarray}
Expression susbtitu�e � $\Lambda$ dans les �quations pr�c�dentes.

\subsubsection{Expression v�rifi�e par $\Psi=y_5$}
\begin{eqnarray*}
&&\Psi=\frac{\varphi\Lambda-\Theta}\delta
\end{eqnarray*}
La forme utilis�e pour l'int�gration num�rique est :
\begin{eqnarray}\label{eq:psi}
&& \Psi-C_{24}\Lambda+C_{23}\Theta=0 \\ \nonumber
&& C_{24}=\frac\varphi\delta,\quad C_{23}=\frac1\delta
\end{eqnarray}

\subsection{Formalisme de \citet{mz04}}
\subsubsection{Les variables}\label{sec:varmz}
On all�ge les notations originales~:
\[\Phi\Rightarrow\phi,\ \hat\phi_2\Rightarrow\Phi,\ \Psi_2\Rightarrow\Psi,\
U_2\Rightarrow U,\ \Lambda_2\Rightarrow\Lambda,\ {\cal A}_2\Rightarrow A.\]
Les indications entre parenth�ses, telles que (Equ. B4), renvoient aux �quations
de l'article de r�f�rence.

\noi On note les variables principales par des Majuscules~:
\begin{enumerate}
\item $x_i,\ i=1,\ldots,n_c$~: abondances par mole
\item $y_1\equiv\Omega$~: vitesse angulaire s$^{-1}$,
\item $y_2\equiv U$~: vitesse de circulation m�ridienne,
\item $y_3\equiv\Psi\equiv\frac{\tilde T}T=\frac{\varphi\Lambda-\Theta}\delta$~:
taux de fluctuation de la temp�rature le long d'une isobare
\item $y_4\equiv\Lambda=\frac{\tilde�}�$~: taux de fluctuation
du poids mol�culaire moyen le long d'une isobare
\item $y_5\equiv{\cal T}$: taux de transfert du moment cin�tique par unit�
de masse.
\item $y_6\equiv\Upsilon$ : second membre de l'�quation de la vitesse de
circulation m�ridienne.
\item $y_7\equiv\Phi$ : taux de fluctuation du potentiel
 gravitationnel le long d'une isobare.
\item $y_8\equiv\Pi$ : second membre de l'�quation de Poisson.
\end{enumerate}
On ram�ne le syst�me des �quations � un syst�me d'�quations du premier ordre
totalement implicite. Il est r�solu par la m�thode de collocation.\\
Les facteurs num�riques sont not�s par $F_n$ pour les diff�rencier de
ceux du formalisme de \citet{tzmm97}.

\subsubsection{Transport du moment cin�tique}
Dans une \ZR, le moment cin�tique par unit� de masse v�rifie l'�quation de
transport vertical (\citet{mz04}, �quation 19)~:
\begin{eqnarray}\label{eq:tmc2}
&& \rho\dsdt{R^2\Omega}=\frac1{R^2}\dsdx{}R\left[R^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+D_{\rm v}\dsdx\Omega R\right)\right]
-\rho\dot{\cal M}_\Omega\Rightarrow\\ \nonumber
&&R_\odot^2\dsdt{r^2\Omega}=
\frac{8\pi R_\odot^6r^2\rho}{3M_\odot R_\odot^2r^2\rho\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left[r^4\rho\left(\frac{\Omega U}5+
\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho D_{\rm v}}{3M_\odot\sqrt\nu}
\dsdnu\Omega\right)\right]-\dot{\cal M}_\Omega\Rightarrow\\ \nonumber
&& \dsdt{r^2\Omega}=
\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot\sqrt\nu}\dsdx{}\nu\left[r^4\rho\left(
\frac{\Omega U}5+\frac{8\pi R_\odot^2r^2\rho}{3M_\odot\sqrt\nu}
D_{\rm v}\dsdnu\Omega\right)\right]-\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2}
\Rightarrow\\ \nonumber
&& \sqrt\nu\dsdt{r^2\Omega}=\dsdx{}\nu\left(
\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho\Omega U
+\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}
\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}\dsdnu\Omega\right)
-\frac{\dot{\cal M}_\Omega\sqrt\nu}{R_\odot^2}
\end{eqnarray}
Avec les notations des algorithmes, les �quations s'�crivent~:
\begin{eqnarray}\label{eq:diffF}
&&F_{26}\Omega-F_{30}=\dsdnu{\cal T},\quad
{\cal T}=F_{31}\Omega U +F_{32}\dsdnu\Omega\\\nonumber
&& F_{26}=\frac{r^2\sqrt\nu}{\Delta t}
,\ F_{30}=(F^*_{12}+F^*_{13})\sqrt\nu,
\ F^*_{12}=\frac{r^2(t)\Omega(t)}{\Delta t}
,\ F^*_{13}=-\frac{\dot{\cal M}_\Omega}{R_\odot^2} \\ \nonumber
&& F_{31}=\frac{8\pi R_\odot^2}{15M_\odot}r^4\rho,\
F_{32}=\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}
\end{eqnarray}

\subsubsection{Vitesse de circulation m�ridienne  $U$ (Equ. B4)}
\begin{eqnarray}
\label{eq:u1}
&& 0=\frac{Mg\rho c_{\rm P}T}{LP}\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U
\\ \label{eq:u2}
&&+2\left\{1-\frac1{6\pi G\rho R^2}\dsdr{R^3\Omega^2}
-\frac{\epsilon+\epsilon_g}{\epsilon_m}\right\}\left\{\frac{R^2\Omega^2}{3g^2}
\ddx gR-\frac{2R\Omega^2}{3g}-\ddx{}R\left(\frac\Phi{g}\right)\right\}
\\ \label{eq:u3}
&&+\frac{R\Omega}{3\pi G\rho}\dsdr\Omega
\\ \label{eq:u4}
&&-\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdr A
-\frac{2H_{\rm T}}R\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\right\}
\\ \label{eq:u5}
&&-\frac{\epsilon+\epsilon_g}{\epsilon_m}
\left\{A+\left[f_\epsilon\left(\epsilon_{\rm T}-\delta\right)+\delta\right]\Psi+
\left[f_\epsilon\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)-\varphi\right]\Lambda\right\}
\\ \label{eq:u6}
&&+\frac{Mc_{\rm P}T}L\left(\dsdt\Psi+\phi\dsdt{\ln�}\Lambda\right)
\end{eqnarray}
On d�veloppe successivemnt chaque ligne.

\paragraph{Expressions d�riv�es de A (Equ. B5)}
Pour profiter de la r�duction d'un ordre de d�rivation (donc d'une variable
principale) r�sultant de l'int�gration par parties,
comme il a �t� fait avec le groupe d'�quations de Talon/Zahn, on divise
les �quations (Eq. B4) par $\nu$ et on remplace $\cal A$ par son
expression (Eq. B5).
\begin{eqnarray*}
&& A=H_{\rm T}\dsdr\Psi-\left(1-\delta+\chi_{\rm T}\right)\Psi
-\left(\varphi+\chi_�\right)\Lambda\\
&& A=\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}
\dsdx\Psi\nu-\left(1-\delta+\chi_{\rm T}\right)\Psi
-\left(\varphi+\chi_�\right)\Lambda\\
&& \frac23\dsdnu A= \dsdx{}\nu\left(\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}\dsdx\Psi\nu\right)
-\dsdx{}\nu\left(\frac23\left(1-\delta+\chi_{\rm T}\right)\Psi\right)
-\dsdx{}\nu\left(\frac23\left(\varphi+\chi_�\right)\Lambda\right)=\\
&& \dsdx{}\nu\left(F_{17}\dsdx\Psi\nu\right)+\dsdx{F_{18}\Psi}\nu+
\dsdx{F_{11}\Lambda}\nu, \\
&&\ F_{17}=\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu},\ F_{18}=-\frac23(1-\delta+\chi_{\rm T}),
\ F_{11}=-\frac23(\varphi+\chi_�),\\
&& \frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}A=\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln l}{\ln m}\dsdx\Psi\nu
-\frac{1-\delta+\chi_{\rm T}}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Psi
-\frac{\varphi+\chi_�}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Lambda\rightarrow\\
&& \frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}A=-F_{12}\dsdx\Psi\nu
-\frac{1-\delta+\chi_{\rm T}}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Psi
-\frac{\varphi+\chi_�}\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\Lambda,\\
&&F_{12}=-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln l}{\ln m}.
\end{eqnarray*}

\paragraph{\Eq{eq:u1}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{Mg\rho c_{\rm P}T}{LP}\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U=
\nu\left\{\frac{M_\odot}{L_\odot} \frac{c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lH_{\rm P}}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U\right\}\\
\end{eqnarray*}

\paragraph{\Eq{eq:u2}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac2\nu\left\{1-\frac1{6\pi G\rho R^2}\dsdr{R^3\Omega^2}
-\frac{\epsilon+\epsilon_g}{\epsilon_m}\right\}=
\frac2\nu-\frac1{3\pi G\rho R^2\nu}\left(3R^2\Omega^2
+2R^3\Omega\dsdr\Omega\right)-\frac2\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}=\\
&&\frac2\nu\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)-\frac{\Omega^2}{\pi G\rho\nu}
-\frac{2R}{3\pi G\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\\
%%
&&\frac{R^2}{3g^2}\ddx gR\Omega^2
-\frac{2R\Omega^2}{3g}-\ddx{}R\left(\frac\Phi{g}\right)=
\left(\frac R{3g}\ddx{\ln g}{\ln R}-\frac{2R}{3g}\right)\Omega^2
+\frac1{Rg}\ddx{\ln g}{\ln R}\Phi-\frac1g\dsdr\Phi=\\
&& \frac R{3g}\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^2
+\frac1{gR}\ddx{\ln g}{\ln R}\Phi-\frac1g\dsdr\Phi\\
%%2{-}{-}
&&2\{-\}\{-\}=\nu\left(\frac2\nu\{-\}\{-\}\right)=\\
&&\nu\left\{\frac{2R}{3g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^2
+\frac2{g\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Phi\right.\\
&&\left.-\frac2{g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\dsdr\Phi
-\frac R{3\pi Gg\rho\nu}\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^4
-\frac1{\pi Gg\rho\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}{\Omega^2}\Phi\right.\\
&&\left.+\frac1{\pi Gg\rho\nu}\Omega^2\dsdr\Phi
%%
-\frac{2R^2}{9\pi Gg\rho\nu}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^3\dsdr\Omega\right.\\
%%
&&\left.-\frac2{3\pi Gg\rho\nu}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega\Phi\dsdr\Omega
%%
+\frac{2R}{3\pi Gg\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\dsdr\Phi\right\}
\end{eqnarray*}

\paragraph{\Eq{eq:u3}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{R\Omega}{3\pi G\rho}\dsdr\Omega=\nu\left\{
\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}
\Omega\dsdnu\Omega\right\}\\
\end{eqnarray*}

\paragraph{\Eq{eq:u4}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{\rho_m}\rho\left\{\frac R3\dsdr A
-\frac{2H_{\rm T}}R\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\right\}=\\
&&\frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\nu^{\frac32}}{r^3\rho}
\frac{R_\odot r}3
\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho}{\sqrt\nu}\dsdnu A
-\frac{3M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\nu^{\frac32}}{r^3\rho}
\frac{2H_{\rm T}}{R_\odot r}\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi=\\
&&\nu\frac23\dsdnu A-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}
\frac{H_{\rm T}\nu^{\frac32}}{r^4\rho}\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi=\\
&&\nu\left\{\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right)+\dsdnu{F_{18}\Psi}+
\dsdnu{F_{11}\Lambda}
-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\right\}\\
\end{eqnarray*}

\paragraph{\Eq{eq:u5}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{\epsilon+\epsilon_g}{\epsilon_m}\left\{A+\left[f_\epsilon
\left(\epsilon_{\rm T}-\delta\right)+\delta\right]\Psi+\left[f_\epsilon
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)-\varphi\right]\Lambda\right\}=\\
&&\nu\left\{\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}A
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left[\left(f_\epsilon
\left(\epsilon_{\rm T}-\delta\right)+\delta\right)\right]\Psi
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left[\left(f_\epsilon
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)-\varphi\right)\right]\Lambda\right\}=\\
&&\nu\left\{-F_{12}\dsdnu\Psi
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(f_\epsilon
\left(\epsilon_{\rm T}-\delta\right)+2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)\Psi
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(f_\epsilon
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)-2\varphi-\chi_�\right)\Lambda\right\}=\\
&&=\nu\left\{-F_{12}\dsdnu\Psi
+\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_{\rm T}-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)\right)\Psi
\right.\\
&&\left.+\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_�\right)\right)
\Lambda\right\}
\end{eqnarray*}

\paragraph{\Eq{eq:u6}}
\begin{eqnarray*}
&&\frac{Mc_{\rm P}T}L\left(\dsdt\Psi+\phi\dsdt{\ln�}\Lambda\right)=\\
&&\nu\left\{\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\Psi
+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\ln�-\ln�^t\right)\Lambda
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}\right\}
%\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{mc_{\rm P}T}{l\Delta t}\left(\Psi-\Psi^t
%+\phi\left(\ln�-\ln�^t\right)\Lambda\right)
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Regroupement}
\begin{eqnarray*}
%%1
&&0=\frac{M_\odot}{L_\odot} \frac{c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lH_{\rm P}}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U\\
%%2
&&+\frac{2R}{3g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^2
+\frac2{g\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Phi\\
&&-\frac2{g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\dsdr\Phi
-\frac R{3\pi Gg\rho\nu}\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^4
-\frac1{\pi Gg\rho\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega^2\Phi\\
&&+\frac1{\pi Gg\rho\nu}\Omega^2\dsdr\Phi
-\frac{2R^2}{9\pi Gg\rho\nu}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^3\dsdr\Omega\\
&&-\frac2{3\pi Gg\rho\nu}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega\Phi\dsdr\Omega
+\frac{2R}{3\pi Gg\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\dsdr\Phi
%%3
+\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\Omega\dsdnu\Omega\\
%%4
&&-\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right)-\dsdnu{F_{18}\Psi}-\dsdnu{F_{11}\Lambda}
+\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\Psi\\
%%5
&&+F_{12}\dsdnu\Psi
-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_{\rm T}-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)\right)\Psi\\
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_�\right)\right)\Lambda\\
%%6
&&+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\Psi
+\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\ln�-\ln�^t\right)\Lambda
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}
\end{eqnarray*}

Ou encore~:
\begin{eqnarray*}
%%Omega^4
&&0=-\frac R{3\pi Gg\rho\nu}\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^4
%%Omega^3 dOmega/dR
-\frac{2R^2}{9\pi Gg\rho\nu}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^3\dsdr\Omega\\
%%Omega^2
&&+\frac{2R}{3g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\Omega^2
%%Omega dOmega/dnu
+\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\Omega\dsdnu\Omega
%%Omega^2 dPhi/dR
+\frac1{\pi Gg\rho\nu}\Omega^2\dsdr\Phi\\
%%Omega^2 Phi
&&-\frac1{\pi Gg\rho\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega^2\Phi
%%Omega dOmega/dR dPhi/dR
+\frac{2R}{3\pi Gg\rho\nu}\Omega\dsdr\Omega\dsdr\Phi
%%Omega Phi dOmega/dR
-\frac2{3\pi Gg\rho\nu}\ddx{\ln g}{\ln R}\Omega\Phi\dsdr\Omega\\
%%Phi
&&+\frac2{g\nu R}\ddx{\ln g}{\ln R}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\Phi\\
%%d Phi /dR
&&-\frac2{g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\dsdr\Phi
%%\d a Psi
-\dsdnu{F_{18}\Psi}
%%\d a Lambda
-\dsdnu{F_{11}\Lambda}
%%\d2 Psi
-\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right)
%%\d Psi
+F_{12}\dsdnu\Psi\\
%% Psi
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_{\rm T}-\delta\right)
+\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right)
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t}\right.\\
&&\left.-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\right)\Psi\\
%%Lambda
&&-\left(\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right)
-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_�\right)
-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\ln�-\ln�^t\right)\right)\Lambda\\
%% cte
&&-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}
%%U
+\frac{M_\odot}{L_\odot} \frac{c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lH_{\rm P}}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)U
\end{eqnarray*}

La formulation utilis�e s'�crit~:
\begin{eqnarray}\nonumber
&& F_1\Omega^4+F_2\Omega^3\dsdnu\Omega+F_3\Omega^2 +F_4\Omega\dsdnu\Omega
+F_5\Omega^2\dsdnu\Phi+F_6\Omega^2\Phi+F_7\Omega\dsdnu\Omega\dsdnu\Phi
\\ \nonumber
&&+F_8\Omega\Phi\dsdnu\Omega+F_9\Phi
+F_{10}\dsdnu\Phi-\dsdx{F_{18}\Psi}\nu-\dsdx{F_{11}\Lambda}\nu
-\dsdx{}\nu\left(F_{17}\dsdx\Psi\nu\right)+F_{12}\dsdx\Psi\nu\\\nonumber
&& +F_{13}\Psi+F_{14}\Lambda+F_{15}+F_{16}U=0\Longrightarrow \\\nonumber
&& (F_1\Omega^2+F_3)\Omega^2+(F_2\Omega^2+F_8\Phi+F_4)\Omega\dsdnu\Omega
+(F_6\Omega^2+F_9)\Phi+F_7\Omega\dsdnu\Omega\dsdnu\Phi\\
&& +\left(F_5\Omega^2+F_{10}\right)\dsdnu\Phi+F_{12}\dsdx\Psi\nu
+F_{13}\Psi+F_{14}\Lambda+F_{15}+F_{16}U=\dsdnu\Upsilon\\
&& \Upsilon=F_{17}\dsdx\Psi\nu+F_{11}\Lambda+F_{18}\Psi
\end{eqnarray}

Les coefficients ont pour expressions~:
\begin{eqnarray*}
%%Omega^4
&&F_1\Omega^4,
\ F_1=-\frac{R_\odot}{3\pi G}\frac r{\rho\nu g}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)
%%Omega^3 dOmega/dR
,\ F_2\Omega^3\dsdnu\Omega,
\ F_2=-\frac{16R_\odot^4}{27M_\odot G}\frac {r^4}{g\nu^{\frac32}}
\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)\\
%%Omega^2
&&F_3\Omega^2, F_3=\frac{2R_\odot}3\frac r{g\nu}\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}
\right)\left(\ddx{\ln g}{\ln R}-2\right)
%%Omega dOmega/dnu
,\ F_4\Omega\dsdnu\Omega,
\ F_4=\frac{8R_\odot^3}{9M_\odot G}\frac{r^3}{\nu^{\frac32}}\\
%%Omega^2 dPhi/dnu
&&F_5\Omega^2\dsdnu\Phi,
\ F_5=\frac{8R_\odot^2}{3M_\odot G}\frac{r^2}{g\nu^{\frac32}}
%%0mega^2 Phi
,\ F_6\Omega^2\Phi,
F_6=-\frac1{\pi GR_\odot}\frac1{g\rho\nu r}\ddx{\ln g}{\ln R}
%%Omega dOmega/dnu dPhi/dnu
,\ F_7\Omega\dsdnu\Omega\dsdnu\Phi,
\ F_7=\frac{128\pi R_\odot^5}{27M_\odot^2G}\frac{r^5\rho}{g\nu^2}\\
%%Omega Phi dOmega/dnu
&&F_8\Omega\Phi\dsdnu\Omega,
\ F_8=-\frac{16R_\odot^2}{9M_\odot G}\frac{r^2}{g\nu^{\frac32}}
\ddx{\ln g}{\ln R}
%%Phi
,\ F_9\Phi,
\ F_9=\frac2{R_\odot}\frac1{g\nu r}\ddx{\ln g}{\ln R}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)\\
%%dPhi/dnu
&&F_{10}\dsdnu\Phi,
F_{10}=-\frac{16\pi R_\odot^2}{3M_\odot}\frac{r^2\rho}{g\nu^{\frac32}}
\left(1-\dsdx{\ln l}{\ln m}\right)
%%d.Phi/dnu
,\ \dsdnu{F_{11}\Lambda},
F_{11}=-\frac23(\varphi+\chi_�)\\
%%dPsi/dnu
&&F_{12}\dsdnu{\Psi},
\ F_{12}=-\frac{8\pi R_\odot^2}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\nu^{\frac32}}\dsdx{\ln l}{\ln m}\\
%%Psi
&&F_{13}\Psi,\ F_{13}=-\left(F^*_1+F^*_2+F^*_3+F^*_4\right),
\ F^*_1=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_{\rm T}-\delta\right),\\
&& F^*_2=\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\delta-1-\chi_{\rm T}\right),
\ F^*_3=-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T}{l\Delta t},
\ F^*_4=-\frac{3M_\odot}{2\pi R_\odot^4}\frac{H_{\rm T}\sqrt\nu}{r^4\rho}
\left(1+\frac{D_h} K\right)\\
%%Lambda
&&F_{14}\Lambda,\ F_{14}=-\left(F^*_5+F^*_6+F^*_7\right),
\ F^*_5=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\varepsilon_{\rm nuc}\sqrt\nu}l
\left(\epsilon_\mu+\varphi\right),\\
&&F^*_6=-\frac1\nu\dsdx{\ln l}{\ln m}\left(2\varphi+\chi_�\right),
\ F^*_7=-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\phi}{l\Delta t}
\left(\ln�-\ln�^t\right)\\
%%coeff
&&F_{15},
\ F_{15}=-\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{\sqrt\nu c_{\rm P}T\Psi^t}{l\Delta t}
%%U
,\ F_{16}U,
\ F_{16}=\frac{M_\odot}{L_\odot}\frac{c_{\rm P}T\sqrt\nu}{lH_{\rm P}}
\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)\\
%%d/dnu(.dPsi/dnu)
&&\dsdnu{}\left(F_{17}\dsdnu\Psi\right),
\ F_{17}=\frac{16\pi R_\odot^2}{9M_\odot}
\frac{r^2\rho H_{\rm T}}{\sqrt\nu}
%%%%d.Psi/dnu
,\ F_{18}\Psi,
\ F_{18}=-\frac23(1-\delta+\chi_{\rm T})
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Relation barocline (Equ. B6)}
\begin{eqnarray}\nonumber
&&\Theta=\frac{R^2}{3g}\dsdx{\Omega^2}R=\frac{2R^2}{3g}\Omega\dsdx{\Omega}R
=\varphi\Lambda-\delta\Psi\Longrightarrow
\frac{16\pi R_\odot^4}{9M_\odot}\frac{r^4\rho}{g\sqrt\nu}
\Omega\dsdnu\Omega-\varphi\Lambda+\delta\Psi=0\Longrightarrow\\ \label{eq:baro}
&& F_{19}\Omega\dsdnu\Omega+F_{20}\Lambda+F_{21}\Psi=0 \\ \nonumber
&& F_{19}=\frac{16\pi R_\odot^4}{9M_\odot}\frac{r^4\rho}{g\sqrt\nu},
\ F_{20}=-\varphi,\ F_{21}=\delta
\end{eqnarray}

%\input sans_phi

\subsubsection{Fluctuations du poids mol�culaire (Equ. B7) }
\begin{eqnarray}\label{eq:lambd}
&& \dsdt\Lambda+\left(\frac{6D_{\rm h}}{R^2}-\dsdt{\ln�}\right)\Lambda
-\frac{U\nabla_�}{H_{\rm P}}=0 \Longrightarrow
\ F_{22}U+F_{23}\Lambda+F_{24}=0 \\ \nonumber
&& F_{22}=-\frac{\nabla_�}{H_{\rm P}},\ F_{23}=F^*_8+F^*_9,
\ F^*_8=\frac6{R_\odot^2}\frac{D_{\rm h}}{r^2},
\ F^*_9=-\frac{\ln�-\ln�^t-1}{\Delta t},
\ F_{24}=-\frac{\Lambda^t}{\Delta t}
\end{eqnarray}
Pour la formation des algorithmes, cette expression a �t� substitu�e � $\Lambda$
dans les �quations pr�c�dentes.

\subsubsection{Equation de Poisson (Equ. B8)}\label{sec:poisson}
\begin{eqnarray*}
&&0=\frac1R\dsdxx{R\Phi}R-\left(\frac6{R^2}+\frac{4\pi G}g\dsdr\rho\right)\Phi
+\frac{8\pi G}3\frac{\rho R}g\Omega^2-\frac{4\pi G}{3g}\dsdr{}
\left(\rho R^2\Omega^2\right)\\
&&\frac1R\dsdxx{R\Phi}R=\frac1R\dsdr{}\left(\Phi+R\dsdr\Phi\right)\\
&&\frac{8\pi G}3\frac{\rho R}g\Omega^2-\frac{4\pi G}{3g}
\dsdr{}\left(\rho R^2\Omega^2\right)=\\
&&\frac{4\pi G}{3g}2R\rho\Omega^2-
\frac{4\pi G}{3g}\left(2R\rho+R^2\dsdr\rho\right)\Omega^2-
\frac{8\pi G}{3g}\rho R^2\Omega\dsdr\Omega=\\
&&-\frac{4\pi G}3\frac{R^2\rho}g\dsdr{\ln\rho}\Omega^2-
\frac{8\pi G}3\frac{\rho R^2}g\Omega\dsdr\Omega
\Longrightarrow\\
&&0=\frac{8\pi R_\odot}{3M_\odot}\frac{r\rho}{\sqrt\nu}
\dsdx{}\nu\left(\Phi+\frac{8\pi R_\odot^3}{3M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}
\dsdnu\Phi\right)
-\left(\frac6{R_\odot^2r^2}+\frac{32\pi^2 R_\odot^2G}{3M_\odot}
\frac{r^2\rho^2}{g\sqrt\nu}\dsdx{\ln\rho}\nu\right)\Phi\\
&&-\frac{32\pi^2 R_\odot^4G}{9M_\odot}\frac{r^4\rho^2}{g\sqrt\nu}
\dsdnu{\ln\rho}\Omega^2-\frac{64\pi^2 R_\odot^4 G}{9M_\odot}
\frac{r^4\rho^2}{g\sqrt\nu}\Omega\dsdnu\Omega \\
%\end{eqnarray*}
%\begin{eqnarray*}
&&\mbox{En multipliant par}\ \frac{3M_\odot}{8\pi R_\odot}
\frac{\sqrt\nu}{r\rho}\ : \\
&&\dsdx{}\nu\left(\Phi+\frac{8\pi R_\odot^3}{3M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu}
\dsdnu\Phi\right)
-\left(\frac{9M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho}
+4\pi R_\odot G\frac{r\rho}g\dsdx{\ln\rho}\nu\right)\Phi \\
%%
&&-\frac{4\pi R_\odot^3G}3\frac{r^3\rho}g\dsdnu{\ln\rho}\Omega^2
-\frac{8\pi R_\odot^3 G}3\frac{r^3\rho}g\Omega\dsdnu\Omega=0
\end{eqnarray*}

L'�quation de Poisson se ram�ne �~:
\begin{eqnarray}
&& F_{29}\Omega^2+F_{28}\Omega\dsdnu\Omega+F_{27}\Phi=\dsdnu\Pi\\
&&\Pi=\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi\\ \nonumber
&& F_{25}=\frac{8\pi R_\odot^3}{3M_\odot}\frac{r^3\rho}{\sqrt\nu},
\ F_{27}=F^*_{10}+F^*_{11},
\ F^*_{10}=\frac{9M_\odot}{4\pi R_\odot^3}\frac{\sqrt\nu}{r^3\rho},
\ F^*_{11}=4\pi G R_\odot\frac{r\rho}g\dsdx{\ln\rho}\nu,\\ \nonumber
&&F_{28}=\frac{8\pi GR_\odot^3}3\frac{r^3\rho}g,
\ F_{29}=\frac{4\pi R_\odot^3G}3\frac{r^3\rho}g\dsdnu{\ln\rho}
\end{eqnarray}

\subsection{Les conditions physiques dans les zones m�lang�es}
\label{sec:condphys}
Les zones m�lang�es, \ie\ \ZCs\ �ventuellement overshoot�es,
apparaissent, disparaissent au cours de l'�volution. L'observation semble
montrer que la vitesse angulaire y est constante, il y a
{\embf rotation solide}.
Dans le milieu turbulent la vitesse de circulation m�ridienne $U$ n'a pas de
sens physique.
De fait, le gradient de la vitesse angulaire n'est pas exactement nul, il
correspond � un transfert de moment cin�tique qui assure la
quasi uniformit� de la vitesse angulaire. Ce mod�le correspond bien
� l'image que l'on peut se faire d'un
m�lange qui, bien que rapide, ne peut �tre instantann�.
Son �chelle de temps est
toutefois petite en regard des autres �chelles de temps en pr�sence, celles de
Kelving-Helmotz en particulier.\\
Avec une rotation solide
$\dsdnu\Omega=0$. Le moment cin�tique par unit� de masse $R^2\Omega$ n'est pas
constant.
Le moment cin�tique total dans une \ZC\ varie au cours de l'�volution,
� cause d'une part des variations des condions physiques, temp�rature, densit�
composition chimique et, d'autre part en raison des modifications de son
�tendue.A l'image de ce qui est fait pour la composition chimique,
\cesam2k propose deux formalismes pour assurer l'uniformisation
de la vitesse angulaire.
\medskip

{\embf Formalisme par diffusion :}\index{diffusion}
L'uniformisation de la vitesse angulaire dans les \ZCs\ est r�alis�e par une
diffusion verticale de
coefficient tr�s grand devant l'unit�, $D_{\rm v}>>1$.
Les �quations de transport vertical du moment cin�tique
\mref{eq:tomega} et \mref{eq:diffF}, dans les \ZC, deviennent respectivement~:
\begin{eqnarray}\label{eq:ufic}
&&C_1\Omega-C_2=\dsdnu{\cal T},\quad{\cal T}=C_4\dsdnu\Omega \\
&&F_{26}\Omega-F_{30}=\dsdnu{\cal T},\quad{\cal T}=F_{32}\dsdnu\Omega
\end{eqnarray}
Dans \lleq{eq:lambd} d'�volution des fluctuations du poids mol�culaire,
$D_{\rm h} >> 1$ entra�ne $\Lambda=0$ et, de l�, $\Psi=0$ (\cf\eq{eq:baro}).
Ces conditions entra�nent la discontinuit� des gradients des
fonctions inconnues aux limites entre zones radiatives et zones m�lang�es. Pour
�viter d'introduire des limites internes mobiles et en nombre
variable, ce qui compliquerai l'int�gration num�rique, des bases de B-splines
continues non d�rivables sont utilis�es pour la
diffusion du moment cin�tique. Les discontinuit�s des gradients
sont alors implicitement prises en compte par \cesam2k.\\
Ainsi dans les zones m�lang�es~:
\begin{equation}\nonumber
\dsdnu\Omega\sim0,\ U=0,\ \Theta=0,\ \Lambda=0,
\ \Psi=0, \ \Upsilon=0.
\end{equation}
Dans une \ZC, le taux de transport vertical du moment cin�tique se r�duit � :
\begin{eqnarray}\nonumber
&&{\cal T}=\frac{64\pi^2 R_\odot^4}{9M_\odot^2}
\frac{r^6\rho^2D_{\rm v}}{\sqrt\nu}\dsdnu\Omega
\end{eqnarray}
et l'�quation de transport vertical du moment cin�tique devient~:
\begin{eqnarray*}
&&C_1\Omega-C_2=\dsdnu{\cal T}, \quad {\cal T}=C_4\dsdnu\Omega\\
&&F_{26}\Omega-F_{30}=\dsdnu{\cal T},\quad
{\cal T}=F_{32}\dsdnu\Omega
\end{eqnarray*}
Dans une \ZR, la diffusion verticale du moment cin�tique proc�de de deux
processus, une advection li�e � la vitesse de circulation m�ridienne et une
diffusion proprement dite.
Le processus d'�change de moment cin�tique entre une \ZC et une \ZR
adjacentes est inconnu. On admet que la vitesse angulaire et le taux de
transfert vertical du moment cin�tique sont des fonctions
continues sur les limites \ZC/\ZR.
En raison des mouvements turbulents � grande
�chelle dont la \ZC\ est le si�ge, le taux de transfert vertical de moment
cin�tique
entre une  \ZC\ et une \ZR\ adjacentes est suppos� correspondre au taux du
processus d'advection affectant la \ZR.
\begin{eqnarray*}
{\cal T}=C_3U\Omega,\quad{\cal T}=F_{31}U\Omega
\end{eqnarray*}
La r�solution de ces �quations conduit � la connaissance de la valeur de la
vitesse de circulation m�ridienne cot� radiatif des limites \ZRZC.\\
La vitesse de circulation m�ridienne $U$
n'intervient pas dans les �quations v�rifi�es dans les \ZC, \cfequ{eq:ufic}.
Du point de vue algorithmique, il est possible d'utiliser la variable attach�e
� $U$ dans l'int�gration de \lleq{eq:ufic} et de supposer $U$ comme une variable
continue aux limites \ZR / \ZC. Ce dispositif, utilis� dans \cesam2k,
simplifie les algorithmes.
Dans les \ZCs, on d�finit une vitesse $U$ par:
\begin{eqnarray*}
U=\frac{\cal T}{C_3\Omega},\quad U=\frac{\cal T}{F_{31}\Omega}
\end{eqnarray*}

%{\embf Formalisme par int�gration:}\index{LIM\_JPZ}\index{integration}
%\citet{tzmm97} supposent que le transport entre \ZCZR\ adjacentes ne
%correspond pas seulement � un transport vertical
%mais proc�de du transfert de la variation temporelle du
%moment cin�tique dans la \ZC\ dans le terme d'advection de l'�quation de
%transport du moment cin�tique � la limite \ZRZC:
%\begin{eqnarray*}
%\dsdt{}\int_{\rm ZC}R^4\rho\Omega dR=\frac15R^4\rho\Omega U=\pm{\cal T}
%\end{eqnarray*}
%le signe + �tant utilis� lorsque la \ZC\ est sous-jacente � la \ZR, comme � la
%limite d'un c\oe ur convectif, le signe -- dans le cas contraire comme
%� la limite
%interne de la \ZC\ externe. La vitesse angulaire dans la \ZC, a la valeur la moyenne:
%\begin{eqnarray*}
%\bar\Omega M_{\rm ZC}=\int_{\rm ZC}\Omega dM.
%\end{eqnarray*}

\subsection{Les conditions physiques aux limites}
Le probl�me diff�rentiel, dans son ensemble est constitu� d'un probl�me
diff�rentiel de
conditions initiales pour $\Lambda$, d'une d�finition pour $\Psi$, de probl�mes
probl�me aux limites de conditions initiales pour $\Omega$, $U$ et $\Phi$.
Pour sa r�solution num�rique, il est ramen� � un
probl�me aux limites de conditions initiales contitu�, suivant le formalisme
retenu, de 7 ou 8 �quations diff�rentielles et scalaires. La m�thode num�rique
utilis�e n�cessite la connaissance d'un nombre �gal de conditions limites.

\medskip
\noi{\embf Le centre~:} ($\nu=\nu_0=0$), suivant l'�tat d'�volution le centre
peut �tre situ� dans une \ZR\ ou dans une \ZC.
Les conditions limites utilis�es sont~:
\begin{eqnarray*}
&&\dsdnu\Omega=0,\quad U=0,\quad\Lambda=0,\quad\Upsilon=0
\quad{\rm (formalisme\ {\tt tz97})}\\
&&\dsdnu\Omega=0,\quad U=0,\quad\Lambda=0,\quad\Upsilon=0,\quad\Phi=0
\quad{\rm (formalisme\ {\tt mz04})}\\
\end{eqnarray*}

\medskip
\noi{\embf La surface~:}  La partie externe de l'enveloppe, zone d'ionisation
de l'hydrog�ne, est toujours une \ZC.

\medskip
\noi{\embf Limite externe pour l'�quation de Poisson~:}
Suivant \citet{mz04} le potentiel gravitationnel $\Phi$ v�rifie (correction
faite d'une erreur d'homog�n�it�)~:
\begin{eqnarray*}
&& 3\Phi+R\dsdr\Phi=0\Rightarrow\Phi=-\frac
R3\dsdr\Phi\Rightarrow\Phi=-\frac{F_{25}}3\dsdnu\Phi\Rightarrow \\
&& \Pi=\Phi+F_{25}\dsdnu\Phi=\frac23F_{25}\dsdnu\Phi=-2\Phi
\end{eqnarray*}
Les conditions limites utilis�es sont~:
\begin{eqnarray*}
&&U=0,\quad\Psi=0,\quad\Theta=0\quad{\rm (formalisme\ {\tt tz97})}\\
&&{\cal T}=0,\quad\Psi=0,\quad\Pi+2\Phi=0
\quad{\rm (formalisme\ {\tt mz04})}\\
\end{eqnarray*}

\subsection{Les conditions initiales}\index{W\_FORM}
Des conditions initiales doivent �tre d�finies pour la vitesse angulaire
$\Omega_0$, la vitesse de circulation m�ridienne $U_0$ et le taux de fluctuation
du poids mol�culaire moyen~$\Lambda_0$. Les conditions initiales sont �tablies
par la routine PRIVATE {\tt initialise\_rota} du module {\tt MOD\_CESAM}.

{\embf Vitesse angulaire initiale~:} on ne dispose pas de donn�es
observationnelles permettant d'inf�rer la r�partition spatiale de la vitesse
angulaire d'un mod�le initial de \PMS\ ou de \ZAMS. Faute de mieux, \cesam2k
suppose la rotation solide. La vitesse angulaire initiale est d�duite
de la variable {\tt W\_ROT} du fichier de donn�es {\tt mon\_modele.don},
\cfparagr{sec:fichdon}.\\
Il est toutefois possible d'utiliser un profil de rotation grossi�rement
similaire � celui que l'on peut inf�rer des observations de sismologie solaire~:
\begin{eqnarray*}
 \Omega_0(r,0)=\Omega_0\left\{1+q\left[1+
 \cos\left(\pi\frac r{R_\star}\right)\right]\right\}
\end{eqnarray*}
$\Omega_0$ est la vitesse angulaire initiale, �ventuellement
d�duite de la p�riode de rotation et du rayon total initial,
\cfparagr{sec:fichdon}. $q \geq -1$ est un param�tre
permettant de fixer le rapport entre la vitesse angulaire
au centre et � la surface, $q=0$ correspond � une rotation rigide.
$q$ est la variable {\tt w\_form} du module {\tt MOD\_DONNEES} elle y est fix�e �
0. Pour utiliser une valeur diff�rente, il convient de la
red�finir � l'aide d'un fichier de "r�glages", \cfparagr{sec:reg}.
Avec $q \neq 0$, le profil de $\Omega_0$ n'est pas iniformis� dans les
\ZC. $\Omega$ est initialis� dans la routine {\tt w\_initial} du module
{\tt MOD\_CESAM}.\\
{\embf Vitesse de circulation m�ridienne initiale~:} cette quantit� n'est pas
accessible � l'observation. De fa�on euristique, dans la routine
{\tt u\_initial} du module {\tt MOD\_CESAM}, $U_0$ est obtenu par la relation
empirique~:
\[U_0(R)=\frac{|w_{\rm rot}|u_i}{2-(R/R_\star)^2}\]
o� $u_i$ est un param�tre fix� � $10^{-4}$ et $w_{\rm rot}$
la valeur de la variable {\tt W\_ROT} du fichier de donn�es
{\tt mon\_modele.don}.\\
{\embf Taux de fluctuation du poids mol�culaire moyen~:} $\Lambda$
est suppos� nul � l'instant initial~: $\Lambda_0=0$.\\
{\embf Conditions initiales pour $\Theta$, et $\Psi$~:} elles sont n�cessaires
pour la r�solution num�rique, la formulation des �quations �tant implicite.
\cesam2k les calcule � partir des relations
les d�finissant, \cfequ{eq:theta} et \equ{eq:psi}, en utilisant les
valeurs initiales retenues pour $\Omega$ et $\Lambda$.\\
{\embf Conditions initiales pour $\Phi$~:} Le potentiel gravitationnel initial
doit v�rifier l'�quation de Poisson. Il est obtenu en int�grant
l'�quation de Poisson du formalisme de \citet{mz04} par �l�ments finis.

\subsection{Pertes / gains de moment cin�tique}\label{sec:pertecin}
Par l'interm�diaire de la routine g�n�rique {\tt pertw}
\cesam2k offre la possibilit� d'utiliser
diff�rentes formes de pertes/gains de moment cin�tique.
Chacune d'elles d�pend d'un param�tre libre, respectivement
$a,\ \gamma,\ \varpi $, transmis par la variable {\tt p\_pertw}
du fichier de donn�es, \cfparagr{sec:fichdon}.
Une valeur n�gative/positive de ce param�tre
correspond � une perte/gain de moment cin�tique.
Cette perte/gain de moment cin�tique ne concerne que la \ZC\ externe.
Les formes suivantes sont implant�es dans \cesam2k~:
\begin{itemize}
\item {\tt pertw\_sch}~: La variation temporelle de moment cin�tique par unit�
de masse et de temps, proportionnelle � $\Omega^3$ (Schumanish), est mod�lis�e
par~:
\[\dot{\cal M}_\Omega=aR^2\Omega_{\rm s}^3,\quad |a|\sim 1.10^{-9}{\rm s}. \]
\item {\tt pertw\_loc}~: Perte / gain de moment cin�tique proportionnel
� l'�nergie cin�tique de rotation locale. La variation temporelle
de moment cin�tique par unit� de masse est mod�lis�e par~:
\[\dot{\cal M}_\Omega=\gamma R^2\Omega^2,\quad |\gamma|\sim 10^{-13}
\sim10^{-14}. \]
\item {\tt pertw\_ptm}~: Perte / gain de moment cin�tique cons�quence
d'une perte / gain de masse $\dot{\cal M}$. Dans le cas d'une perte de
masse, $\dot{\cal M}<0$, on suppose qu'une couche externe se d�tache
et emporte avec elle son moment cin�tique, alors $\varpi=1$.
La perte de moment cin�tique par unit� de masse est approch�e par~:
\[\dot{\cal M}_\Omega=\varpi\frac{\dot{\cal M}}{M_{\rm ZC}}R_{\rm ZC}^2
\Omega_{\rm ZC}.\]
Dans le cas d'un gain de masse, $\dot{\cal M}>0$,
on suppose que l'apport de masse est anim� d'une vitesse angulaire
�gale � celle de la couche externe avec un rayon de giration �gal au rayon de
l'�toile,$\varpi>0$ peut �tre utilis� pour adapter ces dispositions.

\item {\tt pertw\_0}~: On ignore les perte / gain de moment cin�tique.
La variation temporelle
de moment cin�tique est mod�lis�e par~:\[\dot{\cal M}_\Omega=0.\]
\end{itemize}

{\embf Chutes de plan�to�des~:} un gain/perte de moment cin�tique
de la \ZC\ externe r�sulte des chutes de plan�to�des, \cfparagr{sec:planet}.
En notant $\Omega_{\rm pl}$ la vitesse angulaire des plan�to�des,
$R_{\rm pl}\geq R_\star$ le rayon de giration des plan�to�des,
l'apport de moment cin�tique par unit� de masse est~:
\[\dot{\cal M}_\Omega=\frac{N_{\rm P}M_\oplus}{M_{\rm ZC}}{\cal P}(t)
R_{\rm pl}^2\Omega_{\rm pl}.\]
$N_{\rm P}>0$ est le nombre total de plan�to�des de masse
terrestre, $M_\oplus$, re�us par l'�toile, ${\cal P}(t)$ la fonction
d�crivant la d�pendance temporelle, \cfparagr{sec:cplanet}.
Une vitesse angulaire positive des plan�to�des accroit le
moment cin�tique total de la \ZC\ externe.


%-----------------en rayon d�but----------------------------------

%\subsection{Formalisme en rayon}
%\input Rvariables
%\input Rexpression
%\input Rdeff
%\input Rtransport
%\input RderivA
%\input Rgroup
%\input Rbaroc
%\input Rpoiss

%----------------en rayon fin-------------------------------------------



\section{La convection}
\subsection{Crit�res de convection}\label{sec:swlx}
L'�nergie est transport�e par convection lorsqu'est v�rifi�
\cf \citet[][p. 276]{cg68} ou encore
\citet[][p. 39]{kw91}~:\index{Schwarzschild}\index{Ledoux}
\begin{itemize}
\item  soit le crit�re de Ledoux, qui tient compte du gradient
de composition chi\-mi\-que~:
 \begin{displaymath}
\gradrad<\gradad^*+\frac\varphi\delta\gradmu\ \sim\
 \frac{4-3\beta}\beta\left(\gradad^*-\gradrad\right)+\gradmu<0,\
 (\varphi\equiv\frac{d\ln\rho}{d\ln�},\ \gradmu\equiv\frac{d\ln�}{d\ln P})
 \end{displaymath}
ici $\beta=P_{\rm gaz}/P$, $P_{\rm gaz}$ est la pression gazeuse,
$P=P_{\rm gaz}+P_{\rm rad}$ est la pression totale,
$P_{\rm rad}=a/3T^4$ est la pression de radiation et~:
 \begin{displaymath}
  �^{-1}=�_i^{-1}+�_e^{-1}\sim 2X+\frac 34Y+\frac Z2=\frac{3+5X-Z}4,
  \ \gradmu=\frac{4\pi R^4}{GM}\frac P�\dsdx� X\dsdx XM,
 \end{displaymath}
\item  soit le crit�re de Schwarzchild~:
 \begin{displaymath}
  \gradad^*-\gradrad<0.
 \end{displaymath}
\end{itemize}
On a not� $\gradad^*$ le gradient corrig� de la pression turbulente~:
\begin{equation}\label{eq:gradstar}
 \gradad^*=\frac{\Gamma_2-1}{\Gamma_2}\ddx{\ln P_{\rm gaz}}{\ln P}.
\end{equation}
Le calcul de $\frac\varphi\delta\gradmu$ n�cessite la connaissance des
taux d'ionisation partielle des divers �l�ments. Ces quantit�s ne sont
pas explicitement accessibles avec les �quations d'�tat
tabul�es dont on dispose. Pour le crit�re de Ledoux on utilise
l'approximation "gaz parfait avec radiation" de l'�quation d'�tat
\citep[][Eq.3-30, p. 276]{cg68} :
\[P=\frac{\rho{\cal{R}}T}\mu+\frac a3 T^4\]
m�ne � l'approximation fr�quemment utilis�e~:
\[\frac\varphi\delta\sim\frac\beta{4-3\beta}.\]
%\medskip
%\PB{Bien que dans la pr�sente version de \cesam2k la somme ne porte
%que sur l'hydrog�ne ,l'usage du crit�re de Ledoux est {\bf d�licat}.}
%\medskip%\noindent
Suivant la valeur {\tt .TRUE.} ou {\tt .FALSE.}, de la variable logique
{\tt ledoux} de la NAMELIST {\tt NL\_CONV} du fichier de donn�es,
l'un ou l'autre de ces deux
crit�res est utilis�.\index{NL\_CONV}
Le crit�re de convection est formul� dans les routines {\tt thermo},
\cfparagr{sec:thermo}
{\tt thermo\_atm}, \cfparagr{sec:thermoatm} et {\tt dgrad}, \cf
\paragr{sec:dgrad}.
Dans la restitution de la partie convective de l'atmosph�re,
le gradient radiatif sera modifi�
afin d'assurer la continuit� du gradient de temp�rature,
\cfparagr{sec:rac}.

\subsection{Calcul du gradient convectif}\label{sec:gradconv}
\index{conv\_jmj.f}\index{conv\_a0.f}
La routine {\tt conv\_jmj}, \cfparagr{sec:convjmj}, utilise
un formalisme proche de celui de \citet{hvb65}~:
\begin{eqnarray}
&& \nabla-\gradad^*=\frac{\Gamma(\Gamma+1)}B,
\ \gradad^*=\frac{\Gamma_2-1}{\Gamma_2}\ddx{\ln P_{\rm gaz}}{\ln P},
\ B=\xi\frac{l^4g \delta(\rho c_{\rm p})^2}{H_{\rm p} K^2},\label{eq:gstar}\\
&& \ K=\frac{4acT^3}{3\kappa\rho},
\ g=\frac{GM}{R^2},\ \xi=\frac1{72}\left(3\frac V{Al}\right)^2
\left(1+\frac{2Al}{3V\tau^2}\right)^2,\nonumber
\end{eqnarray}
$\Pgaz$ est la pression gazeuse \ie\ thermodynamique + radiative et
$P$ est la pression totale \ie\ gazeuse + turbulente, \cfparagr{sec:pturb},
 $P= \Pgaz+\Ptur$,
$\tau$ est l'�paisseur optique Rosseland de l'�l�ment convectif~:
\begin{displaymath}
\tau=\kappa\rho l=\kappa\rho\alpha H_{\rm p},
\end{displaymath}
$l=\alpha H_{\rm p}$ est la longueur de m�lange,
$H_{\rm p}=-\ddx{R}{\ln P}=P/\rho g$ est
l'�chelle de hauteur de pression. $\Gamma$ est
l'efficacit� de la convection, z�ro r�el de la cubique~:
\begin{eqnarray}\label{eq:cub}
&& \Phi\Gamma^3+\Gamma(\Gamma+1)=B(\gradrad-\gradad^*),\\
&& \Phi=\varphi\left(1+\frac{2Al}{3V\tau^2}\right)^{-1},
\ \varphi=\frac 32\left(3\frac V{Al}\right)^{-1},
\nabla_{\rm rad}=\frac 3{16\pi a c G}\frac{\kappa L P}{mT^4}.\nonumber
\end{eqnarray}
La quantit� $V/A$ est le rapport du volume/surface de l'�l�ment convectif.
Le terme correctif $\dsdx{\ln P_{\rm gaz}}{\ln P}$ qui affecte le gradient
adiabatique $\gradad\equiv\frac{\Gamma_2-1}{\Gamma_2}$ dans l'expression
de $\nabla^*$, \cf \eq{eq:gstar}, est
introduit pour avoir une estimation du gradient de temp�rature lors d'une
transformation adiabatique avec pression turbulente,
ce qui est tr�s approximatif et physiquement mal �tabli.

En un point d'une zone convective,
il semble irr�aliste que la longueur de m�lange puisse �tre
sup�rieure � la distance qui s�pare ce point de la plus proche
limite de la zone convective. Ainsi que \citet{e72} l'a propos�,
dans la routine {\tt conv\_a0}, \cfparagr{sec:conva0},
la longueur de m�lange est prise �gale �
$l=\alpha_0H_{\rm p}$ avec
$\alpha_0\equiv\alpha(1-\gradad^*/\gradrad)$,
la longueur de m�lange utilis�e devenant nulle � chaque limite
\ZRZC. Cette approximation est justifi�e par le fait
que les grandes incertitudes inh�rentes �
la th�orie ne justifient pas d'introduire une trop grande rigueur
dans les d�tails, \cf \citet{cg68}.
Par ailleurs, l'introduction de la distance
exacte change la nature du probl�me, il devient
int�gro-diff�rentiel ce qui complique consid�rablement la r�solution
num�rique. Introduire la distance exacte � la plus proche limite n'est pas
imm�diat, du moins algorithmiquement, car le probl�me devient globalement
implicite. Ce qu'�vite la formulation locale d'Eggleton.

\noi Dans {\tt conv\_jmj} et {\tt conv\_a0}  %{\tt conv\_gong}
ces �quations sont r�solues avec $\xi=1/162$,
$\Phi=9/4$ et $V/Al = 2/9$. La recherche du z�ro de
la cubique est faite � l'aide de l'algorithme de d�flation.

\noi La mise en \oe uvre de {\tt conv\_jmj} a b�n�fici�
de la collaboration de J.Provost et de MJ.Goupil.

\medskip
\index{conv\_cm.f}
Dans la routine {\tt conv\_cm}, \cfparagr{sec:convcm}, le gradient de
temp�rature dans les zones convectives est calcul�
selon les prescriptions de \citet{cm91};
l'expression (63) de ces auteurs, mise sous la forme implicite �quivalente~:
\[0=\nabla+\Phi(\nabla-\gradad^*)-\gradrad\]
est r�solue it�rativement. $\Phi$ est donn� par
\citet[][eq. 32]{cm91}~:
 \[\Phi=a_1\Sigma^m[(1+a_2\Sigma)^n-1]^p,\ \Sigma=4A^2(\nabla-\gradad^*),
 \ A=\frac{l^2}{9\chi}\sqrt{\frac g{2\Hp}},\ \chi=\frac{K}{\rho c_{\rm p}}
 \]
 ainsi que (5) et (6) avec $a_1=24.868$,
 $a_2=9.7666\times 10^{-2}$, $m=0.14972$, $n=0.18931$ et $p=1.8503$.
 Comme d�finie
 pr�c�demment, la longueur de m�lange est prise �gale � $l=\alpha\Hp$.
 L'efficacit� de la convection est alors
 l'expression (8)~:
 \[\Gamma=\frac{\sqrt{\Sigma+1}-1}2.\]

\medskip
\index{conv\_cm\_reza.f}\index{conv\_cgm\_reza.f}
 Dans la routine {\tt conv\_cm\_reza}, \cfparagr{sec:convreza},
 similaire � {\tt conv\_cm}, il est tenu
 compte de la quantit� thermodynamique $\delta=(\dsdx{\ln\rho}{\ln T})_{\rm P}$.
 Dans la routine {\tt conv\_cgm\_reza}, \cfparagr{sec:convcreza}
 le calcul du gradient convectif est effectu� selon les prescriptions de
 \citet{cgm96} avec la prescription de Bernkopf (\citet{h02})
 Ces deux routines ont �t� mises en \oe uvre et mises � la disposition des
 utilisateurs de \cesam2k par Reza Samadi, {\sc lesia}, Observatoire de Paris.

\subsection{Echelle de temps de la convection}
Le temps de retournement d'un �l�ment convectif est une estimation
de l'�chelle de temps de la convection. Il d�pend de la zone convective
� l'int�rieur de laquelle il varie.
\index{vitesse de convection}\index{temps de convection}
Une possibilit� est de le caract�riser � rayon $R_c$ distant d'une
demi longueur de m�lange $l_m$ du fond $R_0$ de la zone convective consid�r�e:
\[
R_c=R_0+l_m/2=
R_0+\frac\alpha 2 H_p(R_c),\  r_cR_\odot=r_0R_\odot+\frac\alpha 2
\frac{Pr_c^2}{m\rho}\frac{R_\odot^2}{GM_\odot}
\]
\[
r_c=r_0+\frac{\alpha R_\odot}{2GM_\odot}\frac{Pr_c^2}{m\rho},
\ \Longrightarrow\left\{ \begin{array}{ll}
\wp P\ r_c^2-m\rho\ r_c+m\rho r_0=0, & \mbox{si $r_0>0$} \\
\wp P\ r_c-m\rho=0, & \mbox{si $r_0=0$} \\
\end{array}
\right.
\]
\noi Avec, pour la vitesse de convection $v_c$, \cite[][eq. 7.11,20]{kw91}:
\[
v_c=\frac{6ac T^3\Gamma}{\kappa\rho^2c_p l_m}=
\frac{6ac T^3\Gamma}{\kappa\rho^2c_p\alpha H_P}
%\frac{6ac T^3\Gamma}{\kappa\rho^2c_p\alpha}\frac{GM\rho}{PR^2}=
%\frac{6acGM_\odot}{R_\odot^2}\frac{T^3\Gamma m}{\kappa\rho^2c_p\alpha Pr^2}
\]
\noi pour une zone convective fix�e, l'�chelle de temps $\tau_c$
de la convection peut donc �tre estim�e par:
\[
\tau_c=l_m/v_c=\frac{(\alpha H_p)^2\kappa\rho^2 c_p}{6ac T^3\Gamma}=\frac1{6ac}
\left(\frac{\alpha R_\odot^2}{GM_\odot}\right)^2
\left(\frac{Pr^2}m\right)^2\frac{\kappa c_p}{T^3\Gamma}
\]
\noi les valeurs des diverses quantit�es �tant prises en $r_c$ et
$\Gamma$ �tant l'efficacit\'e de la convection en ce point.

\subsection{Pression turbulente}\label{sec:pturb}\index{pression turbulente}
 La th�orie de la pression turbulente est
tr�s approximative; son expression est donn�e par la relation
ph�nom�nologique~:
\[P_{\rm turb}=\rho<v^2>= a\rho v^2,\ v^2=\frac\Gamma{1+\Gamma}
\frac{\delta\alpha^2 P}{8\rho}(\nabla-\gradad^*),\]
o� $v$ est la "vitesse" des �l�ments convectifs;
la valeur du coefficient ph�nom�nologique $a$ est mal d�termin�e,
et varie suivant les auteurs, $a\sim0.21$  pour \citet{cm91},
$a\sim0.50$ chez \citet{hvb65} ou encore, $a=\pi/2$.

Dans les conditions de la zone convective solaire, ce n'est que lorsque la
temp�rature est inf�rieure � 50\,000K que le rapport
$P_{\rm turb}/P$ d�passe 1/10\,000; ce rapport pr�sente un maximum,
de l'ordre de 16\%,
vers 8\,000K, \ie\ � l'int�rieur de l'atmosph�re.
Cette correction de pression turbulente n'est sup�rieure � 1\% que dans
une zone localis�e sous la surface o� les temp�ratures
se situent dans l'intervalle 6\,500K, 15\,500K; ce qui correspond au d�but de
la zone d'ionisation de l'hydrog�ne.

En tenant compte de la pression turbulente, le probl�me devient
totalement implicite; en effet, lorsque
la pression totale, la temp�rature et la composition chimique sont connues,
le calcul des grandeurs thermodynamiques n�cessite la connaissance
de la vitesse de convection, d�duite elle m�me des grandeurs
thermodynamiques
calcul�es � partir de la pression gazeuse, donc de la pression totale et
de la pression turbulente. Dans \cesam2k ce probl�me implicite est r�solu
en consid�rant la pression totale et
la pression gazeuse comme deux variables d�pendantes distinctes.

La mise en place de la pression turbulente a b�n�fici�
de la collaboration de S. Brun.

\medskip
\PB{La correction empirique $\ddx{\ln P_{\rm gaz}}{\ln P}$ affectant
le gradient adiabatique rend le pro\-bl�me ex\-tr�\-me\-ment ins\-ta\-ble.
 Dans \cesam2k cet\-te cor\-rec\-tion est ignor�e si la donn�e {\tt CPTURB}
de la NAMELIST {\tt NL\_CONV} est positive ou nulle.}\index{NL\_CONV}

\medskip
\PB{\cesam2k permet d'abandonner \respt{de r�introduire} la pression turbulente
en cours et � {\sl fortiori} au d�but d'une �volution, le nombre
d'�quations de structure effectivement r�solues est alors 7, \respt{8}.}

\subsection{Localisation des limites des zones convectives}
Hors atmosph�re, cette localisation a pour but essentiel de
fixer les limites de la zone � m�langer \ie\ par m�lange
convectif, afin de localiser avec pr�cision les discontinuit�s qui
en r�sultent. Dans l'atmosph�re, cette localisation est sans objet
puisque la composition chimique et la vitesse angulaires y sont suppos�es
constantes.

Les limites des zones convectives sont d�termin�es dans la routine
{\tt lim\_zc}, \cfparagr{sec:limzc}. Dans un premier temps on localise
 en indice de couche,
� l'aide du sous-programme {\tt dgrad}, \cfparagr{sec:dgrad},
les intervalles o� se produisent un changement de signe de la quantit�
$\gradrad-\gradad^*$.
Dans une seconde �tape, la localisation de chaque
changement de signe est affin�e, par dichotomie, jusqu'�
la pr�cision d�finie par la variable {\tt loc\_zc}. Celle-ci ayant �t�
initialis�e dans la routine {\tt cesam}, \cfparagr{sec:cesam},
suivant le type de pr�cision requis. Ainsi, avec la
pr�cision {\tt sa} \cf \tab{tab:opt1}, la limite de la zone
convective solaire sera d�termin�e
� mieux que {\tt loc\_zc=}$10^{-5}$ de la largeur de
l'intervalle la contenant \eg\  � mieux que
$\sim 30$\,m. C'est cette localisation am�lior�e
qui sert de r�f�rence pour d'�ventuelles extensions.

\subsection{Extension des zones convectives}
L'extension des zones convectives ({\tt jpz=.FALSE.}
\index{overshoot}
dans la NAMELIST {\tt NL\_CONV}) et la\index{NL\_CONV}
p�n�tration convective ({\tt jpz=.TRUE.})
ont pour effet d'�tendre\index{ovshts}\index{ovshti}
la zone de m�lange et de fixer le gradient de temp�rature �gal
au gradient adiabatique dans les zones d'extension.
Dans \cesam2k on distingue undershooting\footnote{Au sens d'Oxford,
undershooting et overshooting sont utilis�s de fa�on incorrecte, ce qui
provoque des r�actions �pidermiques, parfois violentes, de
coll�gues de pure expression anglo-saxonne; en franglais
ils ont le sens imag� d'extension inf�rieure et sup�rieure.}
\ie\ extension de la li\-mi\-te vers le centre,
et overshooting \ie\ extension de la limite vers la surface; leur
importance est fix�e, respectivement, par les
param�tres\index{NL\_CONV}\index{jpz} {\tt ovshts} et {\tt ovshti}
de la NAMELIST {\tt NL\_CONV} du fichier de donn�es;
les zones convectives sont respectivement �tendues de
{\tt ovshts}$\times H_{\rm p}$ et de {\tt ovshti}$\times H_{\rm p}$.
En ce qui concerne l'overshoot d'un c\oe ur convectif de
rayon $R_{\rm c}$, l'ex\-ten\-sion de la zo\-ne m�\-lan\-g�e
est li\-mi\-t�e
� $\min$({\tt ovshts}$\times H_{\rm p},R_{\rm c}\times$ {\tt ovshts})
si {\tt jpz=.FALSE.}; elle a pour valeur $R_{\rm c}$, si {\tt jpz=.TRUE.}
Pour la p�n�tration convective, obtenue avec {\tt jpz=.TRUE.},
l'extension de la zone m�lang�e $L_{\rm p}$ et du
gradient adiabatiaque est d�termin�e par \citet{z91}:
\begin{displaymath}
L_{\rm p}=\frac{\zeta H_{\rm p}}{K_{\rm p}},\ K_{\rm p}=\dsdx{\ln K}{\ln P},
\end{displaymath}
$\zeta\sim 0.5$={\tt ovshti}, �tant un param�tre ajustable.

\noi Dans une extension le gradient est pris �gal au gradient adiabatique
lorsque le param�tre d'overshooting est positif, au gradient radiatif avec une
valeur n�gative, \cfparagr{sec:nlconv}. La composition chimique et la vitesse
angulaire sont homog�n�is�es, \cfparagr{sec:melconv}

Les dispositions suivantes sont pr�vues:
\begin{itemize}
\item La p�n�tration
convective n'a d'action que sur les limites inf�rieures des
zones convectives.
\item La p�n�tration convective et les overshoots n'ont d'effet
que si la
tem\-p�\-rat\-ure est su\-p�\-rieu\-re\footnote{Pour modifier cette
valeur il faut intervenir dans la routine {\tt lim\_zc}.}
� 500\,000K; cette
disposition a pour but d'�viter ``d'overshooter'' les zones convectives
superficielles.
\item Avec la pr�sente version de \cesam2k, on ne peut donc pas
�tendre une limite \ZRZC\ situ�e dans l'atmosph�re.
\end{itemize}

\subsection{M�lange convectif}\index{m�lange convectif}\label{sec:melconv}
Dans les zones m�lang�es \ie les \ZCs\ et leurs extensions par
p�n�tration convective, la composition chimique et la vitesse anguliare sont
homog�n�is�es. Avec diffusion on utilise un coefficient de diffusion
de m�lange turbulent,
typiquement, $d_M=10^{13}$ cm s$^{-1}$, ordre de grandeur obtenu
comme produit de valeurs typiques de la
vitesse de convection et de l'�chelle de hauteur de pression.
En l'absence de diffusion, le m�lange est effectu� par moyennes
spatiales coupl�es
avec les r�actions thermonucl�aires \ie\ par la r�solution num�rique
simultan�e du m�lange et de l'�volution nucl�aire, ce qui constitue un
probl�me int�gro-diff�rentiel, \cfparagr{sec:rkimps}.

\noi Avec diffusion le m�lange est effectu� � l'aide d'un coefficient de
diffusion $D_{ZC}$. Une estimation de sa valeur est $l_m v_c/3$.
Avec, pour la vitesse de convection $v_c$, \cite[][eq. 7.11,20]{kw91}:
\[
v_c=\frac{6ac T^3\Gamma}{\kappa\rho^2c_p l_m},\
D_{ZC}=\frac{2ac T^3\Gamma}{\kappa\rho^2c_p}
\]
\subsection{Retrait d'un coeur convectif}\index{coeur convectif}
\label{sec:coeurconv}\index{discontinuit�s fossiles}
L'�tendue d'un coeur convectif varie au cours de l'�volution. Lors d'une
extension la composition chimique, donc la densit�, sont discontinues sur la
limite externe du coeur. Lors d'une contraction, la composition
chimique devient continue de la zone de retrait jusqu'au centre;
la d�riv�e spatiale du poids mol�culaire moyen
pr�sente une discontinuit� � la limite avec la \ZR\ adjacente. Une description
pr�cise de ce retrait tenant compte des variations de composition chimique
dues aux r�actions thermonucl�aires locales dans les parties devenant
radiatives, est tr�s complexe � traiter num�riquement � cause des
discr�tisations spatiale et temporelle in�vitables. \cesam2k suppose que les
abondances des �l�ments chimiques varient lin�airement dans
la partie radiative correspondant au retrait du coeur.
La situation similaire qui se produit lors de l'augmentation de l'abscisse
de la base d'une \ZC\ n'est pas trait�e dans la pr�sente version de \cesam2k.
Les discontinuit�s fossiles\footnote{Discontinuit�s de composition chimiques
des pas temporels pr�c�dents.} ne re�oivent pas de traitement particulier; �tant
ignor�es la diffusion num�rique est charg�e de les faire lentement dispara�tre.
Avec diffusion, le retrait des coeurs convectifs ne re�oivent pas de traitement
sp�cifique avec la pr�sente version de  \cesam2k.

\subsection{Semi-convection}\index{semi-convection}\label{sec:smc}
Dans les zones o� le gradient radiatif v�rifie~:
\begin{equation}\label{eq:smc}
\nabla_{\rm ad} < \nabla_{\rm rad}  < \frac\varphi\delta\nabla_�
\end{equation}
le milieu est {\em vibrationellement} instable, \citep[][ �30.4.2, p.284]{kw91}.
Le m�lange des �l�ments chimique n'y est pas aussi efficace qu'en cas
de l'instabilit� convective.
\cesam2k traite cette situation par diffusion, le coefficient de diffusion �tant
calcul� selon les prescriptions de \citet{lfs83}.Dans les parties
concern�es le gradient est pris �gal au gradient radiatif.

\medskip

\PB{Sans diffusion, la semi-convection n'est pas prise en compte.}

\subsection{Estimation de la fr�quence de \bv}\index{Brunt-V�iss�l�}
\label{sec:estbv}\index{discontinuit� de la densit�}
Dans les fichiers de sortie en ASCII, \cesam2k donne la valeur
de la quantit�~:
\begin{equation}\label{eq:bv1}
A=\frac1{\Gamma_1} \dsdx{\ln P}{\ln R}-\dsdx{\ln\rho}{\ln R}
\end{equation}
pour chaque couche du mod�le. $A$
permet l'estimation de la \fbv; %\cfparagr{sec:es}.
$A$, diff�rence de deux d�riv�es premi�res, est �quivalente � une d�riv�e
seconde. Le calcul de la fr�quence de \bv\ est donc sensible aux discontinuit�s
de la d�riv�e premi�re de la composition chimique qui provoquent des
oscillations; on a indiqu� au \paragr{sec:bug}, que la prise en compte
d'une l�g�re diffusion turbulente permettait d'obtenir des profils
quasi th�oriques pour la fr�quence de \bv.

\medskip
\noi Sur une limite \ZRZC, la composition chimique est une fonction
discontinue si on ignore la diffusion microscopique. Avec diffusion, la densit�
est continue, non d�rivable,  $A$ se comporte alors comme une fonction $\delta$.
Pour d�crire finement le comportement de la \fbv, dans les fichiers de sortie
destin�s aux exploitations sismologiques, \cfparagr{sec:output}, des points
sont ajout�s au
voisinage de ces discontinuit�s, \cfparagr{sec:ecriascii}.
La d�riv�e spatiale de la densit� �tant accessible dans \cesam2k,
\lleq{eq:bv1} est utilis�e pour le calcul de la \fbv.
Pour que cette relation soit aussi appliquable il est n�cessaire
que l'approximation de la densit� soit  num�riquement satisfaisante; ce qui
n'est r�alis� que lorsque la densit� est continue aux limites \ZRZCs.
{\embf Cette formulation n'est donc appliquable que si la diffusion
des �l�ments chimiques est
prise en compte}. Si tel n'est pas le cas, comme par exemple
avec la pr�cision {\tt np} \cf \tab{tab:opt1} ou sans diffusion.

\medskip
Dans ces cas une formulation approch�e est utilis�e; elle repose sur une
approximation de $\varphi=\dsdx{\ln\rho}{\ln�}$~:
\begin{eqnarray*}
&& d\ln\rho=\alpha\, d\ln P-\delta\, d\ln T+\varphi\,d\ln� \Longrightarrow\\
&&\dsdx{\ln\rho}{\ln P}=\alpha-\delta\dsdx{\ln T}{\ln P}
+\varphi\dsdx{\ln�}{\ln P}=\alpha-\delta\nabla+\varphi\nabla_�
\end{eqnarray*}
avec $\nabla_�=\dsdx{\ln�}{\ln P}$.
$\varphi$ n'est donn� ni par les routines ni par les tabulations d'\EOS.
L'approximation "gaz parfait avec radiation" de l'�quation d'�tat
\citep[][Eq.3-30, p. 276]{cg68} :
\[P=\frac{\rho{\cal{R}}T}\mu+\frac a3 T^4\]
m�ne � l'approximation fr�quemment utilis�e~:
\[\frac\varphi\delta\sim\frac\beta{4-3\beta}.\]
En tenant compte de~:
\[\frac1{\Gamma_1}=\alpha-\delta\nabla_{\rm ad},\ H_p=-\dsdx R{\ln P}\]
on obtient la relation utilis�e par \cesam2k~:
\begin{equation}\label{eq:bv0}
A=\frac{R\delta}{H_p}\left(\nabla-\nabla_{\rm ad}+\frac\beta{4-3\beta}
\nabla_�\right)
\end{equation}

\medskip\index{new\_bv}
\noi Toutefois la formulation utilis�e dans les versions pr�c�dentes de
\dcesam\ reste disponible. Pour la restituer, dans la routine
{\tt cesam.f}, \cfparagr{sec:cesam}, du sous-directory {\tt SOURCE}, ligne 225,
affecter {\tt .FALSE.} au param�tre {\tt new\_bv}.
L'expression suivante sera utilis�e~:
\begin{equation}\label{eq:bv2}
A=\frac{R\delta}{H_{\rm p}}\left(\nabla_{\rm ad}-\nabla\right)-4\pi R^3
\sum_i\dsdx\rho{X_i}\dsdx{X_i}M.
\end{equation}
Cette formulation pr�sente des inconv�nients~:
\begin{itemize}
\item Elle n�cessite les d�riv�es de la densit� par rapport
aux diff�rentes esp�ces chimiques, quantit�s inaccessibles
avec les �quations d'�tat tabul�es, si bien
que la somme sur les esp�ces chimiques est n�cessairement r�duite au seul
�l�ment $H$ (\ie\ $i\equiv1$). Une cons�quence est que \eq{eq:bv1} conduit
� des valeurs syst�matiquement inf�rieures � celles donn�es par \eq{eq:bv2}.
\item  Un autre inconv�nient est la non d�rivabilit� de
la densit� aux limites zone radiative/zone convective. Comme d'une part,
ces limites ne peuvent
co�ncider {\em parfaitement} avec les points de grille et que, d'autre
part,
les �quations d'�volution de la composition chimique ne sont pas r�solues
simultan�ment avec les �quations de la structure, il se produit
n�cessairement un petit d�calage entre la discontinuit� de la composition
chimique, donc de la densit� (ou seulement de leurs gradients), et le point
limite o� l'�galit� des gradients est r�alis�e. De ces inconsistances, il
r�sulte des oscillations, parfois violentes des valeurs de $A$
obtenues par~\eq{eq:bv1} et, de l�, de la fr�quence de \bv.
\end{itemize}
Toutefois le gradient de composition chimique
�tant suppos� nul dans l'atmosph�re restitu�e, ces
difficult�s ne s'y pr�sentent pas et~\eq{eq:bv2} est utilis�e.

\medskip
On pr�sente une autre formulation, qui bien qu'implant�e dans \cesam2k,
n'est pas utilis�e. Comme \eq{eq:bv1}, elle n�cessite une oscularit� suffisante
des variables. La pression $P$, le rayon, la masse, �tant approch�s par
une spline en fonction de la variable d'indice $q$, on a acc�s � leurs
d�riv�es premi�res et secondes.
 L'id�e est d'en d�duire le gradient de densit� puisque~:
\[\rho=-\frac1g\dsdx PR,\ g=\frac{GM}{R^2}.\]
Ainsi on tiendra compte {\em implicitement} et de fa�on coh�rente,
 � travers la formulation num�rique,
des d�tails de l'�quation d'�tat et des discontinuit�s. On a~:
\begin{equation}\label{eq:bv3}
\dsdx{\ln\rho}{\ln R}=\frac R\rho\dsdx\rho R=
\frac R{\rho g}\left(\frac1g\dsdx gR\dsdx PR-\dsdxx PR\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:bv4}
\dsdx gR=\frac G{R^2}\dsdx MR-\frac{2g}R=4\pi\rho G-\frac{2g}R.
\end{equation}
A des fins de r�f�rence et sous une forme adapt�e �
la programmation, on donne ci-apr�s les expressions des
deux termes de $A$ (\eq{eq:bv1}) en fonction des quantit�s
$\xi$, $\zeta$ et $�$ et de leurs d�riv�es par rapport � la variable
d'espacement~$q$.
\begin{itemize}
\item Avec les variables $\xi=\ln P$, $\zeta=\left(\frac R{R_\odot}\right)^2$ et
$�=\left(\frac M{M_\odot}\right)^{2/3}$~:
\[\dsdx\zeta R=\frac{2R}{R_\odot^2}=\frac{2\sqrt{\zeta}}{R_\odot},
\ \dsdx{ }R=\dsdx q\zeta\dsdx\zeta R\dsdx{ }q=
\frac{2\sqrt{\zeta}}{R_\odot}\dsdx q\zeta\dsdx{ }q,\]
\[\dsdx{\ln P}R=\dsdx{\ln P}q\dsdx q\zeta\dsdx\zeta{R}=
\frac{2\sqrt{\zeta}}{R_\odot}\dsdx{\ln P}q\dsdx q\zeta,\]
\begin{equation}\label{eq:bv5}
\dsdx{\ln P}{\ln R}=R\dsdx{\ln P}R=2\zeta
\left[\dsdx\xi q \Big/\dsdx\zeta q\right].
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:bv10}
\dsdx PR=P\dsdx{\ln P}R=\frac{2RP}{R_\odot^2}\dsdx{\ln P}q\dsdx q\zeta,
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\dsdx{ }R\dsdx q\zeta&=&\dsdx{ }R\left(\dsdx\zeta q\right)^{-1}=
-\left(\dsdx\zeta q\right)^{-2}\dsdx{ }R\dsdx\zeta q \nonumber \\
&=&-\left(\dsdx\zeta q\right)^{-2}\frac{2\sqrt{\zeta}}
{R_\odot}\dsdx q\zeta\dsdx{ }q\dsdx\zeta q=-\frac{2\sqrt{\zeta}}{R_\odot}
\left(\dsdx\zeta q\right)^{-3}\dsdxx\zeta q,\nonumber
\end{eqnarray}
\[\dsdx{ }R\dsdx{\ln P}q=\frac{2\sqrt{\zeta}}{R_\odot}\dsdx q\zeta\dsdx{ }q
\dsdx{\ln P}q=\frac{2\sqrt{\zeta}}{R_\odot}\left(\dsdx\zeta q\right)^{-1}
\dsdxx{\ln P}q,\]
\begin{eqnarray}
\dsdxx PR&=&\dsdx{ }R\dsdx PR=
\dsdx{ }R\left\{\frac{2RP}{R_\odot^2}\dsdx{\ln P}q\dsdx q\zeta\right\}\nonumber \\
&=&\frac 1R\dsdx PR+\frac 1P\left(\dsdx PR\right)^2+\left[\dsdx PR\Big/
\dsdx q\zeta\right]  \dsdx{ }R\dsdx q\zeta +
\left[\dsdx PR\Big/\dsdx{\ln P}q\right]\dsdx{ }R\dsdx{\ln P}q\nonumber \\
&=&\dsdx PR\left\{
\frac 1R+\frac 1P\dsdx PR+\frac{2R}{R_\odot^2}
\left[\dsdxx\xi q\Big/\dsdx\xi q-\dsdxx\zeta q\Big/\dsdx\zeta q\right]
\Big/\dsdx\zeta q\right\}\label{eq:bv6}
\end{eqnarray}
L'expression de $A$ donn�e par~\eq{eq:bv1} est obtenue par~\eq{eq:bv5}
et~\eq{eq:bv3} calcul�e � l'aide de~\eq{eq:bv4},~\eq{eq:bv10} et~\eq{eq:bv6}.

\item Avec les variables $\xi=\ln P$, $\zeta=\frac R{R_\odot}$
et $�=\frac M{M_\odot}$~:
\[\dsdx\zeta R=\frac 1{R_\odot},
\ \dsdx{ }R=\dsdx q\zeta\dsdx\zeta R\dsdx{ }q=
\frac 1{R_\odot}\dsdx q\zeta\dsdx{ }q,\]
\[\dsdx{\ln P}R=\dsdx{\ln P}q\dsdx q\zeta\dsdx\zeta{R}=
\frac 1{R_\odot}\dsdx{\ln P}q\dsdx q\zeta,\]
\begin{equation}\label{eq:bv7}
\dsdx{\ln P}{\ln R}=R\dsdx{\ln P}R=\frac R{R_\odot}
\left[\dsdx\xi q \Big/\dsdx\zeta q\right].
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:bv9}
\dsdx PR=P\dsdx{\ln P}R=\frac P{R_\odot}\dsdx{\ln P}q\dsdx q\zeta,
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\dsdx{ }R\dsdx q\zeta&=&\dsdx{ }R\left(\dsdx\zeta q\right)^{-1}=
-\left(\dsdx\zeta q\right)^{-2}\dsdx{ }R\dsdx\zeta q \nonumber \\
&=&-\left(\dsdx\zeta q\right)^{-2}\frac 1{R_\odot}
\dsdx q\zeta\dsdx{ }q\dsdx\zeta q=-\frac 1{R_\odot}
\left(\dsdx\zeta q\right)^{-3}\dsdxx\zeta q,\nonumber
\end{eqnarray}
\[\dsdx{ }R\dsdx{\ln P}q=\frac 1{R_\odot}\dsdx q\zeta\dsdx{ }q
\dsdx{\ln P}q=\frac 1{R_\odot}\left(\dsdx\zeta q\right)^{-1}
\dsdxx{\ln P}q,\]
\begin{eqnarray}
\dsdxx PR&=&\dsdx{ }R\dsdx PR=
\dsdx{ }R\left\{\frac P{R_\odot}\dsdx{\ln P}q\dsdx q\zeta\right\}\nonumber \\
&=&\frac 1P\left(\dsdx PR\right)^2+\left[\dsdx PR\Big/
\dsdx q\zeta\right]  \dsdx{ }R\dsdx q\zeta +
\left[\dsdx PR\Big/\dsdx{\ln P}q\right]\dsdx{ }R\dsdx{\ln P}q\nonumber \\
&=&\dsdx PR\left\{
\frac 1P\dsdx PR+\frac1{R_\odot}
\left[\dsdxx\xi q\Big/\dsdx\xi q-\dsdxx\zeta q\Big/\dsdx\zeta q\right]
\Big/\dsdx\zeta q\right\}.\label{eq:bv8}
\end{eqnarray}
L'expression de $A$ donn�e par~\eq{eq:bv1}, est obtenue par~\eq{eq:bv7}
et~\eq{eq:bv3} calcul�e � l'aide de~\eq{eq:bv4},~\eq{eq:bv9} et~\eq{eq:bv8}.
\end{itemize}

\PB{Ces derni�res relations doivent �tre adapt�es si on tient compte de
la rotation.}

\PB{Des tests h�liosismologiques ont mis en �vidence que ces relations,
bien que formellement plus coh�rentes, faisaient ressortir les incoh�rences
entre �quation d'�tat et opacit�s. Il convient de ne les utiliser
qu'avec prudence.}

\section{Les r�actions thermonucl�aires}\label{sec:reacnu}
\subsection{Abondances initiales}\index{abondances initiales}\label{sec:abini}
Pour �viter des calculs inutiles,
il est n�cessaire d'optimiser le r�seau nucl�aire utilis� en fonction de la
connaissance, � priori, de la physique des
mod�les � calculer. Il est par exemple inutile de tenir compte des
r�actions thermonucl�aires
concernant le silicium si la temp�rature maximum n'atteint pas le seuil du
d�clanchement de ces
r�actions. Il est donc inutile de suivre explicitement l'�volution des
�l�ments chi\-mi\-ques qui ne sont pas concern�s par le r�seau nucl�aire retenu,
sauf, �videmment, si on d�sire en suivre la diffusion. Les isotopes de la
mixture initiale n'�tant pas retenus comme �l�ments chimiques ils
ne doivent pas pour autant �tre totalement igno\-r�s, d'autant que leur
contribution � la masse totale, quelques $10^{-3}$, est loin d'�tre n�gligeable.
Dans \cesam2k, ces �l�ments sont repr�sent�s par l'isotope {\em fictif} dont la
masse \respt{charge} �gale la moyenne pond�r�e des masses
\respt{charges} des �l�ments dont il n'est pas tenu compte explicitement.
Par exemple cet isotope fictif, ici not� Ex, est souvent
\Si{24} avec une mixture initiale solaire. Cet isotope fictif compl�mentaire a
l'indice {\tt i\_ex}, \cfparagr{sec:unit}.

\medskip
L'abondance initiale en {\em nombre par mole} de chaque isotope de la mixture
utilis�e dans \cesam2k est d�termin�e en fonction du r�seau de r�actions retenu,
\cfparagr{sec:abin}, � partir~:
\begin{itemize}
\item Des abondances initiales {\em en masse} de l'hydrog�ne $X$, et de
l'h�lium $Y$, lues dans la NAMELIST {\tt NL\_CHIM} du fichier de donn�es,
\cfparagr{sec:fdon}.
\item Des proportions initiales {\em en nombre} des �l�ments
lourds dans $Z=1-X-Y$.\index{NL\_CHIM}
\item Des rapports isotopiques initiaux.
\end{itemize}
De l'ensemble de ces donn�es r�sulte un syst�me d'�quations
lin�aires dont la solution est la composition chimique initiale.
Dans l'exemple qui suit, $x_i$  d�signe l'abondance par mole
\ie\ l'abondance par masse divis�e par la masse atomique $�_i$,
de l'isotope d'ordre
$i=1,\ldots,10$ dans la liste~: \H1, \He3, \He4, \C{12}, \C{13}, \N{14}, \N{15},
\O{16}, \O{17}, Ex.
Les rapports d'abondances initiaux en nombre, dans Z, du carbone, azote et
oxyg�ne seront respectivement d�sign�s
par $C$, $N$ et $O$; par exemple pour le soleil~:
$C=0.24551,\ N=0.06458,\ O=0.51295$. Les rapports
 isotopiques initiaux en nombre seront d�sign�s par le rapport de
 leurs symboles \eg\ \He3/\He4$=4.2\,10^{-4}$.
Le syst�me d'�quations lin�aires v�rifi�es par les
abondances initiales en nombre, $x_{i,\ i=1,\ldots,10}$ s'�crit~:
\begin{eqnarray}\displaystyle\label{eq:abon}
x_1\nu_1 & = & X \nonumber \\
x_2\nu_2+x_3\nu_3 & = & Y \nonumber \\
\Sigma_{i=4}^{10}x_i�_i  & = & 1-X-Y \nonumber \\
x_4+x_5 - C\times\Sigma_{i=4}^{10}x_i & = & 0 \nonumber \\
x_6+x_7 - N\times\Sigma_{i=4}^{10}x_i& = & 0 \\
x_8+x_9 - O\times\Sigma_{i=4}^{10}x_i& = & 0 \nonumber \\
x_2-x_3\ ^3{\rm He}/^4{\rm He} & = & 0 \nonumber \\
x_5-x_4\ ^{13}{\rm C}/^{12}{\rm C} & = & 0 \nonumber \\
x_7-x_6\ ^{15}{\rm N}/^{14}{\rm N} & = & 0 \nonumber \\
x_9-x_8\ ^{17}{\rm O}/^{16}{\rm O} & = & 0 \nonumber
\end{eqnarray}
Pour chaque isotope, on fixe une abondance minimale au dessous
de la\-quel\-le l'isotope est consid�r� comme inexistant,
son �volution temporelle n'est alors pas contr\^ol�e.
La plupart des rapports isotopiques utilis�s sont ceux de la n�buleuse
solaire issus de la table 3 des nuclides
de l'article de \citet{ag89}.
Le rapport isotopique \He3/\He4$=1.104\times10^{-4}$ est d�duit d'une
mesure dans Jupiter; toutefois si \H2 est pris � l'�quilibre, il
convient d'ajouter � l'abondance initiale de \He3 celle de \H2
qui est transform�e en \He3 pendant la \PMS,
d'o� la valeur du rapport isotopique initial \He3/\He4$=4.2\,10^{-4}$.

\medskip\index{ordre des �l�ments}
L'ordre des �l�ments chimiques est en g�n�ral celui des masses croissantes,
l'isotope fictif venant en dernier, mais
ce n'est pas une r�gle intangible. L'ordre est fix� dans la routine
{\tt tabul\_nuc}, \cfparagr{sec:tabulnuc},
\eg\ dans {\tt ppcno3a9} l'ordre des �l�ments est~: $^1$H,
$^3$He, $^4$He, $^{12}$C, $^{13}$C, $^{14}$N, $^{15}$N, $^{16}$O, $^{17}$O, Ex.
L'isotope fictif venant en dernier.

\subsection{Cycle PP simplifi�}\index{cycle PP}\index{nuc\_gong.f}
 Il s'agit de la routine {\tt nuc\_gong}, \cfparagr{sec:pp1}, du Solar
 Model Com\-pa\-ri\-son Project de \citet{c88}.
On ne tient compte que d'un seul �l�ment chimique~: l'hydrog�ne dont
l'abondance par unit� de masse est ici not�e $X$.
L'�nergie thermonucl�aire g�n�r�e par unit� de masse et de temps
est~:
\begin{displaymath}
\epsilon=Q_ea_{11}\frac{X^2}{2m_u}\rho T_9^{-\frac 23}\exp(-bT_9^{-\frac 13})
\end{displaymath}
qui correspond � un taux~:
\begin{displaymath}
\dot X=\dsdx Xt=-R_ea_{11}\frac{X^2}2\rho T_9^{-\frac 23}
\exp(-bT_9^{-\frac 13})
\end{displaymath}
o� $R_e=6.5$, $Q_e=6.5\times 10^{-5}$, $a_{11}=4.21\times 10^{-15}$, $b=3.6$,
$m_u$ est l'unit� de masse atomique et $T_9=T\times 10^{-9}$.

\subsection{Exemple de r�seau nucl�aire~: cycles PP, CNO et 3$\alpha$}
\index{cycle CNO}\index{cycle3$\alpha$}\index{cycle PP}
\index{r�actions thermonucl�aires}
A titre d'exemple, on d�taille la construction d'un r�seau nucl�aire rassemblant
les cycles PP, CNO et 3$\alpha$

Pour simplifier les notations, on d�signe indistinctement par un m�me symbole
l'isotope et son abondance par mole.
Les principales r�actions thermonucl�aires des cycles PP, CNO et
3$\alpha$ sont les suivantes \citep[][p. 380,390]{c68}~:

\begin{displaymath}
\underbrace{
\begin{array}{l}
R_1\ :\  ^1{\rm H}(p,\beta^+\nu )^2{\rm H}\\
R_2\ :\  ^2{\rm H}(p,\gamma )^3{\rm He}\\
R_3\ :\  ^3{\rm He}(^3{\rm He},2p)^4{\rm He}\\
R_4\ :\  ^4{\rm He}(^3{\rm He},\gamma )^7{\rm Be}\\
R_5\ :\  ^7{\rm Li}(p,\alpha)^4{\rm He}\\
R_6\ :\  ^7{\rm Be}(e^-\nu\gamma)^7{\rm Li}\\
R_7\ :\  ^7{\rm Be}(p,\gamma )^8{\rm B}^*(\beta^+\nu)^8
{\rm Be}(\alpha)^4{\rm He}
\end{array}
}_{\rm cycle\ PP}
\qquad\qquad
\underbrace{
\begin{array}{l}
R_{8\ }:\  ^{12}{\rm C}(p,\gamma )^{13}{\rm N}(\beta^+\nu)^{13}{\rm C}\\
R_{9\ }:\  ^{13}{\rm C}(p,\gamma )^{14}{\rm N}\\
R_{10}:\   ^{14}{\rm N}(p,\gamma )^{15}{\rm O}(\beta^+\nu)^{15}{\rm N}\\
R_{11}:\   ^{15}{\rm N}(p,\gamma )^{16}{\rm O}\\
R_{12}:\   ^{15}{\rm N}(p,\alpha) ^{12}{\rm C}\\
R_{13}:\   ^{16}{\rm O}(p,\gamma )^{17}{\rm F}(\beta^+\nu)^{17}{\rm O}\\
R_{14}:\   ^{17}{\rm O}(p,\alpha) ^{14}{\rm N}
\end{array}
}_{\rm cycle\ CNO}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\underbrace{
\begin{array}{l}
R_{15}:\    ^4{\rm He}(2\alpha,\gamma)^{12}{\rm C}\\
R_{16}:\  ^{12}{\rm C}(\alpha,\gamma )^{16}{\rm O}\\
R_{17}:\  ^{16}{\rm O}(\alpha,\gamma )^{20}{\rm Ne}
\end{array}
}_{\rm cycle\ 3\alpha}
\end{displaymath}
Compte non tenu de l'effet d'�cran, le nombre $R_i$ de r�actions
$i,\ i=1,\ldots ,17$, par $\rm sec^{-1}\ g^{-1}$
est obtenu en mutipliant le taux tabul� par~:
\begin{itemize}
 \item $\rho$ pour les r�actions binaires entre �l�ments diff�rents,
 \item $\rho /2!$ pour les r�actions binaires entre �l�ments
  identiques~: $R_1$ et $R_3$,
 \item $\rho^2/3!$ pour la r�action
 ternaire $R_{15}$, \citet[][p. 86-87]{fcz73}.
\end{itemize}
Le nombre d'�lectrons par mole $e^-$ et les taux de r�action
incluant l'effet d'�cran sont des fonctions
$R_{i,\,i=1,\ldots,17}(T,\rho,{\cal X})$, $\cal X$ d�signant
le vecteur de composition chimique. Ils sont calcul�s
ainsi que leur d�riv�es, par rapport � $(T,\rho,{\cal X})$,
dans la routine {\tt rq\_reac}, en utilisant les tables construites
par le programme {\tt tab\_reac}.

\index{nombre �lectrons libres}
Bien que les r�actions nucl�aires ne soient pas uniquement localis�es
dans un milieu totalement
ionis�, \eg\ le fer n'est pas totalement ionis� au centre du soleil,
le nombre d'�lectrons libres par mole est pris �gal �~:
\[ n_{\rm e}=\sum_i z_i x_i.\]

\subsection{El�ments � l'�quilibre}\index{el�ments � l'�quilibre}
\label{sec:elequi}Dans certaines phases de l'�volution,
des �l�ments \eg\ \H2, \Li7 et \Be7 pour le soleil,
ont des temps caract�ristiques
d'�volution tr�s courts par rapport � l'�chelle
de temps de l'�volution.
Leur taux de cr�ation  est �gal � leur taux de destruction.
De tels �l�ments sont dits "{\embf � l'�quilibre}". L'abondance de chaque
�l�ment � l'�quilibre r�sulte directement
de la relation d'�quilibre, ce qui permet des simplifications importantes.
\H2, \Li7 et \Be7 sont consid�r�s
� l'�quilibre dans la routine {\tt ppcno3a9}. On a alors~:
\begin{displaymath}
0=\ddx{\ ^2{\rm H}}t=R_1\ ^1{\rm H}^2-R_2\ ^1{\rm H}\ ^2{\rm H}
\Rightarrow\ ^2{\rm H}=\frac{R_1\ ^1{\rm H}}{R_2},
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
0=\ddx{\ ^7{\rm Be}}t= R_4\ ^3{\rm He}\ ^4{\rm He}-R_6\ ^7{\rm Be}\ e^-
-R_7\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Be}\\ \\
0=\ddx{\ ^7{\rm Li}}t= R_6\ ^7{\rm Be}\ e^--R_5\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Li}
\end{array}
\right.\Rightarrow\left\{
\begin{array}{l}
^7{\rm Be}= \frac{R_4\,^3{\rm He}\,^4{\rm He}}{R_6\,e^- +R_7\,^1{\rm H}}\\ \\
^7{\rm Li}= \frac{R_6\,^7{\rm Be}\,e^-}{R_5\,^1{\rm H}}\\ \\
R_4\,^3{\rm He}\,^4{\rm He}= R_5\,^1{\rm H}\,^7{\rm Li} \\
+R_7\,^1{\rm H}\,^7{\rm Be}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

\subsection{Effet d'�cran}\index{effet d'�cran}\index{mitler}
\index{ecran faible}
 L'effet d'�cran est un abaissement de la barri�re de potentiel
coulombienne d� � la charge d'espace des ions. Il se traduit
par l'augmentation des taux des r�actions thermonucl�aires.
Pour une �volution jusque sur la branche des g�antes, l'approximation
"{\em �cran faible}" est suffisante, son expression est la suivante
\citep[][eq. 4.215-221]{c68}~:
\begin{displaymath}
f=\exp(-\frac{U_0}{kT})=\exp\left(0.188z_1z_2\sqrt{\frac{\rho\ \zeta}
{T_6^3}}\right),\qquad\zeta=\sum_i z_i(1+z_i)x_i
\end{displaymath}
$z_i$ �tant la charge du noyau $i$, $x_i$ l'abondance, par mole, de
l'�l�ment chi\-mi\-que $i$ et $T_6=T\times 10^{-6}$. $\zeta$ repr�sente
l'effet des charges.
L'approximation "{\sl �cran faible}", n'est valable que si
$f$ est proche de l'unit�.\\
\cesam2k offre l'alternative d'utiliser
l'�crantage de \citet{mi77}, qui g�n�ralise, d'apr�s cet auteur,
les cas d'�crantage\index{NL\_NUC}
faible et interm�diaire; le cas �crantage fort n'est pas impl�ment�
dans la version actuelle de \cesam2k. Pour son emploi, coder {\tt mitler=.TRUE.}
dans la NAMELIST {\tt NL\_NUC} du fichier de donn�es, \cfparagr{sec:fdon}.
 L'installation de l'�crantage de Mitler
a b�n�fici� d'une collaboration avec S. Turck-Chi�ze.

\medskip
\PB{Pour la capture �lectronique de la r�action {\Be7($e^-\nu\gamma$)\Li7},
l'effet d'�cran est inclus dans l'expression
du taux de r�\-ac\-tion \citep{fcz73}.}

\subsection{Energie thermonucl�aire et neutrinos}\index{energie thermonucl�aire}
La quantit� d'�nergie
thermonucl�aire, $Q_i,i=1,\ldots ,17$, lib�r�e par chaque r�action $i$,
est d�termin�e pour chaque r�action
par le programme {\tt tab\_reac} � partir des exc�s
de masse et des �nergies des neutrinos, \citet[][p. 289]{c68}.
Ces quantit�s sont tabul�es avec les taux des r�actions.

La quantit� d'�nergie thermonucl�aire lib�r�e,
est alors~:$\sum_iQ_iR_i$ \eg\ pour les cycles PP, CNO et $3\ \alpha$, on a~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\epsilon =
q_1\ ^1{\rm H}^2+q_2\ ^1{\rm H}\ ^2{\rm H}+q_3\ ^3{\rm He}^2
+q_4\ ^3{\rm He}\ ^4{\rm He}+q_5\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Li}+
(q_6\ e^-+q_7\ ^1{\rm H})\ ^7{\rm Be}\\
+q_8\ ^1{\rm H}\ ^{12}{\rm C}+q_9\ ^1{\rm H}\ ^{13}{\rm C}+
q_{10}\ ^1{\rm H}\ ^{14}{\rm N}+(q_{11}+q_{12})^1{\rm H}\ ^{15}{\rm N}+
q_{13}\ ^1{\rm H}\ ^{16}{\rm O}+q_{14}\ ^1{\rm H}\ ^{17}{\rm O}\\
 +q_{15}\ ^4{\rm He}^3+q_{16}\ ^4{\rm He}\ ^{12}{\rm C}+
 q_{17}\ ^4{\rm He}\ ^{16}{\rm O},\\
\end{array}
\end{displaymath}
chacune des lignes repr�sente l'�nergie lib�r�e respectivement par les
cycles PP, CNO et 3$\alpha$. Ces quantit�s apparaissent s�par�ment dans la
liste du mod�le. Avec \H2, \Li7 et \Be7
� l'�quilibre, il convient d'utiliser les valeurs
� l'�quilibre �tablies pr�c�demment.

\index{neutrinos}
 Le nombre de neutrinos, par unit� de masse et de temps,
�mis respectivement par les r�actions
$R_1$, $R_6$, $R_7$, $R_8$, $R_{10}$ et $R_{13}$ est~:

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
H_n=R_1\ ^1{\rm H}^2,\ Be_n=R_6e^-\ ^7{\rm Be},
\ B_n=R_7\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Li},\\
N_n=R_8\ ^1{\rm H}\ ^{12}{\rm C},\ O_n=R_{10}\ ^1{\rm H}\ ^{14}{\rm N},
\ F_n=R_{13}\ ^1{\rm H}\ ^{16}{\rm O}.\\
\end{array}
\end{displaymath}

Le nombre de neutrinos re�us sur terre par les exp�riences du chlore et du
galium est calcul� en supposant la source distante d' une unit� astronomique

%Le nombre de SNU pour les exp�riences de Davis (chlore) et GALLEX (gallium)
%sont respectivement calcul�s par~:
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{l}
%\nu_{Cl}=H_n11.55\times10^{-10}+ {Be_7}_n212\times10^{-10}+
%{B_8}_n3.01\times10^{-6}+{N_{13}}_n72.7\times10^{-10},\\
% +{O_{15}}_n61.7\times10^{-10}+{F_{17}}_n118.\times10^{-10}\\
%\nu_{Ga}={Be_7}_n15.6\times10^{-10}+{B_8}_n1.08\times10^{-6}+
%{N_{13}}_n2.38\times10^{-10}+{O_{15}}_n1.66\times10^{-10}\\
%+{F_{17}}_n6.61\times10^{-10},\\
%\end{array}
%\end{displaymath}
%les symboles repr�sentant ici les flux de neutrinos des diverses esp�ce au
%niveau de la terre.

\subsection{Equations d'�volution}\index{equations d'�volution}
\label{sec:ppcno}
Pour l'exemple des cycles PP+CNO+$3\alpha$, avec \H2, \Be7, et \Li7
� l'�quilibre, en d�signant les abondances par mole par les symboles
isotopiques, les �quations d'�volution
sont les suivantes~:

\begin{eqnarray}\label{eq:ppcno}
\ddx{^1{\rm H}}t&=& -3R_1\ ^1{\rm H}^2+2R_3\ ^3{\rm He}^2
-R_4\ ^3{\rm He}\ ^4{\rm He}\nonumber \\
&& -R_8\ ^1{\rm H}\ ^{12}{\rm C}-R_9\ ^1{\rm H}\ ^{13}{\rm C}
 -R_{10}\ ^1{\rm H}\ ^{14}{\rm N}
-(R_{11}+R_{12})^1{\rm H}\ ^{15}{\rm N}\nonumber \\
&&-R_{13}\ ^1{\rm H}\ ^{16}{\rm O}
-R_{14}\ ^1{\rm H}\ ^{17}{\rm O},\nonumber \\
\ddx{^3{\rm He}}t&=& R_1\ ^1{\rm H}^2-2R_3\ ^3{\rm He}^2
-R_4\ ^3{\rm He}\ ^4{\rm He},\nonumber \\
\ddx{^4{\rm He}}t&=& R_3\ ^3{\rm He}^2+R_4\ ^3{\rm He}\ ^4{\rm He}\nonumber \\
&& +R_{12}\ ^1{\rm H}\ ^{15}{\rm N}+R_{14}\ ^1{\rm H}\ ^{17}{\rm O}\nonumber \\
&& -3R_{15}\ ^4{\rm He}^3-R_{16}\ ^4{\rm He}\ ^{12}{\rm C}
 -R_{17}\ ^4{\rm He}\ ^{16}{\rm O},\nonumber \\
\ddx{^{12}{\rm C}}t&=& -R_8\ ^1{\rm H}\ ^{12}{\rm C}
+R_{12}\ ^1{\rm H}\ ^{15}{\rm N}\nonumber \\
&& +R_{15}\ ^4{\rm He}^3-R_{16}\ ^4{\rm He}\ ^{12}{\rm C},\nonumber \\
\ddx{^{13}{\rm C}}t&=& R_{8}\ ^1{\rm H}\ ^{12}{\rm C}
-R_9\ ^1{\rm H}\ ^{13}{\rm C}, \\
\ddx{^{14}{\rm N}}t&=& R_{9}\ ^1{\rm H}\ ^{13}{\rm C}
-R_{10}\ ^1{\rm H}\ ^{14}{\rm N}+R_{14}\ ^1{\rm H}\ ^{17}{\rm O},\nonumber \\
\ddx{^{15}{\rm N}}t&=& R_{10}\ ^1{\rm H}\ ^{14}{\rm N}
-(R_{11}+R_{12})^1{\rm H}\ ^{15}{\rm N},\nonumber \\
\ddx{^{16}{\rm O}}t&=& R_{11}\ ^1{\rm H}\ ^{15}{\rm N}
-R_{13}\ ^1{\rm H}\ ^{16}{\rm O}\nonumber \\
&& +R_{16}\ ^4{\rm He}\ ^{12}{\rm C}-R_{17}\ ^4{\rm He}\ ^{16}{\rm O},\nonumber \\
\ddx{^{17}{\rm O}}t&=& R_{13}\ ^1{\rm H}\ ^{16}{\rm O}
-R_{14}\ ^1{\rm H}\ ^{17}{\rm O},\nonumber \\
\ddx{\,\rm Ex}t&=&-\frac1{m_{\rm Ex}}\left[
 m_{^1{\rm H}}\ddx{^1{\rm H}}t
+m_{^3{\rm He}}\ddx{^3{\rm He}}t
+m_{^4{\rm He}}\ddx{^4{\rm He}}t
+m_{^{12}{\rm C}}\ddx{^{12}{\rm C}}t
+m_{^{13}{\rm C}}\ddx{^{13}{\rm C}}t \right. \nonumber \\
&&\left. +m_{^{14}{\rm N}}\ddx{^{14}{\rm N}}t
+m_{^{15}{\rm N}}\ddx{^{15}{\rm N}}t
+m_{^{16}{\rm O}}\ddx{^{16}{\rm O}}t
+m_{^{17}{\rm O}}\ddx{^{17}{\rm O}}t
\right], \nonumber
\end{eqnarray}
la derni�re �quation exprime la conservation du nombre de
baryons, elle permet de tenir compte des �l�ments qui, comme le
\Ne{20}, n'est brul� par aucune r�action, mais qui est cr�e, $m_i$
est le nombre atomique de l'esp�ce chimique $i$.

\medskip
Sans �l�ment � l'�quilibre, il faut remplacer les trois premi�res
et la derni�re �quations par~:

\begin{eqnarray}
\ddx {^1{\rm H}}t&=& -2R_1\ ^1{\rm H}\ ^2-R_2\ ^1{\rm H}\ ^2{\rm H}
+ 2R_3\ ^3{\rm He}^2-R_5\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Li}
-R_7\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Be}\nonumber \\
&&-R_8\ ^1{\rm H}\ ^{12}{\rm C}
-R_9\ ^1{\rm H}\ ^{13}{\rm C}-R_{10}\ ^1{\rm H}\ ^{14}{\rm N}\nonumber \\
&&-(R_{11}+R_{12})^1{\rm H}\ ^{15}{\rm N}-R_{13}\ ^1{\rm H}\ ^{16}{\rm O}
-R_{14}\ ^1{\rm H}\ ^{17}{\rm O},\nonumber \\
\ddx{^2{\rm H}}t&=& R_1\ ^1{\rm H}\ ^2-R_2\ ^1{\rm H}\ ^2{\rm H},\nonumber \\
\ddx{^3{\rm He}}t&=& R_2\ ^1{\rm H}\ ^2{\rm H}-2R_3\ ^3{\rm He}^2
-R_4\ ^3{\rm He}\ ^4{\rm He},\nonumber \\
\ddx{^4{\rm He}}t&=& R_3\ ^3{\rm He}^2-R_4\ ^3{\rm He}\ ^4{\rm He}
+2R_5\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Li}
+2R_7\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Be}\nonumber \\
&& +R_{12}\ ^1{\rm H}\ ^{15}{\rm N}+R_{14}\ ^1{\rm H}\ ^{17}{\rm O}\nonumber \\
&& -3R_{15}\ ^4{\rm He}^3-R_{16}\ ^4{\rm He}\ ^{12}{\rm C}
 -R_{17}\ ^4{\rm He}\ ^{16}{\rm O},\nonumber \\
\ddx{^7{\rm Li}}t&=& -R_5\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Li}
+R_6\ ^7{\rm Be}\ e^-,\nonumber \\
\ddx{^7{\rm Be}}t&=& R_4\ ^3{\rm He}\ ^4{\rm He}-R_6\ ^7{\rm Be}\ e^-
-R_7\ ^1{\rm H}\ ^7{\rm Be}.\nonumber \\
\ddx{\,\rm Ex}t&=&-\frac1{m_{\rm Ex}}\left[
 m_{^1{\rm H}}\ddx{^1{\rm H}}t
+m_{^2{\rm H}}\ddx{^2{\rm H}}t
+m_{^3{\rm He}}\ddx{^3{\rm He}}t
+m_{^4{\rm He}}\ddx{^4{\rm He}}t\right. \nonumber \\
&&\left.+m_{^7{\rm Li}}\ddx{^7{\rm Li}}t
+m_{^7{\rm Be}}\ddx{^7{\rm Be}}t
+m_{^{12}{\rm C}}\ddx{^{12}{\rm C}}t
+m_{^{13}{\rm C}}\ddx{^{13}{\rm C}}t \right. \nonumber \\
&&\left. +m_{^{14}{\rm N}}\ddx{^{14}{\rm N}}t
+m_{^{15}{\rm N}}\ddx{^{15}{\rm N}}t
+m_{^{16}{\rm O}}\ddx{^{16}{\rm O}}t
+m_{^{17}{\rm O}}\ddx{^{17}{\rm O}}t
\right]. \nonumber
\end{eqnarray}\label{sec:jacob}\index{jacobien}
On d�nommera par "jacobien" la matrice des d�riv�es partielles
des �quations d'�volution par rapport aux abondances~:
\[ J(i,j)\equiv\left(\dsdx{\ddx{x_i}t}{x_j}  \right)_{i,j}. \]
Cette matrice est la base de la r�solution des �quations implicites du probl�me
diff�rentiel raide, \cfparagr{sec:raide}, constitu� par le r�seau nucl�aire.
Il est n�cessaire d'en tenir compte, du fait que
l'effet d'�cran est fonction des abondances. Une erreur
dans l'expression du jacobien entra�ne des difficult�s
de convergence de l'algorithme d'int�gration num�rique
des �quations d'�volution. Le programme {\tt test\_nuc}
du sous-directory {\tt TESTS} peut servir de canevas pour construire
un programme permettant de v�rifier l'exactitude du jacobien
\cfparagr{sec:pro}.

\section{Equation d'�tat gaz parfait}\index{equation d'�tat \tt{etat\_gp}}
\label{sec:gp}
\cesam2k utilisant une grille adaptative, les d�riv�es de fonctions
thermodynamiques par rapport aux abondances des isotopes sont requises.
Elles ne sont pas donn�es par les �quations d'�tat de la litt�rature.
Dans les stades avanc�s, lorsque les �l�ments lourds deviennent principalement
constitu�s de magn�sium et de silicium les erreurs de d�riv�es nuisent � la
convergence.
L'�quation d'�tat {\tt etat\_gp}, construite � cet effet, est une �quation d'�tat
type "gaz parfait". Elle
prend en compte la pression de radiation, les ionisations partielles des isotopes,
et la d�g�n�rescence �lectronique $\eta$.

\noi On recherche la densit� $\rho$ "gaz parfait" satisfaisant l'�quation
implicite pression gaz parfait $P_{gp}$ et pression quasi statique $P_{qs}$ :

\[ P_{gp}(\rho)-P_{qs}=0,\ P_{gp}(\rho)=P_0+P_e+P_r\]
\[P_0=\frac{\rho\Re T}{\mu_0},\ \dsdx{P_0}\rho=\frac{P_0}\rho,
\ \dsdx{P_0}T=\frac{P_0}T,\ \dsdx{P_0}{\mu_0}=-\frac{P_0}{\mu_0},
\ \mu_0^{-1}=\sum x_i,\ \dsdx{\mu_0}{x_i}=-\mu_0^2 \]
\[n_e=\frac\rho{m_u\mu_e},\ P_e=n_ekT\frac23 \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}=
\frac{\rho\Re T}{\mu_e}\frac23\frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)},\]
\[ \dsdx{P_e}\rho=\frac{P_e}\rho,\ \dsdx{P_e}T=\frac{P_e}T,
\ \dsdx{P_e}{\mu_e}=-\frac{P_e}{\mu_e},
\ \mu_e^{-1}=\sum\bar{z_i}x_i,\ \dsdx{\mu_e}{x_i}=-\mu_e^2z_i \]
\[ \bar{z_i}=\sum_{j=1}^{Z_i}jx_i,\ \sum_{j=1}^{Z_i}x_i=1,
\ P_r=\frac a3T^4,\ \dsdx{P_r}T=\frac43 aT^3\]
\[\mu_0^{-1}=\sum x_i,\ \mu_e^{-1}=\sum\bar{z_i}x_i,
\ \mu^{-1}=\sum(1+\bar{z_i})x_i\]
\[ \mu^{-1}=\mu_0^{-1}+\mu_e^{-1},\ \mu=\frac{\mu_0\mu_e}{\mu_0+\mu_e}\]
\[\dsdx{�_0}�=\frac{�_0(�_0+�_e)-�_0�_e}{(�_0+�_e)^2}=\frac{�_0^2}{(�_0+�_e)^2}=
\left(\frac�{�_e}\right)^2,\ \dsdx{�_e}�=\left(\frac�{�_0}\right)^2\]
\[\dsdx�{x_i}=\dsdx�{�_0}\dsdx{�_0}{x_i}+\dsdx�{�_e}\dsdx{�_e}{x_i}=
-\left(\frac{�_0�_e}�\right)^2(1+\bar{z_i})\]

\noi $F_{1/2}$ et $F_{3/2}$ �tant respectivement les fonction de Fermi-Dirac
d'ordres $1/2$ et $3/2$ ; on obtient :
\[\dsdx{P_{gp}}\rho=\Re T\left(\frac1{\mu_0}+\frac1{�_e}\frac23\frac{F_{3/2}}
{F_{1/2}}\right). \]
\noi A partir d'une valeur initiale $\rho^0$ la densit� est obtenu it�rativement
 par la relation (Newton-Raphson):
 \[\rho^{n+1}=\rho^n-({P_{gp}^n-P_{{qs}}})/{\dsdx{P_{gp}}\rho}.\]

\noi \cesam2k utilise la pression et non la densit� comme variable d'�tat.
La formulation "gaz parfait" utilise la densit�. On rappelle les formules de
transformation de $P(\rho,T,\mu)$ en $\rho(P,T,\mu)$

\begin{eqnarray}
dP&=&\left(\dsdx P\rho\right)_{T,\mu}d\rho+
\left(\dsdx PT\right)_{\rho,\mu}dT+\left(\dsdx P\mu\right)_{\rho,T}d\mu \nonumber \\
d\rho&=&\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}dP+
\left(\dsdx\rho T\right)_{P,\mu}dT+\left(\dsdx\rho\mu\right)_{P,T}d\mu \nonumber \\
d\rho&=&\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}
\left[\left(\dsdx P\rho\right)_{T,\mu}d\rho+
\left(\dsdx PT\right)_{\rho,\mu}dT+\left(\dsdx P\mu\right)_{\rho,T}d\mu
\right]+
\left(\dsdx\rho T\right)_{P,\mu}dT+\left(\dsdx\rho\mu\right)_{P,T}d\mu \nonumber \\
1&=&\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}\left(\dsdx P\rho\right)_{T,\mu} \nonumber \\
d\rho&=&d\rho+\left[\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}\left(\dsdx PT\right)_{\rho,\mu}
+\left(\dsdx\rho T\right)_{P,\mu} \right]dT
+\left[\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}\left(\dsdx P\mu\right)_{\rho,T}+
\left(\dsdx\rho\mu\right)_{P,T}\right]d\mu \nonumber \\
0&=&\left[\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}\left(\dsdx PT\right)_{\rho,\mu}
+\left(\dsdx\rho T\right)_{P,\mu} \right]dT
+\left[\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}\left(\dsdx P\mu\right)_{\rho,T}+
\left(\dsdx\rho\mu\right)_{P,T}\right]d\mu \nonumber
\end{eqnarray}
�quation devant �tre v�rifi�e $\forall dT,\ \forall d\mu$, d'o�:
\begin{eqnarray}
\left(\dsdx\rho T\right)_{P,\mu}&=&-\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}
\left(\dsdx PT\right)_{\rho,\mu} \nonumber \\
\left(\dsdx\rho\mu\right)_{P,T}&=&-\left(\dsdx\rho P\right)_{T,\mu}
\left(\dsdx P\mu\right)_{\rho,T} \nonumber
\end{eqnarray}

\noi d'o� les d�riv�es de $\rho$ :
\[\left(\dsdx\rho P\right)_{T,x_i}=\left(\dsdx{P_{gp}}\rho\right)_{T,x_i}^{-1}\]
\[\left(\dsdx\rho T\right)_{P,x_i}=-\left(\dsdx{P_{gp}}\rho\right)_{T,x_i}^{-1}
\left[\left(\dsdx{P_0}T\right)_{\rho,x_i}+
\left(\dsdx{P_e}T\right)_{\rho,x_i}
+\left(\dsdx{P_r}T\right)_{\rho,x_i}\right]=
-\left(\dsdx{P_{gp}}\rho\right)_{\rho,x_i}^{-1}\frac{P_0 + P_e + 4 P_r}T\]
\[\left(\dsdx\rho�\right)_{P,T}=-\left(\dsdx{P_{gp}}\rho\right)_{T,x_i}^{-1}
\left[\left(\dsdx{P_0}{\mu_0}\right)_{\rho,T}\dsdx{\mu_0}�+
\left(\dsdx{P_e}{\mu_e}\right)_{\rho,T}\dsdx{\mu_e}�\right]=
\left(\dsdx{P_{gp}}\rho\right)_{T,x_i}^{-1}\frac{P_0�_0+P_e�_e}{(�_0+�_e)^2}.\]
\[\left(\dsdx\rho{x_i}\right)_{P,T}=\left(\dsdx\rho�\right)_{P,T}\dsdx�{x_i}=
-\left(\dsdx{P_{gp}}\rho\right)_{T,x_i}^{-1}\frac{P_0�_0+P_e�_e}{(�_0+�_e)^2}
\left(\frac{�_0�_e}�\right)^2(1+\bar{z_i})=\]
\[\left(\dsdx\rho{x_i}\right)_{P,T}=-\left(\dsdx{P_{gp}}\rho\right)_{T,x_i}^{-1}(P_0�_0+P_e�_e)(1+\bar{z_i})\]

\noi Pour l'�nergie interne, $U=3/2P$ par volume, $u=U/\rho$ par unit� de masse,
avec $U_i$ et $u_i$ pour les �nergies d'ionisation:
\[ U=U_0+U_e+U_r+U_i,\ u=\frac32\Re T\left[\frac1{�_0}
+\frac1{�_e}\frac23\frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\right]+\frac{aT^4}\rho+u_i\]



